Kurs:Mathematik für Anwender I/5/Klausur mit Lösungen

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.
2. Ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$.
3. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen den ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

4. Eine invertierbare ${}n\times n$-Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
5. Die Konvergenz einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$.
6. Die geometrische Reihe für ${}x\in \mathbb {R}$.
7. Die Differenzierbarkeit einer Abbildung

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt

   ${}a\in \mathbb {R}$.

8. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem kompakten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Lösung

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.
2. Ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$.
3. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen den ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

4. Eine invertierbare ${}n\times n$-Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
5. Die Konvergenz einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$.
6. Die geometrische Reihe für ${}x\in \mathbb {R}$.
7. Die Differenzierbarkeit einer Abbildung

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt

   ${}a\in \mathbb {R}$.

8. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem kompakten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen.
2. Das Quotientenkriterium für eine Reihe.
3. Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$- Vektorräume und

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   sei eine ${}K$- lineare Abbildung und ${}V$ sei endlichdimensional.

   Dann gilt

   ${}\operatorname {dim} _{}\left(V\right)=\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {kern} \varphi \right)+\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {bild} \varphi \right)\,.$

2. Es sei

   $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

   eine Reihe von reellen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl ${}q$ mit ${}0\leq q<1$ und ein ${}k_{0}$

   ${}\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$

   für alle ${}k\geq k_{0}$(insbesondere sei ${}a_{k}\neq 0$ für ${}k\geq k_{0}$).

   Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.

3. Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$.

   Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit ${}f(x)=u$.

4. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Es sei ${}a\in I$ und es sei

   ${}F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$

   die zugehörige Integralfunktion.

   Dann ist ${}F$ differenzierbar und es gilt

   ${}F'(x)=f(x)\,$

   für alle ${}x\in I$.

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Zwei Fahrradfahrer, ${}A$ und ${}B$, fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer ${}A$ macht pro Minute ${}40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von ${}1$ zu ${}6$ und Reifen mit einem Radius von ${}39$ Zentimetern. Fahrer ${}B$ braucht für eine Pedaldrehung ${}2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von ${}1$ zu ${}7$ und Reifen mit einem Radius von ${}45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

Lösung

Wir vergleichen die Strecken, die die beiden Fahrer pro Minute zurücklegen. Für Fahrer ${}A$ ist dies (in Zentimetern)

$s_{A}=40\cdot 6\cdot 39\cdot 2\pi ,$

für Fahrer ${}B$, der ${}30$ Pedalumdrehungen pro Minute macht, ist dies

$s_{B}=30\cdot 7\cdot 45\cdot 2\pi .$

Der Quotient ist

${}{\frac {s_{A}}{s_{B}}}={\frac {40\cdot 6\cdot 39\cdot 2\pi }{30\cdot 7\cdot 45\cdot 2\pi }}={\frac {4\cdot 6\cdot 39}{3\cdot 7\cdot 45}}={\frac {4\cdot 2\cdot 13}{7\cdot 15}}={\frac {104}{105}}\,.$

Also fährt ${}B$ schneller als ${}A$.

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl ${}n$ die Zahl ${}25n^{2}-17$ ein Vielfaches von ${}8$ ist.

Lösung

Eine ungerade Zahl ${}n$ besitzt die Form ${}n=2k+1$ mit einer ganzen Zahl ${}k$. Somit ist

${}{\begin{aligned}25n^{2}-17&=25(2k+1)^{2}-17\\&=25(4k^{2}+4k+1)-17\\&=25\cdot 4\cdot k(k+1)+25-17\\&=25\cdot 4\cdot k(k+1)+8.\end{aligned}}$

Die ${}8$ hinten ist ein Vielfaches von ${}8$. Genau eine der beiden Zahlen ${}k$ und ${}k+1$ ist gerade, also von der Form ${}2m$. Daher ist ${}4\cdot k(k+1)$ ein Vielfaches von ${}8$ und somit ist die gesamte Zahl ein Vielfaches von ${}8$.

 

Aufgabe * (2 Punkte)

Löse die lineare Gleichung

${}(2+5{\mathrm {i} })z=(3-7{\mathrm {i} })\,$

über ${}{\mathbb {C} }$ und berechne den Betrag der Lösung.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}z&=(3-7{\mathrm {i} })(2+5{\mathrm {i} })^{-1}\\&=(3-7{\mathrm {i} }){\frac {(2-5{\mathrm {i} })}{29}}\\&={\frac {6-35-14{\mathrm {i} }-15{\mathrm {i} }}{29}}\\&={\frac {-29-29{\mathrm {i} }}{29}}\\&=-1-{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Der Betrag ist

${}\vert {-1-{\mathrm {i} }}\vert ={\sqrt {2}}\,.$

 

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es seien die beiden Polynome

$P=X^{2}+3X-5\,\,{\text{ und }}\,\,Q=X^{2}-4X+7$

gegeben.

a) Berechne ${}P(Q)$ (es soll also ${}Q$ in ${}P$ eingesetzt werden).

b) Berechne die Ableitung von ${}P(Q)$ direkt und mit Hilfe der Kettenregel.

Lösung

a) Es ist

${}{\begin{aligned}P(Q)&=(X^{2}-4X+7)^{2}+3(X^{2}-4X+7)-5\\&=X^{4}+16X^{2}+49-8X^{3}+14X^{2}-56X+3X^{2}-12X+21-5\\&=X^{4}-8X^{3}+33X^{2}-68X+65.\end{aligned}}$

b) Die Ableitung von ${}P(Q)$ ist

${}(X^{4}-8X^{3}+33X^{2}-68X+65)^{\prime }=4X^{3}-24X^{2}+66X-68\,.$

Es ist ${}P'=2X+3$ und

${}P'(Q)=2(X^{2}-4X+7)+3=2X^{2}-8X+17\,.$

Nach der Kettenregel ist daher

${}{\begin{aligned}(P(Q))^{\prime }&=P'(Q)\cdot Q'\\&=(2X^{2}-8X+17)(2X-4)\\&=4X^{3}-8X^{2}-16X^{2}+32X+34X-68\\&=4X^{3}-24X^{2}+66X-68.\end{aligned}}$

 

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien

$g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}$

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über ${}n$ die Beziehung

${}{\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}^{\prime }={\frac {-1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\,.$

Lösung

Für ${}n=1$ ist nach der Kettenregel

${}{\left({\frac {1}{g_{1}}}\right)}^{\prime }=-{\frac {g_{1}'}{g_{1}^{2}}}=-{\frac {1}{g_{1}}}\cdot {\frac {g_{1}'}{g_{1}}}\,.$

Zum Induktionsschluss sei die Aussage für ${}n$ Funktionen schon bewiesen, und seien ${}n+1$ Funktionen gegeben. Dann ist aufgrund der Produktregel und der Induktionsvoraussetzung

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}\cdot g_{n+1}}}\right)}'&={\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\frac {1}{g_{n+1}}}\right)}'\\&={\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}'\cdot {\frac {1}{g_{n+1}}}+{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {1}{g_{n+1}}}\right)}^{\prime }\\&=-{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\cdot {\frac {1}{g_{n+1}}}+{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left(-{\frac {1}{g_{n+1}}}\cdot {\frac {g_{n+1}'}{g_{n+1}}}\right)}\\&=-{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}\cdot g_{n+1}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}-{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}\cdot g_{n+1}}}\cdot {\frac {g_{n+1}'}{g_{n+1}}}\\&=-{\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}\cdot g_{n+1}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}+{\frac {g_{n+1}'}{g_{n+1}}}\right)}.\,\end{aligned}}$

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}2&4&0\\-1&0&3\\0&1&1\end{pmatrix}}.$

Lösung

${}{\begin{pmatrix}2&4&0\\-1&0&3\\0&1&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}2&4&0\\0&2&3\\0&1&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\{\frac {1}{2}}&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}2&4&0\\0&2&3\\0&0&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\{\frac {1}{2}}&1&0\\-{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&{\frac {3}{2}}\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{2}}&1&-2\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0&0\\-{\frac {1}{2}}&-1&3\\{\frac {1}{2}}&1&-2\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&2&-6\\-{\frac {1}{2}}&-1&3\\{\frac {1}{2}}&1&-2\end{pmatrix}}$

 

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}W$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum (${}K$ ein Körper) und seien ${}U,V\subseteq W$ Untervektorräume der Dimension ${}\operatorname {dim} _{}\left(U\right)=r$ und ${}\operatorname {dim} _{}\left(V\right)=s$. Es gelte ${}r+s>n$. Zeige, dass ${}U\cap V\neq 0$ ist.

Lösung

Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{r}$ eine Basis von ${}U$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{s}$ eine Basis von ${}V$. Wir betrachten die Familie der Vektoren

$u_{1},\ldots ,u_{r},v_{1},\ldots ,v_{s}.$

Wegen ${}r+s>n$ kann diese Familie nicht linear unabhängig sein, da es sonst einen ${}(r+s)$-dimensionalen Untervektorraum von ${}W$ geben würde. Also gibt es Koeffizienten ${}a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$, die nicht alle ${}0$ sind, mit

$a_{1}u_{1}+\cdots +a_{r}u_{r}=b_{1}v_{1}+\cdots +b_{s}v_{s}.$

Dieser Vektor gehört zu ${}U\cap V$. Er ist nicht ${}0$, da andernfalls beidseitig alle Koeffizienten ${}0$ sein müssten.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die Summe

$\sum _{n=3}^{\infty }{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{n}.$

Lösung

Mit der Formel für die geometrische Reihe ist

${}\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{n}={\frac {1}{1-{\frac {2}{5}}}}={\frac {5}{5-2}}={\frac {5}{3}}\,.$

Ferner ist

${}\sum _{n=0}^{2}{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{n}=1+{\frac {2}{5}}+{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{2}={\frac {25+10+4}{25}}={\frac {39}{25}}\,.$

Also ist insgesamt

${}\sum _{n=3}^{\infty }{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{n}={\frac {5}{3}}-{\frac {39}{25}}={\frac {125-117}{75}}={\frac {8}{75}}\,.$

 

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.

Lösung

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir ${}k_{0}=0$ annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle ${}a_{k}$ positive reelle Zahlen sind. Es ist

${}a_{k}={\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\cdot {\frac {a_{k-1}}{a_{k-2}}}{\cdots }{\frac {a_{1}}{a_{0}}}\cdot a_{0}\leq a_{0}\cdot q^{k}\,.$

Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-3x+1.$

Bestimme, ausgehend vom Intervall ${}[0,1]$, mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge ${}1/8$, in dem eine Nullstelle von ${}f$ liegen muss.

Lösung

Wegen ${}f(0)=1$ und ${}f(1)=-1$ muss nach dem Zwischenwertsatz im Intervall ${}[0,1]$ eine Nullstelle von ${}f$ liegen.

Die Intervallmitte ist ${}{\frac {1}{2}}$, dort hat ${}f$ den Wert

${}f{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{3}-3{\left({\frac {1}{2}}\right)}+1={\frac {1-12+8}{8}}=-{\frac {3}{8}}\,.$

Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall ${}[0,{\frac {1}{2}}]$ liegen.

Die Intervallmitte von diesem Intervall ist ${}{\frac {1}{4}}$, dort hat ${}f$ den Wert

${}f{\left({\frac {1}{4}}\right)}={\left({\frac {1}{4}}\right)}^{3}-3{\left({\frac {1}{4}}\right)}+1={\frac {1-48+64}{64}}={\frac {17}{64}}\,.$

Dies ist positiv, also muss eine Nullstelle im Intervall ${}[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}]$ liegen.

Die Intervallmitte von diesem Intervall ist ${}{\frac {3}{8}}$, dort hat ${}f$ den Wert

${}f{\left({\frac {3}{8}}\right)}={\left({\frac {3}{8}}\right)}^{3}-3{\left({\frac {3}{8}}\right)}+1={\frac {27-576+512}{512}}=-{\frac {37}{512}}\,.$

Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall ${}[{\frac {1}{4}},{\frac {3}{8}}]=[{\frac {2}{8}},{\frac {3}{8}}]$ liegen. Die Länge dieses Intervalls ist ${}{\frac {1}{8}}$.

 

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Funktion ${}f(x)=x+\sin x$ streng wachsend ist.

Lösung

Die Ableitung von ${}f$ ist

${}f'(x)=1+\cos x\,.$

Wegen

${}-1\leq \cos x\leq 1\,$

ist ${}f'(x)\geq 0$, und da der Kosinus nur bei reellen Zahlen der Form ${}\pi +n2\pi$ ($n\in \mathbb {Z}$) den Wert ${}-1$ besitzt, besitzt ${}f'$ nur dort eine Nullstelle. Nach Fakt *****  (2) (angewendet auf ein beliebiges beschränktes Teilintervall) ist die Funktion streng wachsend.

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu ${}f(x)=x^{2}$ und ${}g(x)={\sqrt {x}}$ eingeschlossen wird.

Lösung

Für ${}x$ zwischen ${}0$ und ${}1$ ist ${}0\leq x^{2}\leq x\leq {\sqrt {x}}\leq 1$ und für ${}x\geq 1$ ist ${}x^{2}\geq {\sqrt {x}}$. Die eingeschlossene Fläche liegt also innerhalb des Einheitsquadrates. Daher ist der Flächeninhalt gleich dem bestimmten Integral der Wurzelfunktion von ${}0$ bis ${}1$ minus dem bestimmten Integral (in den gleichen Grenzen) zur Parabel. Daher ist der Flächeninhalt gleich

${}{\begin{aligned}A&=\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}dx-\int _{0}^{1}x^{2}dx\\&={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}|_{0}^{1}-{\frac {1}{3}}x^{3}|_{0}^{1}\\&={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3}}\\&={\frac {1}{3}}.\end{aligned}}$

 

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

${\frac {x^{2}+1}{x(x-1)(x-2)}}$

für ${}x>2$.

Lösung

Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also

${}{\frac {x^{2}+1}{x(x-1)(x-2)}}={\frac {\alpha }{x}}+{\frac {\beta }{x-1}}+{\frac {\gamma }{x-2}}\,.$

Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf

${}{\begin{aligned}x^{2}+1&=\alpha (x-1)(x-2)+\beta x(x-2)+\gamma x(x-1)\\&=\alpha (x^{2}-3x+2)+\beta (x^{2}-2x)+\gamma (x^{2}-x)\\&=x^{2}(\alpha +\beta +\gamma )+x(-3\alpha -2\beta -\gamma )+2\alpha .\end{aligned}}$

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich das lineare Gleichungssystem

${}\alpha +\beta +\gamma =1\,,$

${}-3\alpha -2\beta -\gamma =0\,,$

und

${}2\alpha =1\,.$

Addition der ersten beiden Gleichungen ergibt

${}-2\alpha -\beta =1\,.$

Also ist ${}\alpha ={\frac {1}{2}}$,

${}\beta =-2\alpha -1=-2\,$

und

${}\gamma =1-\alpha -\beta ={\frac {5}{2}}\,.$

Somit ist

${}{\frac {x^{2}+1}{x(x-1)(x-2)}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{x}}-2\cdot {\frac {1}{x-1}}+{\frac {5}{2}}\cdot {\frac {1}{x-2}}\,$

und eine Stammfunktion ist

${\frac {1}{2}}\cdot \ln x-2\cdot \ln(x-1)+{\frac {5}{2}}\cdot \ln(x-2).$

 

Aufgabe * (5 (4+1) Punkte)

a) Finde alle Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'=-{\frac {\sin t}{\cos t}}y+(t^{2}-3)\cos t$

für ${}t\in {]{-{\frac {\pi }{2}}},{\frac {\pi }{2}}[}$.

b) Löse das Anfangswertproblem

$y'=-{\frac {\sin t}{\cos t}}y+(t^{2}-3)\cos t{\text{ mit }}y(0)=7.$

Lösung

a) Wir berechnen zuerst die Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung

$y'=-{\frac {\sin t}{\cos t}}y.$

Eine Stammfunktion zu ${}g(t)=-{\frac {\sin t}{\cos t}}$ ist ${}G(t)=\ln {\left(\cos t\right)}$. Daher sind (mit $c\in \mathbb {R}$)

${}c\cdot e^{\ln {\left(\cos t\right)}}=c\cdot \cos t\,$

die Lösungen der homogenen Gleichung.

Zur Bestimmung einer Lösung der inhomogenen Gleichung müssen wir eine Stammfunktion zu

$(t^{2}-3)\cdot \cos t\cdot (\cos t)^{-1}=t^{2}-3$

bestimmen. Eine solche ist ${}{\frac {1}{3}}t^{3}-3t$. Somit sind die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung gleich

${\left({\frac {1}{3}}t^{3}-3t\right)}\cos t+c\cdot \cos t,c\in \mathbb {R} .$

b) Zur Lösung des Anfangswertproblems müssen wir das ${}c$ aus Teil a) bestimmen. Die Anfangsbedingung führt auf

${}c\cos 0=7\,,$

also ist ${}c=7$ und

${\left({\frac {1}{3}}t^{3}-3t\right)}\cos t+7\cdot \cos t$

ist die Lösung des Anfangswertproblems.

 

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