Kurs:Analysis/Teil I/42/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	6	3	2	4	3	3	5	5	6	2	4	7	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

2. Eine obere Schranke ${}T$ von ${}M$ heißt das Supremum von ${}M$, wenn ${}T\leq S$ für alle oberen Schranken ${}S$ von ${}M$ gilt.
3. Die Funktion

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

   heißt Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.

4. Die Potenzreihe in ${}z$ ist die Reihe

   $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.$

5. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes ${}x\in T$ die Folge

   ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

   in ${}{\mathbb {K} }$ konvergiert.

6. Das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von ${}f$ heißt das Unterintegral von ${}f$.

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Es sei ${}I=[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit

   $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in [a,b].$

2. Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ ist die Exponentialreihe

   $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

   absolut konvergent.
3. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Dann besitzt ${}f$ eine Stammfunktion.

Aufgabe (3 Punkte)

In Beweisen findet man häufig die Formulierung „Wir nehmen (jetzt, also) an“. Welche Bedeutungen im Beweis kann diese Formulierung haben?

Lösung Annahme/Funktion im Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

${}M=\{a,b,c,d\}\,$

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}b$	${}a$	${}c$	${}a$
${}b$	${}d$	${}a$	${}b$	${}b$
${}c$	${}a$	${}b$	${}c$	${}c$
${}d$	${}b$	${}d$	${}d$	${}d$

gegebene Verknüpfung ${}\star$.

1. Berechne

   $b\star (a\star (d\star a)).$

2. Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Lösung

1. Es ist

   ${}b\star (a\star (d\star a))=b\star (a\star b)=b\star a=d\,.$

2. Es gibt kein neutrales Element, da dann eine Zeile eine Wiederholung der Leitzeile sein müsste, was nicht der Fall ist.

Aufgabe (6 (3+2+1) Punkte)

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen ${}995$ und ${}1005$ Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens ${}90$ Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.

1. Wie schwer (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
2. Wie leicht (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
3. Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?

Lösung

Die Gewichte der Äpfel seien

${}x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq x_{4}\leq x_{5}\leq x_{6}\,$

und die Bedingungen sind

${}995\leq x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}\leq 1005\,$

und

${}x_{1}\geq 0{,}9x_{6}\,.$

1. Wenn ${}x_{6}$ besonders groß werden soll, so hat man die besten Chancen beim Gesamtgewicht ${}1005$ Gramm und wenn die fünf übrigen Äpfel alle möglichst klein sind. Daher setzen wir

   ${}x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=x_{5}\,$

   und

   ${}x_{1}=0{,}9x_{6}\,$

   an. Dies führt auf

   ${}1005=5x_{1}+x_{6}=5\cdot 0{,}9x_{6}+x_{6}=5{,}5x_{6}\,.$

   Division führt auf

   ${}1005:5{,}5=182{,}72..\,,$

   also gerundet ${}183$ Gramm. 90 Prozent davon sind

   ${}182{,}72-18{,}27=164{,}45\,.$

   Die anderen Äpfel der Packung wiegen also ${}164$ Gramm.

2. Der analoge Ansatz führt auf das Gesamtgewicht ${}995$ Gramm,

   ${}x_{2}=x_{3}=x_{4}=x_{5}=x_{6}\,$

   und

   ${}x_{1}=0{,}9x_{6}\,.$

   Dann ist

   ${}995=x_{1}+5x_{6}=5{,}9x_{6}\,.$

   Division ergibt

   ${}995:5{,}9=168{,}64..\,$

   und somit

   ${}x_{1}=168{,}64-16{,}86=151{,}78\,.$

   Der leichteste Apfel hat also das Gewicht ${}152$ Gramm, die anderen fünf Äpfel in der Packung wiegen ${}169$ Gramm.

3. Es ist

   ${}183:152=1{,}2039\,,$

   der größtmögliche Apfel in einer Packung ist also ${}20$ Prozent größer als der kleinstmögliche Apfel in einer Packung.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, es sei ${}a\leq b$ und seien Zahlen ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in [a,b]$ und nichtnegative Zahlen ${}t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}\in K_{\geq 0}$ mit

${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1\,$

gegeben. Zeige

${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\in [a,b]\,$

Lösung

Wegen ${}x_{i}\geq a$ und ${}t_{i}\geq 0$ ist ${}t_{i}x_{i}\geq t_{i}a$ für alle ${}i$. Daher ist ${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\geq \sum _{i=1}^{n}t_{i}a=a\sum _{i=1}^{n}t_{i}=a$.

Wegen ${}x_{i}\leq b$ und ${}t_{i}\geq 0$ ist ${}t_{i}x_{i}\leq t_{i}b$ für alle ${}i$. Daher ist ${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\leq \sum _{i=1}^{n}t_{i}b=b\sum _{i=1}^{n}t_{i}=b$. Also ist ${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\in [a,b]$.

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten die Folgen (für ${}n\geq 1$)

${}x_{n}:={\frac {1-n^{2}}{n}}\,$

und

${}y_{n}:=n\,.$

Konvergiert die Folge

${}z_{n}:=x_{n}+y_{n}\,$

in ${}\mathbb {R}$? Falls ja, was ist der Grenzwert?

Lösung

Es ist

${}z_{n}={\frac {1-n^{2}}{n}}+n={\frac {1-n^{2}}{n}}+{\frac {n^{2}}{n}}={\frac {1-n^{2}+n^{2}}{n}}={\frac {1}{n}}\,,$

die Folge konvergiert also gegen ${}0$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}\in K$ Elemente in einem Körper ${}K$. Zeige, dass

${}w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,$

und

${}z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,$

die Gleichung ${}z^{2}=(w+\mu _{1}^{2})(w+\mu _{2}^{2})(w+\mu _{3}^{2})$ erfüllen.

Lösung

Die linke Seite ist

${}z^{2}=(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})^{2}w^{2}-2(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}w+\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{2}\mu _{3}^{2}\,$

und die rechte Seite ist

${}(w+\mu _{1}^{2})(w+\mu _{2}^{2})(w+\mu _{3}^{2})=w^{3}+(\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}+\mu _{3}^{2})w^{2}+(\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{2}+\mu _{1}^{2}\mu _{3}^{2}+\mu _{2}^{2}\mu _{3}^{2})w+\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{2}\mu _{3}^{2}\,.$

Um die Gleichheit zu zeigen, können wir den Summanden ${}\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{2}\mu _{3}^{2}$ beidseitig abziehen und ${}w$ ausklammern, es ist somit

${}(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})^{2}w-2(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}=w^{2}+(\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}+\mu _{3}^{2})w+\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{2}+\mu _{1}^{2}\mu _{3}^{2}+\mu _{2}^{2}\mu _{3}^{2}\,$

zu zeigen. Wir ziehen ${}(\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}+\mu _{3}^{2})w$ beidseitig ab und dann ist

${}2(\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3})w-2(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}=w^{2}+\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{2}+\mu _{1}^{2}\mu _{3}^{2}+\mu _{2}^{2}\mu _{3}^{2}\,$

zu zeigen. Der Summand links ist ${}2w^{2}$, wir ziehen ${}w^{2}$ beidseitig ab und somit folgt die Behauptung aus

${}{\begin{aligned}w^{2}&=(\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3})^{2}\\&=\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{2}+\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{3}+\mu _{2}^{2}\mu _{3}^{2}+2\mu _{1}^{2}\mu _{2}\mu _{3}+2\mu _{1}\mu _{2}^{2}\mu _{3}+2\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}^{2}\\&=\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{2}+\mu _{1}^{2}\mu _{2}^{3}+\mu _{2}^{2}\mu _{3}^{2}+2(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}P$ und ${}Q$ verschiedene normierte Polynome vom Grad ${}d$ über einem Körper ${}K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?

Lösung

Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn

${}P(x)=Q(x)\,$

ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn ${}x$ eine Nullstelle von ${}P-Q$ ist. Da beide Polynome normiert sind und den gleichen Grad ${}d$ besitzen, hebt sich bei der Subtraktion der Leitterm weg und es ergibt sich ein Polynom vom Grad maximal ${}d-1$. Da ${}P\neq Q$ ist, ist die Differenz nicht das Nullpolynom. Nach Korollar 11.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) besitzt somit ${}P-Q$ maximal ${}d-1$ Nullstellen, und daher gibt es maximal ${}d-1$ Schnittpunkte.

Aufgabe (3 Punkte)

Untersuche die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4n-9}{2n^{3}-5n^{2}-6n+2}}$

auf Konvergenz.

Lösung

Für den Zähler gilt

${}4n-9\leq 4n\,$

für alle ${}n$. Für ${}n\geq 11$ gilt ${}n^{3}\geq 11n^{2}=5n^{2}+6n^{2}\geq 5n^{2}+6n$, somit gilt für ${}n\geq 11$ für den Nenner

${}2n^{3}-5n^{2}-6n+2\geq 2n^{3}-5n^{2}-6n\geq n^{3}\,.$

Damit gilt insgesamt für ${}n\geq 11$ die Abschätzung

${}{\frac {4n-9}{2n^{3}-5n^{2}-6n+2}}\leq {\frac {4n}{n^{3}}}=4{\frac {1}{n^{2}}}\,.$

Aufgrund des des Majorantenkriteriums und Beispiel 9.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) konvergiert die Reihe.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.

Lösung

Wir betrachten den Differenzenquotienten

${}{\frac {f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}}={\frac {f^{-1}(y)-a}{y-b}}\,$

und müssen zeigen, dass der Limes für ${}y\rightarrow b$ existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}E\setminus \{b\}$, die gegen ${}b$ konvergiert. Aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von ${}f^{-1}$ konvergiert auch die Folge mit den Gliedern ${}x_{n}:=f^{-1}(y_{n})$ gegen ${}a$. Wegen der Bijektivität ist ${}x_{n}\neq a$ für alle ${}n$. Damit ist

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f^{-1}(y_{n})-a}{y_{n}-b}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}-a}{f(x_{n})-f(a)}}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x_{n})-f(a)}{x_{n}-a}}\right)}^{-1}\,,$

wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert.

Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

Wir betrachten den oberen Halbkreis mit Mittelpunkt ${}(1,0)$ und Radius ${}1$ und den unteren Halbkreis mit Mittelpunkt ${}(3,0)$ und Radius ${}1$.

1. Skizziere die Situation.
2. Definiere eine Funktion

   $f\colon [0,4]\longrightarrow \mathbb {R} ,$

   deren Graph mit den beiden Halbkreisen übereinstimmt.

3. Ist ${}f$ an der Stelle ${}2$ differenzierbar?

Lösung

1. Skizze.
2. Die erste Kreisgleichung ist

   ${}(x-1)^{2}+y^{2}=1\,,$

   die zweite Kreisgleichung ist

   ${}(x-3)^{2}+y^{2}=1\,.$

   Also ist

   ${}f(x)={\begin{cases}{\sqrt {1-(x-1)^{2}}}{\text{ für }}0\leq x\leq 2\,,\\{\sqrt {1-(x-3)^{2}}}{\text{ für }}2<x\leq 4\end{cases}}\,$

   eine beschreibende Funktion.

3. Die Funktion ist an der Stelle ${}2$ nicht differenzierbar. Der Differenzenzenquotient für ${}x<2$ ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {f(x)-f(2)}{x-2}}&={\frac {\sqrt {1-(x-1)^{2}}}{x-2}}\\&={\frac {\sqrt {-x^{2}+2x}}{x-2}}\\&=-{\frac {\sqrt {x(2-x)}}{2-x}}\\&=-{\frac {{\sqrt {x}}{\sqrt {2-x}}}{2-x}}\\&=-{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {2-x}}}.\end{aligned}}$

   Für ${}x\rightarrow 2$ ist der Limes des Zählers ${}{\sqrt {x}}$ gleich ${}{\sqrt {2}}$ und der Limes des Nenners ${}{\sqrt {2-x}}$ ist ${}0$. Deshalb divergiert der Differenzenquotient bestimmt gegen ${}-\infty$ und somit existiert der Differentialquotient nicht.

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Wir betrachten den Graphen der Sinusfunktion auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ und den um ${}d\in \mathbb {R}$ vertikal verschobenen Graphen der Quadratwurzelfunktion, also den Graphen von

${}h(x)={\sqrt {x}}+d\,.$

1. Zeige, dass die beiden Graphen nur endlich viele Schnittpunkte besitzen.
2. Zeige, dass die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Graphen (bei geeignetem ${}d$) beliebig groß werden kann.

Lösung Sinusfunktion/Quadratwurzelfunktion/Verschoben/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen ${}x\mapsto x^{\alpha }$.

Lösung

Nach Aufgabe 17.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist

${}x^{\alpha }=\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\,.$

Die Ableitung nach ${}x$ ist aufgrund von Satz 20.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), Korollar 20.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und der Kettenregel gleich

${}(x^{\alpha })'=(\exp \left(\alpha \,\ln x\right))'={\frac {\alpha }{x}}\cdot \exp \left(\alpha \,\ln x\right)={\frac {\alpha }{x}}x^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.

Lösung

Aufgrund von Satz 23.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) existiert das Integral. Mit der Integralfunktion

${}G(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$

gilt die Beziehung

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)=G(b)-G(a)\,.$

Aufgrund von Satz 24.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist ${}G$ differenzierbar mit

${}G'(x)=f(x)\,,$

d.h. ${}G$ ist eine Stammfunktion von ${}f$. Wegen Lemma 24.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist ${}F(x)=G(x)+c$. Daher ist

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=G(b)-G(a)=F(b)-c-F(a)+c=F(b)-F(a)\,.$

Aufgabe (7 (2+3+2) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

${}P(x)=x^{4}-3x^{2}-4\,.$

1. Bestimme die reellen Nullstellen von ${}P$.
2. Bestimme die Extrema von ${}P$.
3. Bestimme den Flächeninhalt, der durch den Graphen und die ${}x$-Achse eingegrenzt wird.

Lösung

1. Wir schreiben ${}y=x^{2}$ und lösen die Gleichung

   ${}y^{2}-3y-4=0\,.$

   Diese führt auf

   ${}y=4,-1\,$

   und damit sind die reellen Nullstellen von ${}P$ gleich ${}x_{1,2}=\pm 2$.

2. Die Ableitung von ${}P$ ist

   ${}4x^{3}-6x=4x{\left(x^{2}-{\frac {3}{2}}\right)}=4x{\left(x-{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)}{\left(x+{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)}\,.$

   Die Ableitung besitzt also drei Nullstellen bei

   ${}x=0,{\sqrt {\frac {3}{2}}},-{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.$

   Die zweite Ableitung ist ${}12x^{2}-6=6{\left(2x^{2}-1\right)}$ und besitzt im Nullpunkt einen negativen Wert und in ${}\pm {\sqrt {\frac {3}{2}}}$ einen positiven Wert. Deshalb liegt in ${}x=0$ ein isoliertes lokales Maximum und in ${}x=\pm {\sqrt {\frac {3}{2}}}$ liegen isolierte lokale Minima vor. Für ${}x$ gegen ${}\pm \infty$ geht die Funktion gegen ${}+\infty$, daher sind die beiden Minima global mit dem gleichen Wert (wegen der Symmetrie) und das lokale Maximum ist nicht global.

3. Da es zwischen ${}-2$ und ${}2$ keine Nullstelle gibt, verläuft der Graph in diesem Intervall unterhalb der ${}x$-Achse. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist der Betrag des bestimmten Integrals

   ${}{\begin{aligned}\int _{-2}^{2}x^{4}-3x^{2}-4dx&=\left({\frac {1}{5}}x^{5}-x^{3}-4x\right)|_{-2}^{2}\\&=2{\left({\frac {1}{5}}\cdot 32-8-8\right)}\\&=-{\frac {96}{5}},\end{aligned}}$

   also gleich ${}{\frac {96}{5}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Differentialgleichung

${}y'={\frac {4y+5t}{2y-3t}}\,.$

Zeige, dass man mit dem Ansatz

${}y=z\cdot t\,$

mit einer unbekannten Funktion ${}z(t)$ eine Differentialgleichung für ${}z$ mit getrennten Variablen erhält.

Lösung

Mit dem Ansatz

${}y=z\cdot t\,$

wird die rechte Seite der Differentialgleichung zu

${}{\frac {4y+5t}{2y-3t}}={\frac {4zt+5t}{2zt-3t}}={\frac {4z+5}{2z-3}}\,$

und die linke Seite zu

${}y'=(z\cdot t)'=z+tz'\,.$

Die Bedingung wird zu

${}z+tz'={\frac {4z+5}{2z-3}}\,$

bzw. zu

${}tz'={\frac {4z+5}{2z-3}}-z={\frac {4z+5-z(2z-3)}{2z-3}}={\frac {-2z^{2}+7z+5}{2z-3}}\,$

bzw. zur Differentialgleichung mit getrennten Variablen

${}z'={\frac {1}{t}}\cdot {\frac {-2z^{2}+7z+5}{2z-3}}\,.$