Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 49/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und metrische Räume und es sei
eine stetige Abbildung. Es sei
und es sei
eine Funktion, die im Punkt ein lokales Extremum besitze. Zeige, dass
in ein lokales Extremum besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von verschiedene lineare Abbildung
keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und
eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass und im Punkt den gleichen Gradienten besitzen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und
eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor genau dann zum Kern von gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
Aufgabe Referenznummer erstellen
Betrachte die Linearform
- Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft
wobei das Standardskalarprodukt bezeichnet.
- Es sei
und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft
wobei die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf bezeichnet.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei eine offene Menge sei. Zeige, dass für und die Beziehung
gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und . Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen
an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in besitzt, die andere nicht.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, , offen, und . Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen
an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in besitzt, die andere nicht.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass in der Abschätzung
von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn und linear abhängig sind.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die globalen Extrema für die Funktion
wobei das durch die Eckpunkte und gegebene abgeschlossene (volle) Dreieck ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne den Anstieg der Funktion
im Punkt in Richtung des Winkels . Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte die Funktion
- Bestimme den Gradienten von im Punkt bezüglich des Standardskalarprodukts .
- Es sei
und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Gradienten von bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf .
- Zeige, dass die orthogonale Projektion von auf ist.
- Aufgabe zum Hochladen
Aufgabe (bis 10 Punkte)Referenznummer erstellen
Erstelle eine Graphik, die Beispiel 49.5 illustriert (es sollten der Graph der Funktion, geeignete Längsschnitte und die Nullstellenmenge wiedergegeben werden).
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