Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 20/kontrolle

Aufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Divisoren zu den folgenden meromorphen Funktionen und meromorphen Differentialformen.

1. ${}z$ und ${}dz$.
2. ${}z^{n}$ und ${}dz^{n}$.
3. ${}z^{2}-z$ und ${}d{\left(z^{2}-z\right)}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und ${}\omega$ eine meromorphe Differentialform auf ${}X$. Zeige, dass ${}\omega$ genau dann holomorph ist, wenn der zugehörige Divisor effektiv ist.

Aufgabe Aufgabe 20.3 ändern

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass die Divisoren zu meromorphen Differentialformen folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Die Divisoren zu meromorphen Differentialformen sind linear äquivalent.
2. Für eine meromorphe Differentialform ${}\omega \neq 0$ und eine meromorphe Funktion ${}f\neq 0$ ist

   ${}\operatorname {div} {\left(f\omega \right)}=\operatorname {div} {\left(f\right)}+\operatorname {div} {\left(\omega \right)}\,.$

3. Für eine nichtkonstante meromorphe Funktion ${}f$ gilt für Punkte aus dem Träger des Hauptdivisors ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ die Beziehung

   ${}\operatorname {div} {\left(df\right)}_{P}=\operatorname {div} {\left(f\right)}_{P}-1\,.$

   Für Punkte außerhalb des Trägers gilt die Abschätzung

   ${}\operatorname {div} {\left(df\right)}_{P}\geq 0\,.$

Für die beiden folgenden Aufgaben siehe auch Lemma 31.7 und Satz 31.8.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ und einer holomorphen Differentialform ${}\omega$ auf ${}Y$ mit dem zugehörigen Divisor ${}D=\operatorname {div} {\left(\omega \right)}$ der zurückgezogene Divisor ${}\varphi ^{*}D$ im Allgemeinen nicht der Divisor zur zurückgezogenen Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ ist.

Den Rückzug einer meromorphen Differentialform kann man wie im holomorphen Fall lokal definieren.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen kompakten riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ und einer meromorphen Differentialform ${}\omega$ auf ${}Y$ mit dem zugehörigen Divisor ${}D=\operatorname {div} {\left(\omega \right)}$ der zurückgezogene Divisor ${}\varphi ^{*}D$ im Allgemeinen nicht der Divisor (und auch nicht die Divisorklasse) zur zurückgezogenen Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ ist.

Wenn in den Aufgaben von einem beringten Raum gesprochen wird, so darf man sich gerne auf eine riemannsche Fläche mit der Garbe der holomorphen Funktionen beschränken.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$. Zeige, dass zu jedem Punkt ${}P\in X$ der Halm ${}{\mathcal {F}}_{P}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$- Modul ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Moduln auf einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$. Zeige, dass dann auch die direkte Summe ${}{\mathcal {F}}\oplus {\mathcal {G}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${}{\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Untermodul. Zeige, dass die Quotientengarbe ${}{\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}$ in natürlicher Weise ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und sei ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf ${}X$. Zeige, dass globale Schnitte ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ Anlass zu einem eindeutig bestimmten Modulhomomorphismus

$\varphi \colon {\mathcal {O}}_{X}^{n}\longrightarrow {\mathcal {M}},\,e_{i}\longmapsto s_{i},$

geben.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$. Es sei

$\varphi \colon {\mathcal {M}}\longrightarrow {\mathcal {N}}$

ein Garbenmorphismus und es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn die Abbildungen

   $\varphi _{U_{i}}\colon \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {N}}\right)}$

   für alle ${}i$ mit der Addition verträglich sind, so gilt dies auch für

   $\varphi _{X}\colon \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {N}}\right)}.$

2. Wenn die

   $\varphi _{U_{i}}\colon \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {N}}\right)}$

   für alle ${}i$ mit den ${}\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$-Skalarmultiplikationen verträglich sind, so gilt dies auch für

   $\varphi _{X}\colon \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {N}}\right)}.$

3. Wenn die

   $\varphi {|}_{U_{i}}\colon {\mathcal {M}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {N}}{|}_{U_{i}}$

   ${}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$- Modulhomomorphismen für alle ${}i$ sind, so gilt dies auch für ${}\varphi$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Zeige, dass die duale Garbe ${}{\mathcal {L}}^{*}$ ebenfalls invertierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\mathcal {L}}$ und ${}{\mathcal {M}}$ invertierbare Garben auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Zeige, dass die Tensorierung ${}{\mathcal {L}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {M}}$ ebenfalls invertierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}{\mathcal {L}}$ und ${}{\mathcal {M}}$ invertierbare Garben auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und sei ${}\varphi \colon {\mathcal {L}}\rightarrow {\mathcal {M}}$ ein surjektiver Modulhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Halme zu einer beliebigen invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf einer beliebigen riemannschen Fläche ${}X$ in einem beliebigen Punkt stets zueinander isomorph sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche, ${}D$ ein Divisor und ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ die zugehörige invertierbare Garbe. Zeige, dass ${}D$ genau dann effektiv ist, wenn ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ einen nichttrivialen globalen Schnitt besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein Divisor ${}D$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$ genau dann ein kanonischer Divisor ist, wenn die zugehörige invertierbare Garbe isomorph zur Garbe der holomorphen Differentialformen ist.

Aufgabe * Aufgabe 20.17 ändern

Zeige, dass auf einer riemannschen Fläche ${}X$ jede invertierbare Untergarbe der Garbe der meromorphen Funktionen von einem Divisor herrührt.

Aufgabe * Aufgabe 20.18 ändern

Es sei ${}P\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ein Punkt der projektiven Geraden und ${}n\in \mathbb {Z}$.

1. Zeige, dass die zugehörige invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(nP)$ unabhängig vom Punkt ${}P$ ist. Wir bezeichnen sie mit ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n)$.
2. Bestimme eine Basis des Vektorraumes ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n\{\infty \})\right)}$ als Untervektorraum von

   ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {M}}\right)}={\mathbb {C} }(z)\,.$

3. Bestimme die Dimension von ${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}(n)\right)}$.

Aufgabe Aufgabe 20.19 ändern

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}D$ ein Divisor auf ${}D$. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ betrachten wir die invertierbaren Garben ${}{\mathcal {O}}_{X}(nD)$ (als Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen). Zeige die folgenden Aussagen.

1. Mit ${}f\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}$ und ${}g\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)}$ ist ${}fg\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}((n+m)D)\right)}$.
2. Die Vereinigung ${}R_{D}:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}$ ist ein Unterring von ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$.
3. Es sei ${}D$ ein effektiver Divisor auf ${}X$ mit den Trägerpunkten ${}P_{1},\ldots ,P_{k}$. Dann ist

   ${}R_{D}=\Gamma {\left(X\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\cap \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}D$ ein Divisor auf ${}D$. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ betrachten wir die invertierbaren Garben ${}{\mathcal {O}}_{X}(nD)$ (als Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen). Zeige die folgenden Aussagen.

1. Mit ${}f\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}$ und ${}g\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)}$ ist ${}fg\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}((n+m)D)\right)}$.
2. Die direkte Summe ${}A_{D}:=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}$ ist eine kommutative ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$- Algebra.
3. Die Algebra ${}A_{D}$ ist ein Unterring des Polynomrings ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}[T]$.