Algebraische Zahlentheorie/Kähler-Differentiale/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative -Algebra. Der von allen Symbolen , , erzeugte -Modul, modulo den Identifizierungen

und

heißt Modul der Kähler-Differentiale von über . Er wird mit

bezeichnet.

Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien -Modul mit , als Basis und bildet den -Restklassenmodul zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen

und

erzeugt wird. Die Abbildung

heißt die universelle Derivation. Man prüft sofort nach, dass es sich um eine -Derivation handelt.

Grundlage für konkrete Berechnungen bilden die folgenden Lemmata.


Lemma

Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring in Variablen über .

Dann ist der Modul der Kähler-Differentiale der freie -Modul zur Basis

Die universelle Derivation ist bezüglich dieser Basis durch

gegeben.


Lemma

Es sei ein kommutativer Ring und es seien und kommutative -Algebren und

ein -Algebrahomomorphismus.

Dann ist die Sequenz

von -Moduln exakt.

Dabei geht auf und (in ) auf (in ).


Lemma

Es sei ein kommutativer Ring und es sei eine kommutative endlich erzeugte -Algebra, die als

gegeben sei.

Dann ist



Korollar  

Es sei ein Körper, ein nichtkonstantes Polynom und

der zugehörige Einsetzungshomomorphismus.

Dann gilt für den Modul der Kähler-Differentiale die Beschreibung

Beweis  

Nach Fakt ist (mit und )

Diese Isomorphie ist so zu verstehen, dass die in dem Differential entspricht. Man könnte den Sachverhalt auch als die Gleichung

ausdrücken.

Wenn algebraisch abgeschlossen ist, so ist und . Die vorstehende Aussage zeigt somit insbesondere, dass der Modul der Kähler-Differentiale nur lokalisiert in den maximalen Idealen , die den Nullstellen der Ableitung entsprechen, von verschieden ist. Ein entsprechendes Verhalten gilt generell im Fall einer separablen Erweiterung von Dedekindbereichen.



Lemma  

Es sei eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen derart, dass die Körpererweiterung der Quotientenkörper separabel sei. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Es ist .
  2. Es gibt ein , , mit .
  3. Es gibt ein , , mit .
  4. Es gibt endlich viele Primideale mit .
  5. Es gibt ein , , und ein mit . Insbesondere ist ein -Modul.

Beweis  

  1. Nach Fakt ist

    Somit folgt die Aussage aus dem Satz vom primitiven Element in Verbindung mit Fakt.

  2. Folgt aus (1) aufgrund der endlichen Erzeugtheit von .
  3. Folgt aus (2), man kann für die Norm von nehmen, die ja nach Fakt (im zahlentheoretischen Kontext) ein Vielfaches von ist.
  4. Folgt aus (2) und daraus, dass es in einem Dedekindbereich nur endlich viele Primideale oberhalb eines Elementes gibt.
  5. Folgt aus (3) und der endlichen Erzeugtheit.


In der Aussage Fakt  (5) könnte man auf den Exponenten verzichten, wenn man abändert. Aber aus Teil (3) ergibt sich die Aussage mit dem Exponenten. Man denke bei an eine Primzahl aus , man versucht dann, eine annullierende Potenz mit einem möglichst kleinen Exponenten zu finden.



Lemma  

Es sei eine quadratfreie Zahl und der zugehörige quadratische Zahlbereich.

Dann ist

bei und

bei .

Beweis  

Im ersten Fall ist nach Fakt und daher nach Fakt

Im zweiten Fall ist

mit . Somit ist



Beispiel  

Es sei eine Primzahl und der -te Kreisteilungsring, also

nach Fakt. Nach Fakt ist der Modul der Kähler-Differentiale gleich

Das beschreibende Ideal ist auf den ersten Blick schwer zu durchschauen. Da zum Ideal des Kreisteilungsringes gehört, gehört auch die Ableitung zum beschreibenden Ideal des Kählermoduls. Es ist ja

und somit

Damit ist insbesondere

in , da ja eine Einheit ist. Somit ist der Kählermodul ein -Modul und insbesondere ein -Modul. Daher und wegen Fakt ist

Da der Faserring über die Form

besitzt, ist wegen insgesamt

Dies ist ein freier -Modul mit der (in geschriebenen) Basis (also vom Rang ).



Beispiel  

Es sei eine Primzahl und , vergleiche Beispiel. Der Modul der Kähler-Differentiale ist

und das annullierende Ideal ist

Die Norm von deshalb ist die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale gleich .



Beispiel  

Es sei eine Primzahl und mit der Ganzheitsring, vergleiche Fakt. Der Modul der Kähler-Differentiale wird als -Modul von und erzeugt. Wir behaupten, dass der Erzeuger überflüssig ist, obwohl er als Algebraerzeuger nicht überflüssig ist. Dabei gilt

Ferner ist unter Verwendung von Aufgabe

woraus wir

gewinnen. Schließlich ist

woraus wir

gewinnen. Wir können also verschiedene Vielfache von als Vielfache von ausdrücken. Wir betrachten das von den Vorfaktoren erzeugte Ideal in , also

Dieses Ideal enthält und Im Restklassenring wird also zu und wird zu

Somit enthält das Ideal die Zahlen und

Da und teilerfremd ist, enthält es auch die und somit gibt es auch eine Darstellung von als Vielfaches von .