Riemannscher Abbildungssatz/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine einfach zusammenhängende offene Teilmenge mit ${}U\neq {\mathbb {C} }$.

Dann gibt es eine injektive holomorphe Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow U{\left(0,1\right)}$.

Beweis

Es sei ${}w\notin U$. Dann ist die lineare Funktion ${}z-w$ nullstellenfrei auf ${}U$ und daher gibt es nach Fakt eine holomorphe Funktion ${}\psi \colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}{\left(\psi (z)\right)}^{2}=z-w$. Die Abbildung ${}\psi$ ist injektiv als Quadratwurzel einer injektiven Funktion. Aufgrund des Offenheitssatzes ist ${}\psi (U)$ offen in ${}{\mathbb {C} }$. Es gibt also insbesondere einen Punkt ${}P\neq 0$ und eine offene Kreisscheibe

${}U{\left(P,r\right)}\subseteq \psi (U)\,,$

wobei wir ${}0<r<\vert {P}\vert$ wählen. Wir behaupten, dass die gegenüberliegende Kreisscheibe ${}U{\left(-P,r\right)}$ disjunkt zu ${}\psi (U)$ ist. Wäre nämlich ${}Q\in U{\left(-P,r\right)}\cap \psi (U)$, so gäbe es Punkte ${}S_{1},S_{2}\in U$ mit ${}Q=\psi (S_{1})$ und ${}-Q=\psi (S_{2})$. Doch dann ist

${}{\left(\psi (S_{1})\right)}^{2}=Q^{2}={\left(\psi (S_{2})\right)}^{2}\,,$

was der Injektivität von ${}z-w$ widerspricht. Daher ist ${}\vert {\psi (z)+P}\vert \geq r$ und die Funktion

${}\varphi (z)={\frac {r}{\psi (z)+P}}\,$

ist auf ${}U$ wohldefiniert, injektiv und landet im abgeschlossenen, aber aufgrund des Offenheitssatzes auch im offenen Einheitskreis.

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Ein injektive holomorphe Abbildung nennt man auch schlicht.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq U{\left(0,1\right)}$ eine einfach zusammenhängende offene Teilmenge mit ${}0\in U$ und es sei

$f\colon U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}$

eine injektive holomorphe Abbildung mit ${}f(0)=0$.

Dann ist ${}f$ surjektiv, oder es gibt eine weitere injektive holomorphe Funktion

$g\colon U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}$

mit ${}g(0)=0$ und mit

${}\vert {g'(0)}\vert >\vert {f'(0)}\vert \,.$

Beweis

Es sei ${}f$ nicht surjektiv und sei ${}a\in U{\left(0,1\right)}$ nicht im Bild. Wir betrachten die Hintereinanderschaltung

${}h=\alpha \circ f\,$

mit

${}\alpha (w)={\frac {w-a}{1-{\overline {a}}w}}\,,$

also die Funktion

${}h(z)={\frac {f(z)-a}{1-{\overline {a}}f(z)}}\,.$

Nach Aufgabe bildet ${}\alpha$ den Einheitskreis in sich ab, daher ist auch ${}h$ eine Abbildung von ${}U$ in den Einheitskreis. Da ${}h$ nullstellenfrei und ${}U$ einfach zusammenhängend ist, gibt es nach Fakt eine Funktion

$\psi \colon U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}$

mit ${}(\psi (z))^{2}=h(z)$. Beachte dabei ${}h(0)=-a$ und ${}\vert {\psi (0)}\vert ^{2}=\vert {h(0)}\vert =\vert {a}\vert$. Wir betrachten nun

${}g=\beta \circ \psi \,$

mit

${}\beta (u)={\frac {u-\psi (0)}{1-{\overline {\psi (0)}}u}}\,,$

also

${}g(z)={\frac {\psi (z)-\psi (0)}{1-{\overline {\psi (0)}}\psi (z)}}\,.$

Nach Konstruktion ist ${}g$ injektiv und bildet in den Einheitskreis ab. Ferner ist ${}g(0)=0$. Schließlich gilt unter Verwendung von Aufgabe

${}{\begin{aligned}\vert {g'(0)}\vert &=\vert {\frac {\psi '(0){\left(1-{\overline {\psi (0)}}\psi (0)\right)}}{{\left(1-{\overline {\psi (0)}}\psi (0)\right)}^{2}}}\vert \\&=\vert {\frac {\psi '(0)}{1-\vert {\psi (0)}\vert ^{2}}}\vert \\&=\vert {\frac {\psi '(0)}{1-\vert {a}\vert }}\vert \\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-\vert {a}\vert }}\cdot \vert {{\frac {1-a{\overline {a}}}{\sqrt {-a}}}\cdot f'(0)}\vert \\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-\vert {a}\vert }}\cdot {\frac {1-\vert {a}\vert ^{2}}{\sqrt {\vert {a}\vert }}}\cdot \vert {f'(0)}\vert \\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1+\vert {a}\vert }{\sqrt {\vert {a}\vert }}}\cdot \vert {f'(0)}\vert \\&>\vert {f'(0)}\vert ,\end{aligned}}$

wobei die letzte Abschätzung auf (der strikten Version von) Aufgabe beruht.

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Wir kommen nun zum Beweis des riemannschen Abbildungssatzes. Der Satz wurde um 1850 erstmals von Riemann formuliert, korrekte Beweise gab es aber erst rund 60 Jahre später.

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine einfach zusammenhängende offene Teilmenge mit ${}U\neq {\mathbb {C} }$.

Dann ist ${}U$ biholomorph zur offenen Kreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$.

Beweis

Nach Fakt gibt es zumindest eine injektive holomorphe Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow U{\left(0,1\right)}$. Wir betrachten von nun an direkt ${}U\subseteq U{\left(0,1\right)}$, durch einen Automorphismus der Kreisscheibe (siehe Aufgabe) können wir zusätzlich ${}0\in U$ annehmen. Wir betrachten die Funktionenmenge

$T={\left\{f:U\longrightarrow U{\left(0,1\right)}{\text{ injektiv und holomorph}}\mid f(0)=0,\,\vert {f'(0)}\vert \geq 1\right\}}\,$

und zeigen zunächst, dass ${}T$ abgeschlossen in der Topologie der kompakten Konvergenz ist. Dazu sei ${}f_{n}$ eine in ${}C(U,{\mathbb {C} })$ kompakt konvergente Folge in ${}T$ mit der Grenzfunktion ${}f$. Aufgrund von Fakt liegt Konvergenz in ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ vor. Die Grenzfunktion ist injektiv oder konstant nach Fakt. Nach Fakt konvergieren auch die Ableitungen ${}f_{n}'$ gegen ${}f'$ und somit ist insbesondere

${}\vert {f'(0)}\vert \geq 1\,.$

Dies schließt aus, dass die Grenzfunktion konstant ist, und sichert die Injektivität. Das Bild der Grenzfunktion liegt aufgrund der Konvergenz in der abgeschlossenen Kreisscheibe, aber aufgrund des Offenheitssatzes auch in der offenen Kreisscheibe. Die Funktionenmenge ${}T$ ist unmittelbar beschränkt. Der Satz von Montel ergibt mit Fakt und Fakt, dass ${}T$ kompakt ist.

Die Abbildung

$\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}),\,f\longmapsto f',$

ist nach Fakt stetig in der Topologie der kompakten Konvergenz und daher ist auch die Abbildung

$\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \vert {f'(0)}\vert ,$

stetig. Nach Fakt ist die Betragsmenge ${}{\left\{\vert {f'(0)}\vert \mid f\in T\right\}}$ ebenfalls kompakt und daher nach Fakt abgeschlossen und beschränkt und enthält nach Fakt ihr Maximum. Es sei ${}f\in T$ eine Funktion mit der Eigenschaft, dass ${}\vert {f'(0)}\vert$ dieses Maximum ist. Mit Fakt folgt, dass ${}f$ surjektiv ist.

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Bemerkung  

Der riemannsche Abbildungssatz besitzt eine Verallgemeinerung, den großen riemannschen Abbildungssatz. Dabei geht es um sogenannte riemannsche Flächen, also eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten, wozu offene Teilmengen von ${}{\mathbb {C} }$ gehören. Er besagt, dass es vom Holomorphietyp her nur drei einfach zusammenhängende riemannsche Flächen gibt, nämlich ${}{\mathbb {C} }$, die offene Kreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ und die riemannsche Zahlenkugel ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, das ist einfach die reell zweidimensionale Sphäre mit der (eindeutig bestimmten) komplexen Struktur. Letztere ist eine kompakte riemannsche Fläche und insbesondere nicht innerhalb von ${}{\mathbb {C} }$ realisierbar. Für den einfachen Zusammenhang der Sphäre vergleiche Aufgabe. Der darauf aufbauende Uniformisierungssatz besagt, dass die universelle Überlagerung einer zusammenhängenden riemannschen Fläche existiert, eine einfach zusammenhängende riemannsche Fläche ist und somit eine der drei Möglichkeiten ist.