Kurs:Invariantentheorie (Bochum 2003)/Vorlesung 4
Es sei eine Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Der Invariantenring ist ein Integritätsbereich.
- Die Operation induziert eine Operation von auf dem Quotientenkörper als Gruppe von Körperautomorphismen.
- Es ist .
- Es ist
(1) ist wegen
klar.
(2). Es sei
der
Quotientenkörper
von . Zu jedem
setzt sich der
Ringautomorphismus
aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme
zu einem
Körperautomorphismus
fort.
(3). Ein Element aus dem Quotientenkörper hat die Form mit invarianten Elementen
.
Es ist also insbesondere invariant unter der induzierten Operation auf . Daher gilt
.
(4). Die Inklusion
ist direkt klar. Die andere Inklusion ergibt sich, da die Operation von auf eingeschränkt auf die ursprüngliche Operation ist. Wenn also
ist und aufgefasst in invariant ist, so ist es überhaupt invariant.
Bei einer endlichen Gruppe gilt in
Fakt ***** (3)
sogar Gleichheit, wie die folgende Aussage zeigt.
Es sei eine endliche Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.
Dann ist
Die Inklusion gilt nach Fakt ***** (3) für jede Gruppe. Zum Beweis der Umkehrung seien , , mit gegeben. Wir betrachten
Dann gelten in die Identitäten
Nach Voraussetzung ist der Bruch und in dieser Darstellung offenbar auch der Nenner (siehe Aufgabe *****) invariant. Also muss auch der Zähler invariant sein und somit ist .
Es sei ein unendlicher Körper. Wir betrachten auf die Operation von durch skalare Multiplikation. Zu gehört also der durch gegebene - Algebrahomomorphismus. Der Invariantenring dazu ist , also ein Körper. Der Quotientenkörper von ist der Funktionenkörper in zwei Variablen. Sein Invariantenring unter der Operation ist , also der Funktionenkörper in einer Variablen. In dieser Situation gilt also
Für einen Invariantenring nennt man einen - Modul-Homomorphismus
mit einen Reynolds-Operator. Ein Reynolds-Operator muss im Allgemeinen nicht existieren, er existiert aber unter der folgenden Bedingung.
Es sei eine endliche Gruppe, die auf einer kommutativen - Algebra als Gruppe von - Algebraautomorphismen operiere. Die Gruppenordnung sei kein Vielfaches der Charakteristik von .
Dann ist die Abbildung
ein Reynolds-Operator.
Insbesondere ist ein direkter Summand.
Aufgrund der Voraussetzung an die Charakteristik ist eine Einheit in und damit in , also ist die angegebene Abbildung wohldefiniert. Die Abbildung ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus. Für und ist ferner
daher liegt ein - Modulhomomorphismus vor. Für ist
also ist
Die Bedingung, dass die Gruppenordnung zur Charakteristik teilerfremd ist, ist für viele Resultate der Invariantentheorie eine wesentliche Voraussetzung. Der andere Fall, dass die Gruppenordnung ein Vielfaches der Charakteristik ist, bildet ein eigenes Kapitel der Invariantentheorie, und besitzt sogar einen eigenen Namen. Man spricht von modularer Invariantentheorie.
Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe durch Ringautomorphismen operiere.
Dann ist eine ganze Erweiterung.
Zu betrachten wir das Produkt
Die Koeffizienten dieses Polynoms gehören zum Invariantenring . Ferner ist normiert und es ist (da ja ein Linearfaktor ist). Somit liefert eine Ganzheitsgleichung für über und daher ist ganz.
Es sei ein Körper, eine endlich erzeugte kommutative - Algebra, auf der eine endliche Gruppe durch - Algebraautomorphismen operiere.
Dann ist der Invariantenring eine endlich erzeugte -Algebra.
Es sei
Nach Fakt ***** ist eine ganze Erweiterung. Zu jedem gibt es daher eine Ganzheitsgleichung
mit . Wir betrachten die von den Koeffizienten erzeugte - Unteralgebra von , also
Dabei ist endlich erzeugt, und sämtliche Ganzheitsgleichungen sind über formulierbar, d.h. nach Fakt *****, dass auch über ganz ist. Da über endlich erzeugt ist, ist insbesondere über endlich erzeugt, sodass nach Fakt ***** sogar endlich ist. Da noethersch ist, muss nach Fakt ***** auch die -Unteralgebra ein endlicher -Modul sein. Damit ist insgesamt eine endlich erzeugte -Algebra.
Das 14. Hilbertsche Problem ist die Frage, ob für jede Gruppenoperation auf einer endlich erzeugten -Algebra auch der Invariantenring endlich erzeugt ist. Es wurde von Hilbert 1900 auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris als eines seiner 23 mathematischen Probleme vorgestellt und in den späten Fünfzigern durch ein Gegenbeispiel von Masayoshi Nagata negativ beantwortet.
Es sei ein normaler Integritätsbereich und eine Gruppe, die auf als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.
Dann ist auch der Invariantenring normal.
Es sei und erfülle eine Ganzheitsgleichung über . Wegen ist auch ganz über und wegen der Normalität von muss gelten. Wegen
Es sei ein faktorieller Bereich und es sei eine endliche Gruppe, die auf als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Die Charaktergruppe zu mit Werten in der Einheitengruppe sei trivial, d.h. es ist
Dann ist auch der Invariantenring faktoriell.
Wir zeigen, dass , , eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Sei
die Zerlegung in in irreduzible Faktoren, wobei die paarweise nicht (in ) assoziiert seien. Für jedes ist dann auch
Wegen der Faktorialität von muss diese Zerlegung mit der ursprünglichen Faktorzerlegung übereinstimmen, d.h. zu jedem gibt es ein und eine Einheit mit
Es sei
und assoziiert sind. Wir setzen
Insbesondere ist dann
Es ist
mit einer (von abhängigen) Einheit
An dieser letzten Darstellung sieht man, dass die Zuordnung , , ein Charakter ist. Nach Voraussetzung ist dieser also trivial, und damit sind die invariant. Somit ist
sofort zu einer Zerlegung von in Teilprodukte führt, die aber wegend er Wahl der nicht invariant sein können. Wenn eine beliebige Zerlegung von in irreduzible Faktoren ist, so sind die , aufgefasst in , Produkte gewisser , und wegen der Wahl der wird sogar von einem (in und in ) geteilt. Es liegt also eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren vor und damit ist nach Fakt ***** (2) faktoriell.
Es sei ein Körper und . Es sei eine endliche Gruppe, die auf als Gruppe von - Algebraautomorphismen operiere. Die Charaktergruppe sei trivial.
Dann ist auch der Invariantenring faktoriell.