Algebraische Zahlentheorie/Kähler-Differentiale/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}R$-Algebra. Der von allen Symbolen ${}d(a)$, ${}a\in A$, erzeugte ${}A$-Modul, modulo den Identifizierungen

$d(ab)=ad(b)+bd(a){\text{ für alle }}a,b\in A$

und

$d(ra+sb)=rd(a)+sd(b){\text{ für alle }}r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A,$

heißt Modul der Kähler-Differentiale von ${}A$ über ${}R$. Er wird mit

$\Omega _{A{|}R}$

bezeichnet.

Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien ${}A$-Modul ${}F$ mit ${}da$, ${}a\in A$ als Basis und bildet den ${}A$-Restklassenmodul zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen

$d(ab)-ad(b)-bd(a)\,(a,b\in A)$

und

$d(ra+sb)-rd(a)-sd(b)\,(r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A)$

erzeugt wird. Die Abbildung

$d\colon A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,a\longmapsto d(a)=da,$

heißt die universelle Derivation. Man prüft sofort nach, dass es sich um eine ${}R$-Derivation handelt.

Grundlage für konkrete Berechnungen bilden die folgenden Lemmata.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen über ${}R$.

Dann ist der Modul der Kähler-Differentiale der freie ${}A$-Modul zur Basis

$dX_{1},dX_{2},\ldots ,dX_{n}.$

Die universelle Derivation ist bezüglich dieser Basis durch

$A\longrightarrow AdX_{1}\oplus \cdots \oplus AdX_{n},\,F\longmapsto dF={\frac {\partial F}{\partial X_{1}}}dX_{1}+\cdots +{\frac {\partial F}{\partial X_{n}}}dX_{n},$

gegeben.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien ${}A$ und ${}B$ kommutative ${}R$-Algebren und

$\varphi \colon A\longrightarrow B$

ein ${}R$-Algebrahomomorphismus.

Dann ist die Sequenz

$\Omega _{A{|}R}\otimes _{A}B\longrightarrow \Omega _{B{|}R}\longrightarrow \Omega _{B{|}A}\longrightarrow 0$

von ${}B$-Moduln exakt.

Dabei geht ${}da\otimes b$ auf ${}bd\varphi (a)$ und ${}db$ (in ${}\Omega _{B{|}R}$) auf ${}db$ (in ${}\Omega _{B{|}A}$).

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}A$ eine kommutative endlich erzeugte ${}R$-Algebra, die als

${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})\,$

gegeben sei.

Dann ist

${}\Omega _{A{|}R}=\bigoplus _{i=1}^{n}AdX_{i}/(dF_{1},\ldots ,dF_{k})\,.$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}P\in K[X]$ ein nichtkonstantes Polynom und

$K[Y]\longrightarrow K[X]\cong K[Y][X]/(Y-P(X)),\,Y\longmapsto P(X),$

der zugehörige Einsetzungshomomorphismus.

Dann gilt für den Modul der Kähler-Differentiale die Beschreibung

${}\Omega _{K[X]{|}K[Y]}\cong K[X]/(P')\,.$

Beweis

Nach Fakt ist (mit ${}R=K[Y]$ und ${}A=R[X]/(Y-P(X))$)

${}\Omega _{K[X]{|}K[Y]}=\Omega _{K[Y][X]/(Y-P(X)){|}K[Y]}=K[X]/d(Y-P(X))=K[X]/(P')\,.$

$\Box$

Diese Isomorphie ist so zu verstehen, dass die ${}1$ in ${}K[X]/(P')$ dem Differential ${}dX$ entspricht. Man könnte den Sachverhalt auch als die Gleichung

${}\Omega _{K[X]{|}K[Y]}=K[X]/(P')dX\,$

ausdrücken.

Wenn ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist, so ist ${}P'=(X-a_{1})\cdots (X-a_{s})$ und ${}K[X]/(P')\cong K^{s}$. Die vorstehende Aussage zeigt somit insbesondere, dass der Modul der Kähler-Differentiale nur lokalisiert in den maximalen Idealen ${}(X-a_{j})$, die den Nullstellen der Ableitung entsprechen, von ${}0$ verschieden ist. Ein entsprechendes Verhalten gilt generell im Fall einer separablen Erweiterung von Dedekindbereichen.

Lemma

Es sei ${}R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen derart, dass die Körpererweiterung ${}Q(R)\subseteq Q(S)$ der Quotientenkörper separabel sei. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist ${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{S\setminus \{0\}}=0$.
2. Es gibt ein ${}s\in S$, ${}s\neq 0$, mit ${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{s}=0$.
3. Es gibt ein ${}r\in R$, ${}r\neq 0$, mit ${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{r}=0$.
4. Es gibt endlich viele Primideale ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ mit ${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{\mathfrak {q}}\neq 0$.
5. Es gibt ein ${}r\in R$, ${}r\neq 0$, und ein ${}m\in \mathbb {N}$ mit ${}r^{m}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}=0$. Insbesondere ist ${}\Omega _{S{|}R}$ ein ${}S/r^{m}S$-Modul.

Beweis

1. Nach Fakt ist

   ${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{S\setminus \{0\}}=\Omega _{Q(S){|}R}=\Omega _{Q(S){|}Q(R)}\,.$

   Somit folgt die Aussage aus dem Satz vom primitiven Element in Verbindung mit Fakt.

2. Folgt aus (1) aufgrund der endlichen Erzeugtheit von ${}\Omega _{S{|}R}$.
3. Folgt aus (2), man kann für ${}r$ die Norm von ${}s$ nehmen, die ja nach Fakt (im zahlentheoretischen Kontext) ein Vielfaches von ${}s$ ist.
4. Folgt aus (2) und daraus, dass es in einem Dedekindbereich nur endlich viele Primideale oberhalb eines Elementes ${}\neq 0$ gibt.
5. Folgt aus (3) und der endlichen Erzeugtheit.

$\Box$

In der Aussage Fakt  (5) könnte man auf den Exponenten ${}m$ verzichten, wenn man ${}r$ abändert. Aber aus Teil (3) ergibt sich die Aussage mit dem Exponenten. Man denke bei ${}r$ an eine Primzahl aus ${}\mathbb {Z}$, man versucht dann, eine annullierende Potenz mit einem möglichst kleinen Exponenten zu finden.

Lemma

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}R$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.

Dann ist

${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }\cong R/{\left(2{\sqrt {D}}\right)}\,$

bei ${}D=2,3\mod 4$ und

${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }\cong R/{\left({\sqrt {D}}\right)}\,$

bei ${}D=1\mod 4$.

Beweis

Im ersten Fall ist nach Fakt ${}R\cong \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{2}-D\right)}$ und daher nach Fakt

${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=RdX/d{\left(X^{2}-D\right)}=RdX/2XdX\cong R/2X=R/2{\sqrt {D}}\,.$

Im zweiten Fall ist

${}R\cong \mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}}\right)}\,$

mit ${}Y={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$. Somit ist

${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=RdY/d{\left(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}}\right)}=RdY/(2Y-1)dY=RdY/{\sqrt {D}}dY\cong R/{\sqrt {D}}\,.$

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}R$ der ${}p$-te Kreisteilungsring, also

${}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,$

nach Fakt. Nach Fakt ist der Modul der Kähler-Differentiale gleich

${}{\begin{aligned}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }&\cong R/{\left((p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-2}+\cdots +3X^{2}+2X+1\right)}\\&\cong \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1,(p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-3}+\cdots +3X^{2}+2X+1\right)}.\end{aligned}}$

Das beschreibende Ideal ist auf den ersten Blick schwer zu durchschauen. Da ${}X^{p}-1$ zum Ideal des Kreisteilungsringes gehört, gehört auch die Ableitung zum beschreibenden Ideal des Kählermoduls. Es ist ja

${}X^{p}-1=(X-1){\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,$

und somit

${}{\begin{aligned}pX^{p-1}dX&=d{\left(X^{p}-1\right)}\\&=d{\left((X-1){\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\right)}\\&={\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}dX+(X-1){\left((p-1)X^{p-2}+(p-2)X^{p-3}+\cdots +3X^{2}+2X+1\right)}dX.\end{aligned}}$

Damit ist insbesondere

${}pdX=0\,$

in ${}\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }$, da ja ${}X$ eine Einheit ist. Somit ist der Kählermodul ein ${}R_{p}/pR_{p}$-Modul und insbesondere ein ${}\mathbb {Z} /(p)$-Modul. Daher und wegen Fakt ist

${}\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }=\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\Omega _{R_{p}/pR_{p}{|}\mathbb {Z} /(p)}\,.$

Da der Faserring über ${}p$ die Form

${}R_{p}/pR_{p}=\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left((X-1)^{p-1}\right)}=\mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{p-1}\right)}\,$

besitzt, ist wegen ${}{\left(Y^{p-1}\right)}'=-Y^{p-2}$ insgesamt

${}\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }=\Omega _{\mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{p-1}\right)}{|}\mathbb {Z} /(p)}\cong \mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{p-2}\right)}\,.$

Dies ist ein freier ${}\mathbb {Z} /(p)$-Modul mit der (in ${}X$ geschriebenen) Basis ${}dX,XdX,\ldots ,X^{p-3}dX$ (also vom Rang ${}p-2$).

Beispiel

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{p}-p)$, vergleiche Beispiel. Der Modul der Kähler-Differentiale ist

${}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=R/{\left(px^{p-1}\right)}dx\,$

und das annullierende Ideal ist

${}{\left(px^{p-1}\right)}={\left(x^{2p-1}\right)}\,.$

Die Norm von deshalb ist die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale gleich ${}p^{2p-1}$.

Beispiel

Es sei ${}q=\pm 1\mod 9$ eine Primzahl und ${}R=\mathbb {Z} [x,z]\subset \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)$ mit ${}z={\frac {1+qx+x^{2}}{3}}$ der Ganzheitsring, vergleiche Fakt. Der Modul der Kähler-Differentiale wird als ${}R$-Modul von ${}dx$ und ${}dz$ erzeugt. Wir behaupten, dass der Erzeuger ${}dz$ überflüssig ist, obwohl er als Algebraerzeuger nicht überflüssig ist. Dabei gilt

${}3dz=d3z=d{\left(1+qx+x^{2}\right)}=qdx+2xdx=(q+2x)dx\,.$

Ferner ist unter Verwendung von Aufgabe

${}xdz+zdx=dxz=d{\left({\frac {1-q^{2}}{3}}x+qz\right)}={\frac {1-q^{2}}{3}}dx+qdz\,,$

woraus wir

${}(x-q)dz=-zdx-{\frac {1-q^{2}}{3}}dx=-{\left(z+{\frac {1-q^{2}}{3}}\right)}dx\,$

gewinnen. Schließlich ist

${}2zdz=dz^{2}=d{\left({\frac {q^{2}-1}{9}}+{\frac {-q^{3}-q}{9}}x+{\frac {q^{2}+2}{3}}z\right)}={\frac {-q^{3}-q}{9}}dx+{\frac {q^{2}+2}{3}}dz\,,$

woraus wir

${}{\left(2z-{\frac {q^{2}+2}{3}}\right)}dz={\frac {-q^{3}-q}{9}}dx\,$

gewinnen. Wir können also verschiedene Vielfache von ${}dz$ als Vielfache von ${}dx$ ausdrücken. Wir betrachten das von den Vorfaktoren erzeugte Ideal in ${}R$, also

${\left(3,x-q,2z-{\frac {q^{2}+2}{3}}\right)}.$

Dieses Ideal enthält ${}q^{3}-q$ und Im Restklassenring wird also ${}x$ zu ${}q$ und ${}z$ wird zu

${}{\frac {1+qx+x^{2}}{3}}={\frac {1+2q^{2}}{3}}\,.$

Somit enthält das Ideal die Zahlen ${}3,q^{3}-q$ und

${}2{\frac {1+2q^{2}}{3}}-{\frac {q^{2}+2}{3}}=q^{2}\,.$

Da ${}3$ und ${}q$ teilerfremd ist, enthält es auch die ${}1$ und somit gibt es auch eine Darstellung von ${}dz$ als Vielfaches von ${}dx$.