Invariantentheorie (Bochum 2003)/Vorlesung 4

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Proposition  

Es sei eine Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Der Invariantenring ist ein Integritätsbereich.
  2. Die Operation induziert eine Operation von auf dem Quotientenkörper als Gruppe von Körperautomorphismen.
  3. Es ist .
  4. Es ist

Beweis  

(1) ist wegen klar.
(2). Es sei der Quotientenkörper von . Zu jedem setzt sich der Ringautomorphismus aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einem Körperautomorphismus fort.
(3). Ein Element aus dem Quotientenkörper hat die Form mit invarianten Elementen . Es ist also insbesondere invariant unter der induzierten Operation auf . Daher gilt .
(4). Die Inklusion ist direkt klar. Die andere Inklusion ergibt sich, da die Operation von auf eingeschränkt auf die ursprüngliche Operation ist. Wenn also ist und aufgefasst in invariant ist, so ist es überhaupt invariant.



Bei einer endlichen Gruppe gilt in Fakt  (3) sogar Gleichheit, wie die folgende Aussage zeigt.



Lemma  

Es sei eine endliche Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.

Dann ist

Beweis  

Die Inklusion gilt nach Fakt  (3) für jede Gruppe. Zum Beweis der Umkehrung seien , , mit gegeben. Wir betrachten

Dann gelten in die Identitäten

Nach Voraussetzung ist der Bruch und in dieser Darstellung offenbar auch der Nenner invariant. Also muss auch der Zähler invariant sein und somit ist .



Beispiel  

Es sei ein unendlicher Körper. Wir betrachten auf die Operation von durch skalare Multiplikation. Zu gehört also der durch gegebene -Algebrahomomorphismus. Der Invariantenring dazu ist , also ein Körper. Der Quotientenkörper von ist der Funktionenkörper in zwei Variablen. Sein Invariantenring unter der Operation ist , also der Funktionenkörper in einer Variablen. In dieser Situation gilt also


Für einen Invariantenring nennt man einen -Modul-Homomorphismus

mit einen Reynolds-Operator. Ein Reynolds-Operator muss im Allgemeinen nicht existieren, er existiert aber unter der folgenden Bedingung.



Lemma  

Es sei eine endliche Gruppe, die auf einer kommutativen -Algebra als Gruppe von -Algebraautomorphismen operiere. Die Gruppenordnung sei kein Vielfaches der Charakteristik von .

Dann ist die Abbildung

ein Reynolds-Operator.

Insbesondere ist ein direkter Summand.

Beweis  

Aufgrund der Voraussetzung an die Charakteristik ist eine Einheit in und damit in , also ist die angegebene Abbildung wohldefiniert. Die Abbildung ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus. Für und ist ferner

daher liegt ein -Modulhomomorphismus vor. Für ist

also ist


Die Bedingung, dass die Gruppenordnung zur Charakteristik teilerfremd ist, ist für viele Resultate der Invariantentheorie eine wesentliche Voraussetzung. Der andere Fall, dass die Gruppenordnung ein Vielfaches der Charakteristik ist, bildet ein eigenes Kapitel der Invariantentheorie, und besitzt sogar einen eigenen Namen. Man spricht von modularer Invariantentheorie.



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe durch Ringautomorphismen operiere.

Dann ist eine ganze Erweiterung.

Beweis  

Zu betrachten wir das Produkt

Die Koeffizienten dieses Polynoms gehören zum Invariantenring . Ferner ist normiert und es ist (da ja ein Linearfaktor ist). Somit liefert eine Ganzheitsgleichung für über und daher ist ganz.




Satz  

Es sei ein Körper, eine endlich erzeugte kommutative -Algebra, auf der eine endliche Gruppe durch -Algebraautomorphismen operiere.

Dann ist der Invariantenring eine endlich erzeugte -Algebra.

Beweis  

Sei

Nach Fakt ist eine ganze Erweiterung. Zu jedem gibt es daher eine Ganzheitsgleichung

mit . Wir betrachten die von den Koeffizienten erzeugte -Unteralgebra von , also

Dabei ist endlich erzeugt, und sämtliche Ganzheitsgleichungen sind über formulierbar, d.h. nach Fakt, dass auch über ganz ist. Da über endlich erzeugt ist, ist insbesondere über endlich erzeugt, so dass nach Fakt sogar endlich ist. Da noethersch ist, muss nach Fakt auch die -Unteralgebra ein endlicher -Modul sein. Damit ist insgesamt eine endlich erzeugte -Algebra.


Bemerkung  

Das 14. Hilbertsche Problem ist die Frage, ob für jede Gruppenoperation auf einer endlich erzeugten -Algebra auch der Invariantenring endlich erzeugt ist. Es wurde von Hilbert 1900 auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris als eines seiner 23 mathematischen Probleme vorgestellt und in den späten Fünfzigern durch ein Gegenbeispiel von Masayoshi Nagata negativ beantwortet.




Satz  

Es sei ein normaler Integritätsbereich und eine Gruppe, die auf als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.

Dann ist auch der Invariantenring normal.

Beweis  

Es sei und erfülle eine Ganzheitsgleichung über . Wegen ist auch ganz über und wegen der Normalität von muss gelten. Wegen

ist somit , also ist normal.




Satz  

Es sei ein faktorieller Bereich und es sei eine endliche Gruppe, die auf als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Die Charaktergruppe zu mit Werten in der Einheitengruppe sei trivial, d.h. es ist

Dann ist auch der Invariantenring faktoriell.

Beweis  

Wir zeigen, dass , , eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Sei

die Zerlegung in in irreduzible Faktoren, wobei die paarweise nicht (in ) assoziiert seien. Für jedes ist dann auch

Wegen der Faktorialität von muss diese Zerlegung mit der ursprünglichen Faktorzerlegung übereinstimmen, d.h. zu jedem gibt es ein und eine Einheit mit

Es sei

die disjunkte Zerlegung der Indexmenge, bei der zwei Indizes in der gleichen Teilmenge landen, wenn es ein gibt derart, dass

und assoziiert sind. Wir setzen

Insbesondere ist dann

Es ist

mit einer (von abhängigen) Einheit

An dieser letzten Darstellung sieht man, dass die Zuordnung , , ein Charakter ist. Nach Voraussetzung ist dieser also trivial, und damit sind die invariant. Somit ist

eine Faktorzerlegung in . Die sind dabei irreduzibel in , da eine Faktorzerlegung

sofort zu einer Zerlegung von in Teilprodukte führt, die aber wegend er Wahl der nicht invariant sein können. Wenn eine beliebige Zerlegung von in irreduzible Faktoren ist, so sind die , aufgefasst in , Produkte gewisser , und wegen der Wahl der wird sogar von einem (in und in ) geteilt. Es liegt also eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren vor und damit ist nach Fakt  (2) faktoriell.




Korollar  

Es sei ein Körper und . Es sei eine endliche Gruppe, die auf als Gruppe von -Algebraautomorphismen operiere. Die Charaktergruppe sei trivial.

Dann ist auch der Invariantenring faktoriell.

Beweis  

Dies folgt aus Fakt.