Kurs:Analysis/Teil II/12/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aus Wikiversity


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 2 5 6 4 3 6 4 3 4 3 6 4 8 64




Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

  1. Für , , heißt die Funktion

    die Fakultätsfunktion.

  2. Eine Abbildung heißt Metrik, wenn für alle die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
    1. (Definitheit),
    2. (Symmetrie), und
    3. (Dreiecksungleichung).
  3. Eine Teilmenge heißt abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist.
  4. Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl mit

    für alle gibt.

  5. Die Matrix

    heißt die Jacobi-Matrix zu im Punkt .

  6. Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

    ein Vektorfeld auf . Dann nennt man

    die gewöhnliche Differentialgleichung zum Vektorfeld .


Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

  1. Es sei ein kompaktes Intervall und

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt

  2. Die offene Menge enthalte mit je zwei Punkten die Verbindungsgerade. Ferner gelte

    für alle . Dann gilt für die Abschätzung

  3. Es sei eine offene Teilmenge und seien

    und

    stetig differenzierbare Funktionen. Es sei und die Faser von über . Die eingeschränkte Funktion besitze im Punkt ein lokales Extremum auf und sei ein regulärer Punkt von . Dann ist ein Vielfaches von , d.h. es gibt ein mit


Aufgabe (2 Punkte)

Sei fixiert. Bestimme das uneigentliche Integral


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Der sei mit der euklidischen Metrik versehen.

a) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man als Teilraum (mit der induzierten Metrik) des , aber nicht als Teilraum von realisieren kann.

b) Man gebe eine Beispiel für einen endlichen metrischen Raum, den man nicht als Teilraum des realisieren kann.


Lösung

a) Wir betrachten den Teilraum mit der induzierten Metrik. Dieser metrische Raum ist nicht innerhalb der reellen Zahlen realisierbar. Der Nullpunkt hat zu den beiden anderen Punkten den Abstand , und diese haben zueinander den Abstand . In gibt es zu jedem Punkt genau zwei Punkte mit dem Abstand nämlich bzw , und diese haben aber zueinander den Abstand .

b) Wir betrachten im die folgende endliche Teilmenge: Es seien zwei Punkte im , die zueinander den Abstand besitzen. Wir betrachten die Sphären um diese beiden Kugeln mit dem Radius , also und . Der Durchschnitt ist eine Kreislinie . Es seien drei Punkte auf und wir betrachten die Teilmenge

mit der induzierten Metrik. Diese Menge ist nicht im realisierbar, da es dort zu zwei Punkten mit dem Abstand nur zwei Punkte gibt, die zu beiden Punkten den Abstand haben.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit linearer Abbildungen.


Lösung

Eine komplex-lineare Abbildung ist auch reell-linear, und die euklidische Metrik hängt nur von der reellen Struktur ab. Wir können also annehmen. Aufgrund von Lemma 34.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) können wir annehmen. Die Abbildung sei durch

mit gegeben. Die Nullabbildung ist konstant und daher stetig, also sei . Es sei und ein vorgegeben. Für alle mit ist insbesondere für alle und daher ist


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei ein nichtleerer vollständiger metrischer Raum und es seien

starke Kontraktionen.

a) Zeige, das die Verknüpfung ebenfalls eine starke Kontraktion ist.

b) Zeige durch ein Beispiel mit , dass der Fixpunkt von weder mit dem Fixpunkt zu noch mit dem Fixpunkt zu übereinstimmen muss.


Lösung

a) Es seien die Kontraktionsfaktoren zu bzw. . Dann ist für beliebige Punkte

und somit kann man als Kontraktionsfaktor für die Verknüpfung nehmen.

b) Wir betrachten die Abbildung

die stark kontrahierend ist und den Fixpunkt besitzt, und die Abbildung

die ebenfalls stark kontrahierend ist und als Fixpunkt besitzt. Die Verknüpfung ist

Hierbei ist der Fixpunkt.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Länge der archimedischen Spirale

für die Umdrehung zwischen und .


Lösung

Die Ableitung der Kurve ist

Die Norm davon ist die Wurzel aus

Daher ist der Länge der archimedischen Spirale nach Satz 38.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gleich


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.


Lösung

Wenn

eine Lösung der Differentialgleichung höherer Ordnung

ist, so sind alle Funktionen für differenzierbar, und es gilt für nach Definition und schließlich


Wenn umgekehrt

eine Lösung des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld

ist, so ergibt sich sukzessive aus den ersten Gleichungen, dass -mal differenzierbar ist, und die letzte Gleichung des Differentialgleichungssystems besagt gerade



Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Lösung zu einem Eigenvektor bei einem linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.


Lösung

Dies folgt direkt aus


Aufgabe (3 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

und

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .


Lösung

Wir machen den Ansatz

wegen der Anfangsbedingung ist ja direkt . Die Ableitung ist

das führt auf die Gleichung

Daraus kann man

ablesen, sodann

und daher

also

Der Potenzreihenansatz liefert also bis zur Ordnung die Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung


Lösung Reguläre Punkte/X^2+Y^3+Z^7+XYZ/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
  2. Zeige, dass im Nullpunkt ein globales Maximum besitzt.
  3. Zeige, dass im Nullpunkt kein isoliertes Maximum besitzt.


Lösung

  1. Die Jacobi-Matrix ist
  2. Im Nullpunkt ist

    Da dies überhaupt der maximal mögliche Wert für den Kosinus ist, liegt dort ein globales Maximum von vor.

  3. In jeder beliebig kleinen offenen Umgebung des Nullpunktes gibt es Punkte der Form , in diesen Punkten hat ebenfalls den Wert .


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vierter Ordnung der Funktion

im Nullpunkt.


Lösung

Der Funktionswert ist

Die relevanten Ableitungen sind

Wenn man den Punkt einsetzt, so ergibt sich überall , außer beim Funktionswert, bei

und bei

Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung vier gleich


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei

eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion und sei eine Stammfunktion zu . Es sei

mit

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu .

b) Zeige, dass man auf in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.

c) Zeige, dass injektiv ist.


Lösung

a) Die Jacobi-Matrix ist

b) Die Abbildung ist nach den Voraussetzungen an stetig differenzierbar. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist in jedem Punkt

daher ist das totale Differential bijektiv und der Satz ist anwendbar.

c) Es seien mit dem gleichen Bildpunkt gegeben. Da stetig und nullstellenfrei ist, ist entweder überall positiv oder überall negativ. Daher ist die Stammfunktion streng wachsend oder streng fallend und jedenfalls injektiv. Aus folgt also . Aus

folgt sodann


Aufgabe (8 (4+4) Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion und

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei ein Zeitpunkt mit

a) Es sei zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass konstant ist.

b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) nicht konstant sein muss.


Lösung

a) Wenn zweimal stetig differenzierbar ist, so ist das Gradientenfeld stetig differenzierbar. Damit genügt es nach Lemma 55.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) lokal einer Lipschitz-Bedingung und daher sind die Lösungen zu den Anfangswertproblemen in diesem Vektorfeld nach dem Satz von Picard-Lindelöf eindeutig. Eine Lösung der Differentialgleichung mit

ist eine Lösung eines Anfangswertproblems, wobei die Anfangsbedingung eben durch gegeben ist. Sei

Es ist also insbesondere

Wegen der Zeitunabhängigkeit des Gradientenfeldes ist daher die konstante Kurve

eine Lösung des Anfangswertproblems und muss wegen der Eindeutigkeit der Lösung mit übereinstimmen. D.h., dass konstant ist.

b) Es sei und

Diese Funktion ist auf ganz definiert und überall differenzierbar. Die Ableitung davon ergibt das Gradientenfeld

Die Differentialgleichung

besitzt die nichtkonstante Lösung

mit