Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesung 44

Bilinearformen

Reelle Skalarprodukte sind positiv definite symmetrische Bilinearformen. In dieser Vorlesung besprechen wir Bilinearformen allgemein. Neben Skalarprodukten sind die Minkowski-Formen, mit denen man die spezielle Relativitätstheorie beschreiben kann, und die Hesse-Formen wichtig, die in der höherdimensionalen Analysis betrachtet werden, um Extrema von Funktionen in mehreren Variablen zu bestimmen, siehe die folgenden Vorlesungen.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

heißt Bilinearform, wenn für alle ${}v\in V$ die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

und für alle ${}w\in V$ die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

${}K$- linear sind.

Bilinear bedeutet einfach multilinear in zwei Komponenten, diese Eigenschaft haben wir schon im Zusammenhang mit Determinanten kennengelernt. Ein extremes Beispiel ist die Nullform, die jedem Paar den Nullwert zuordnet. Es ist einfach, eine Vielzahl von Bilinearformen auf dem ${}K^{n}$ anzugeben.

Beispiel

Sei ${}V=K^{n}$ und seien ${}a_{ij}\in K$ für ${}1\leq i,j\leq n$ fixiert. Dann ist die Zuordnung

$({\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}})\longmapsto \Psi (x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})=\sum _{ij}a_{ij}x_{i}y_{j}$

eine Bilinearform. Bei

${}a_{ij}=0\,$

für alle ${}i,j$ ist dies die Nullform; bei

${}a_{ij}=\delta _{ij}={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

liegt das Standardskalarprodukt vor (wobei der Ausdruck für jeden Körper einen Sinn ergibt, aber die Eigenschaft, positiv definit zu sein, gegenstandslos ist). Bei ${}n=4$ und

${}\Psi (x_{1},\ldots ,x_{4},y_{1},\ldots ,y_{4})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}\,$

spricht man von einer Minkowski-Form. Bei ${}n=2$ und

${}\Psi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\,$

handelt es sich um die Determinante im zweidimensionalen Fall.

Die Gramsche Matrix

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Dann heißt die ${}n\times n$- Matrix

$\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$

die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.

In Beispiel 44.2 bildet ${}(a_{ij})_{ij}$ die Gramsche Matrix der Bilinearform ${}\Psi$ bezüglich der Standardbasis des ${}K^{n}$, im Fall des Standardskalarproduktes ist das die Einheitsmatrix. Wenn die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegeben ist, so kann man daraus ${}\left\langle v,w\right\rangle$ für beliebige Vektoren berechnen. Man schreibt ${}v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}v_{i}$ und ${}w=\sum _{i=1}^{n}c_{i}v_{i}$ und erhält mit dem allgemeinen Distributivgesetz (siehe Aufgabe 44.26)

${}{\begin{aligned}\left\langle v,w\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}b_{i}v_{i},\sum _{j=1}^{n}c_{j}v_{j}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}b_{i}c_{j}\left\langle v_{i},w_{j}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}c_{j}\left\langle v_{i},w_{j}\right\rangle \right)}\\&=(b_{1},\ldots ,b_{n})G{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Man erhält also den Wert der Bilinearform an zwei Vektoren, indem man die Gramsche Matrix auf das Koordinatentupel des zweiten Vektors anwendet und das Ergebnis (ein Spaltenvektor) mit dem Koordinatentupel des ersten Vektors als Zeilentupel von links multipliziert. Kurz und etwas ungenau ist also

${}\left\langle v,w\right\rangle ={v^{\text{tr}}}Gw\,.$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ und es seien ${}G$ bzw. ${}H$ die Gramschen Matrizen von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen

${}w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$

die wir durch die Übergangsmatrix ${}A={\left(a_{ij}\right)}_{i,j}$ ausdrücken.

Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung

${}H={A^{\text{tr}}}GA\,.$

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}\left\langle w_{r},w_{s}\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{ir}v_{i},\sum _{k=1}^{n}a_{ks}v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,k\leq n}a_{ir}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(\sum _{1\leq k\leq n}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(G\circ A\right)}_{is}\\&={\left({A^{\text{tr}}}\circ {\left(G\circ A\right)}\right)}_{rs}.\end{aligned}}$

$\Box$

Symmetrische Bilinearformen

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

für alle ${}v,w\in V$ gilt.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Zwei Vektoren ${}v,w\in V$ heißen orthogonal, wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

ist.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Eine Basis ${}v_{i},\,i\in I$, von ${}V$ heißt Orthogonalbasis, wenn

${}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0\,$

für alle

${}i\neq j\,$

ist.

Für eine symmetrische Bilinearform ist es durchaus möglich, dass, anders als bei Skalarprodukten, ein von ${}0$ verschiedener Vektor zu sich selbst orthogonal ist. Es kann auch, im ausgearteten Fall, von ${}0$ verschiedene Vektoren geben, die orthogonal zu allen Vektoren sind. Wie im Fall eines Skalarproduktes gibt es Orthogonalbasen.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$.

Dann besitzt ${}V$ eine Orthogonalbasis.

Beweis

Siehe Aufgabe 44.9.

$\Box$

Definitheit von Bilinearformen

Wir möchten die symmetrischen Bilinearformen über den reellen Zahlen klassifizieren. Dabei spielen die Skalarprodukte als Extremfall eine Schlüsselrolle.

Definition

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Diese Bilinearform heißt

1. positiv definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle >0$ für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
2. negativ definit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle <0$ für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
3. positiv semidefinit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ ist.
4. negativ semidefinit, wenn ${}\left\langle v,v\right\rangle \leq 0$ für alle ${}v\in V$ ist.
5. indefinit, wenn ${}\left\langle -,-\right\rangle$ weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.

Positiv definite symmetrische Bilinearformen sind genau die reellen Skalarprodukte. Eine indefinite Form liegt vor, wenn es Vektoren ${}v$ und ${}w$ mit ${}\left\langle v,v\right\rangle >0$ und ${}\left\langle w,w\right\rangle <0$ gibt. Die Nullform ist zugleich positiv semidefinit und negativ semidefinit, aber weder positiv definit noch negativ definit (außer auf dem Nullraum).

Eine Bilinearform auf ${}V$ kann man auf einen Untervektorraum ${}U\subseteq V$ einschränken, wodurch sich eine Bilinearform auf ${}U$ ergibt. Wenn die ursprüngliche Form positiv definit ist, so überträgt sich dies auf die Einschränkung. Allerdings kann eine beliebige Form eingeschränkt auf gewisse Unterräume positiv definit werden und auf andere negativ definit. Dies führt zu folgender Definition.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ

$(p,q)$

besitzt, wobei

${}p:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ positiv definit}}\right)}}\,$

und

${}q:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ negativ definit}}\right)}}\,$

ist.

Bei einem Skalarprodukt auf einem ${}n$-dimensionalen reellen Vektorraum ist der Typ ${}(n,0)$. Nach Aufgabe 44.11 ist stets

${}p+q\leq \dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Die Matrix

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

ist die Gramsche Matrix zu einer symmetrischen Bilinearform auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$, sagen wir bezüglich der Standardbasis. Die Einschränkung der Form auf ${}\mathbb {R} e_{1}$ ist positiv definit, die Einschränkung auf ${}\mathbb {R} e_{2}$ ist negativ definit, die Einschränkung auf ${}\mathbb {R} e_{3}$ ist die Nullform. Daher sind ${}p,q\geq 1$, es ist aber nicht unmittelbar klar, ob es nicht auch zweidimensionale Untervektorräume geben könnte, auf denen die Einschränkung positiv definit ist. Eine Untersuchung „aller“ Untervektorräume, wie es die Definition verlangt, scheint aussichtslos. Es gibt aber mehrere Möglichkeiten, den Typ einer symmetrischen Bilinearform zu bestimmen, ohne alle Untervektorräume von ${}V$ zu überblicken. Die folgende Aussage nennt man den Trägheitssatz von Sylvester.

James Joseph Sylvester (1814-1897)

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(p,q)$.

Dann ist die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit ${}p$ positiven und ${}q$ negativen Einträgen.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Bezüglich einer Orthogonalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ (die es nach Fakt ***** gibt) hat die Gramsche Matrix natürlich Diagonalgestalt. Es sei ${}p'$ die Anzahl der positiven Diagonaleinträge und ${}q'$ die Anzahl der negativen Diagonaleinträge. Die Basis sei so geordnet, dass die ersten ${}p'$ Diagonaleinträge positiv, die folgenden ${}q'$ Diagonaleinträge negativ und die übrigen ${}0$ seien. Auf dem ${}p'$-dimensionalen Unterraum ${}U=\langle u_{1},\ldots ,u_{p'}\rangle$ ist die eingeschränkte Bilinearform positiv definit, sodass ${}p'\leq p$ gilt. Sei ${}W=\langle u_{p'+1},\ldots ,u_{n}\rangle$, auf diesem Unterraum ist die Bilinearform negativ semidefinit. Dabei ist ${}V=U\oplus W$, und diese beiden Räume sind orthogonal zueinander.

 Angenommen, es gebe einen Unterraum ${}U'$, auf dem die Bilinearform positiv definit ist, und dessen Dimension ${}p$ größer als ${}p'$ ist. Die Dimension von ${}W$ ist ${}n-p'$ und daher ist ${}W\cap U'\neq 0$ nach Fakt *****.

Für einen Vektor ${}w\in W\cap U'$, ${}w\neq 0$, ergibt sich aber direkt der Widerspruch ${}\left\langle w,w\right\rangle >0$ und ${}\left\langle w,w\right\rangle \leq 0$.

$\Box$

 

Indem man die Orthogonalvektoren umskaliert, kann man erreichen, dass in der Diagonalen nur die Werte ${}1,-1,0$ vorkommen. Die auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ durch die Diagonalmatrix mit ${}p$ Einsen, ${}q$ Minuseinsen und ${}n-p-q$ Nullen gegebene Form zeigt, dass jeder Typ, der

${}p+q\leq n\,$

erfüllt, realisiert werden kann. Man spricht von der Standardform zum Typ ${}(p,q)$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Typkriterien für symmetrische Bilinearformen

Es gibt mehrere Methoden, den Typ einer symmetrischen Bilinearform zu bestimmen, wobei der Sylvestersche Trägheitssatz eine erste Möglichkeit ist, die aber den Nachteil hat, dass man eine Orthogonalbasis bestimmen muss. Wir besprechen das Minorenkriterium und das Eigenwertkriterium. Unter einem Minor versteht man die Determinante einer quadratischen Untermatrix einer Matrix. Man könnte also bei dem folgenden Kriterium genauso gut von einem Determinantenkriterium sprechen.

Satz

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten ${}D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen

${}M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}\,$

seien für ${}k=1,\ldots ,n$ von ${}0$ verschieden. Es sei ${}a$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

$D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$

Dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(n-a,a)$.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht ${}0$ ist, ist nach Aufgabe ***** die Bilinearform nicht ausgeartet und daher hat der Typ die Form ${}(n-q,q)$. Wir müssen zeigen, dass ${}q=a$ ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von ${}V$, wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension ${}n-1$ bewiesen und es liege ein ${}n$-dimensionaler Raum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der Untervektorraum

${}U=\langle v_{1},\ldots ,v_{n-1}\rangle \,$

hat die Dimension ${}n-1$ und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der Gramschen Matrix zur eingeschränkten Form ${}\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}$ stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied

${}D_{n}=\det M_{n}=\det G\,$

weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt ${}\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}$ den Typ ${}(n-1-b,b)$, wobei ${}b$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

$D_{0}=1,\,D_{1},\ldots ,D_{n-1}$

ist. Aufgrund der Definition des Typs ist

${}b\leq q\leq b+1\,,$

da ein ${}q$-dimensionaler Untervektorraum ${}W\subseteq V$, auf dem die Bilinearform negativ definit ist, zu einem Untervektorraum

${}W'=U\cap W\subseteq U\,$

führt, der die Dimension ${}q$ oder ${}q-1$ besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach Aufgabe ***** ist das Vorzeichen von ${}D_{n-1}$ gleich ${}(-1)^{b}$ und das Vorzeichen von ${}D_{n}$ gleich ${}(-1)^{q}$. Das bedeutet, dass zwischen ${}D_{n-1}$ und ${}D_{n}$ ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel (und somit ${}a=b+1$) genau dann vorliegt, wenn

${}q=b+1\,$

ist.

$\Box$

 

Korollar

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis und es seien ${}D_{k}$ die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

$M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k},\,k=1,\ldots ,n.$

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Genau dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ positiv definit, wenn alle ${}D_{k}$ positiv sind.
2. Genau dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge ${}D_{0}=1,\,D_{1},\,D_{2},\ldots ,D_{n}$ an jeder Stelle wechselt.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

(1). Wenn die Bilinearform positiv definit ist, so ist nach Aufgabe ***** das Vorzeichen der Determinante der Gramschen Matrix gleich ${}(-1)^{0}=1$, also positiv. Da die Einschränkung der Form auf die Unterräume ${}U_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$ ebenfalls positiv definit ist, sind auch die Determinanten zu den Untermatrizen positiv.
Wenn umgekehrt die Determinanten alle positiv sind, so folgt aus Fakt *****, dass die Bilinearform positiv definit ist.

(2) folgt aus (1), indem man die negative Bilinearform, also ${}-\left\langle -,-\right\rangle$, betrachtet.

$\Box$

 

Wir erwähnen noch das folgende Eigenwertkriterium.

Satz

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.

Dann besitzt der Typ ${}(p,q)$ der Form folgende Interpretation: ${}p$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu ${}G$ zu positiven Eigenwerten und ${}q$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu ${}G$ zu negativen Eigenwerten.

Fußnoten

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