Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 23/kontrolle

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Hauptdivisor zu in .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Hauptdivisor zu in .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Hauptdivisor zur Gaußschen Zahl .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Zahlbereich und sei gegeben als ein Produkt

mit paarweise nicht assoziierten Primelementen und einer Einheit . Zeige, dass dann für den zugehörigen Hauptdivisor die Gleichheit

gilt, wobei die die von erzeugten Primideale bezeichnen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Zahlbereich und , . Zeige, dass der Hauptdivisor mit dem Divisor zum Hauptideal übereinstimmt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Zahlbereich und ein von verschiedenes Ideal mit einem Erzeugendensystem . Zeige


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Zahlbereich und seien von verschiedene Elemente. Zeige, dass genau dann ein Teiler von ist, wenn für die Hauptdivisoren die Beziehung

gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein kommutativer Ring, sei und sei ein Ideal. Zeige, dass genau dann gilt, wenn für alle Lokalisierungen gilt, dass ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein kommutativer Ring und sei ein maximales Ideal mit Lokalisierung . Es sei ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann auch eine Lokalisierung von ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Primideal. Dann ist der Restklassenring ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper und ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal . Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

vorliegt.


Den in der vorstehenden Aufgabe beschriebenen Körper nennt man auch den Restekörper von ; man bezeichnet ihn mit . Die Abbildung

(aufgefasst in diesem Körper) heißt auch die Auswertungsabbildung (oder Evaluationsabbildung) an der Stelle .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein kommutativer Ring und

ein Ringhomomorphismus in einen Körper . Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Faktorisierung

mit einem Restekörper zu einem Primideal gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass zu der Einsetzungshomomorphismus

mit der Evaluationsabbildung (in den Restekörper ) zum Primideal übereinstimmt.


Brent method example.png

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei , , und . Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von an der Stelle übereinstimmen.

  1. Die Verschwindungsordnung von an der Stelle , also die maximale Ordnung einer Ableitung mit .
  2. Der Exponent des Linearfaktors in der Zerlegung von .
  3. Die Ordnung von an der Lokalisierung von am maximalen Ideal .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme ein Polynom minimalen Grades, das an der Stelle mit der Ordnung zwei verschwindet, das an der Stelle mit der Ordnung fünf verschwindet und das an den Stellen und einfach verschwindet.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper. Wir betrachten in die beiden Primideale

Zeige, dass es kein Ideal mit

gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die nilpotenten Elemente von und die Reduktion von .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei quadratfrei und . Finde in ein Primideal derart, dass die Lokalisierung an kein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Betrachte in die Zerlegung

Zeige, dass die beteiligten Elemente irreduzibel, aber nicht prim sind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die Hauptdivisoren zu diesen Elementen.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein Zahlbereich und , . Zeige ohne Verwendung des Bijektionssatzes, dass die Hauptdivisoren und genau dann gleich sind, wenn und assoziiert sind.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein Zahlbereich und sei , . Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:

Das Element ist prim genau dann, wenn der zugehörige Hauptdivisor die Gestalt mit einem Primideal besitzt.

Das Element ist irreduzibel genau dann, wenn minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren ist.


Aufgabe (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist die Potenz einer Primzahl.
  2. Der Restklassenring ist zusammenhängend.
  3. Der Restklassenring ist lokal.
  4. Die Reduktion von ist ein Körper.
  5. Jeder Nullteiler von ist nilpotent.
  6. Der Restklassenring besitzt genau ein Primideal.
  7. Der Restklassenring besitzt genau ein maximales Ideal.



<< | Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)