Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 57/kontrolle
- Übungsaufgaben
Skizziere die Höhenlinien und das Gradientenfeld zur Funktion
Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die Abbildung
berechnet, wobei für die Masse und für die Länge eines Menschen (oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes) steht (in den Einheiten Kilogramm und Meter).
- Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär?
- Skizziere das zugehörige Gradientenfeld.
- Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem Gradienten dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
- Wie lassen sich die Fasern dieser Abbildung als Graphen von Funktionen beschreiben?
- Berechne die Hesse-Matrix von und bestimme ihren Typ in jedem Punkt.
- Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
- Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, Produktabbildung und Hintereinanderschaltung.
Es sei
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ein kritischer Punkt zu . Wie sieht die Lösung des Anfangswertproblems
zum zugehörigen Gradientenfeld aus?
Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem
mit () zum Gradientenfeld zur Funktion
Es sei
ein Gradientenfeld und sei
( ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gelte für alle . Zeige, dass injektiv ist.
Es sei
eine stetig differenzierbare Funktion und
das zugehörige Gradientenfeld. Es sei
eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung, die eine Faser zu zu zwei verschiedenen Zeitpunkten trifft. Zeige, dass konstant ist.
Es sei
eine stetig differenzierbare Funktion und
das zugehörige Gradientenfeld. Es sei
eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei ein Zeitpunkt mit
a) Es sei zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass konstant ist.
b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) nicht konstant sein muss.
Zeige, dass eine sternförmige Teilmenge zusammenhängend ist.
Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass genau dann ein (nichtleeres) Intervall ist, wenn sternförmig ist.
Es seien () endlich viele Punkte im . Zeige, dass nicht sternförmig ist.
Man gebe ein Beispiel für eine sternförmige Teilmenge an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.
Man gebe ein Beispiel für eine offene, sternförmige Teilmenge an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.
Ob ein Vektorfeld auf
die
Integrabilitätsbedingung
erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.
Zu einem partiell differenzierbaren Vektorfeld
auf einer offenen Teilmenge nennt man
die Rotation von .
Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.
Es sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge . Zeige, dass genau dann die Integrabilitätsbedingung erfüllt, wenn ist.
Wir betrachten das Vektorfeld
mit
Zeige auf zweifache Weise, dass kein Gradientenfeld ist.
- Mit der Integrabilitätsbedingung.
- Mit Wegintegralen.
Wir betrachten das Vektorfeld
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.
b) Bestimme ein Potential zu .
Wir betrachten das Vektorfeld
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.
b) Bestimme ein Potential zu .
Es sei
ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge und es sei
Zeige
wobei den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um mit Radius bezeichnet.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
eine Linearform. Bestimme das zugehörige Gradientenfeld und die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine sternförmige Teilmenge. Zeige, dass auch der Abschluss sternförmig ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen