Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Test/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Mengenalgebra auf einer Menge .
  2. Eine Borelmenge in einem topologischen Raum .
  3. Eine messbare Abbildung

    zwischen zwei Messräumen und .

  4. Eine Ausschöpfung einer Menge .
  5. Ein Maß auf einem Messraum (ohne Bezug auf ein Prämaß).
  6. Ein translationsinvariantes Maß auf .
  7. Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion auf einem -endlichen Maßraum .
  8. Der Limes inferior zu einer reellen Folge .

Lösung

  1. Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
    1. Es ist .
    2. Mit gehört auch das Komplement zu .
    3. Für je zwei Mengen ist auch .
  2. Sei ein topologischer Raum. Dann nennt man die von erzeugte -Algebra die Menge der Borel-Mengen von .
  3. Die Abbildung heißt messbar, wenn für jede messbare Menge das Urbild messbar ist.
  4. Eine Folge von Teilmengen , , in mit für alle heißt Ausschöpfung von , wenn gilt.
  5. Es sei eine Menge und eine -Algebra auf . Dann heißt eine Abbildung

    ein Maß auf , wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

    Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen , , aus gilt

  6. Ein Maß auf heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen und alle Vektoren die Gleichheit

    gilt.

  7. Es sei ein -endlicher Maßraum und

    eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt

    das Integral von über (zum Maß ).

  8. Es sei die Menge der Häufungspunkte der Folge . Dann nennt man

    (eventuell ) den Limes inferior der Folge.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
  2. Die Formel für für eine Borelmenge unter einer linearen Abbildung .
  3. Der Satz von der majorisierten Konvergenz (oder Satz von Lebesgue).
  4. Das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge zu -endlichen Maßräumen und .

Lösung

  1. Es sei ein Messraum und es sei ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für . Es seien und zwei Maße auf , die auf übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung mit und mit . Dann ist
  2. Es sei

    eine lineare Abbildung. Dann gilt für jede messbare Menge die Beziehung

  3. Es sei ein -endlicher Maßraum und es sei

    eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion

    mit für alle und alle . Dann ist auch die Grenzfunktion integrierbar, und es gilt

  4. Für jede messbare Teilmenge gilt die Beziehung


 

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein topologischer Raum und sei die davon erzeugte Mengenalgebra. Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen

mit offenen Mengen und abgeschlossenen Mengen besteht.

Lösung

Zu der von der Topologie erzeugten Mengenalgebra müssen alle offenen Teilmengen und somit, da eine Mengenalgebra auch unter Komplementen abgeschlossen ist, auch alle abgeschlossenen Teilmengen gehören. Da eine Mengenalgebra mit zwei Teilmengen auch deren Durchschnitt und deren Vereinigung enthält, gehören die angegebenen Mengen zu .

Zur Umkehrung müssen wir zeigen, dass das angegebene Mengensystem eine Mengenalgebra ist, die alle offenen Mengen enthält. Eine offene Menge kann man als schreiben und ist daher von der angegebenen Form, da selbst abgeschlossen ist. Insbesondere ist der Gesamtraum von der angegebenen Form. Sei eine Menge

gegeben. Ihr Komplement ist

Hierbei sind die jeweils abgeschlossen und die jeweils offen, so dass eine Menge in der gewünschten Form vorliegt.

Die Vereinigung von zwei Mengen in der angegebenen Form ist offensichtlich wieder von dieser Form.


 

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es seien und zwei abzählbare Mengen, die beide mit der -Algebra aller Teilmengen und mit dem Zählmaß (genannt bzw. ) versehen seien.

a) Zeige, dass und -endliche Maßräume sind.

b) Zeige, dass das Produktmaß auf ebenfalls das Zählmaß ist.

Lösung

a) Wenn leer ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei

surjektiv. Dann ist eine Ausschöpfung von mit endlichen Mengen, die daher endliches (Zähl-)maß besitzen.

b) Das Produktmaß auf ist dadurch gekennzeichnet, dass es auf Quadern zu Seiten und mit endlichem Maß das Produkt als Wert besitzt. Für einen Punkt ist und daher ist

Wegen der Abzählbarkeit von ist dadurch das Produktmaß festgelegt und gleich dem Zählmaß auf der Produktmenge.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

im erzeugten Parallelotops.

Lösung

Das Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung. Nach Satz 67.2 ist sein Volumen gleich dem Betrag der Determinante dieser Matrix. Wir berechnen die Determinante mittels der Regel von Sarrus, d.h. wir betrachten

Daher ist

Das Volumen ist also .


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Messraum und eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion

messbar ist.

Lösung

Wir schreiben die Funktion als Hintereinanderschaltung

Da die Wurzelfunktion stetig ist, ist sie auch messbar und da die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen wieder messbar ist, ergibt sich die Messbarkeit von .


 

Aufgabe * (9 Punkte)

Zeige, dass sich die abgeschlossene Einheitskreisscheibe
nicht durch abzählbar viele abgeschlossene Rechtecke

(mit und ) überdecken lässt.

Lösung

Nehmen wir an, es sei mit abgeschlossenen Rechtecken . Dies führen wir zu einem Widerspruch. Es sei ein Randpunkt der Kreisscheibe, also ein Punkt mit . Es ist dann für mindestens ein . Wir behaupten, dass ein Eckpunkt dieses Rechtecks ist.

Dazu zeigen wir, dass beide Koordinaten und Seitenkoordinaten des Rechtecks sind. Betrachten wir und nehmen wir an, sei keine Seitenkoordinate des Rechtecks, also . Dann gibt es ein derart, dass sowohl als auch zu und damit zu gehören. Also ist

Da man das Vorzeichen bei nichtnegativem positiv und bei negativem negativ wählen kann, steht bei dieser Wahl unter der Wurzel eine Zahl, die größer als ist, was einen Widerspruch bedeutet. Da diese Überlegung auch für die -Koordinate gilt, muss ein Eckpunkt eines Rechtecks sein.

Da nur abzählbar viele Rechtecke beteiligt sind, stehen insgesamt nur abzählbar viele Eckpunkte zur Verfügung. Andererseits gibt es aber überabzählbar viele Punkte auf der Sphäre , wie aus der Bijektion

folgt. Also kann eine abzählbare Überdeckung mit abgeschlossenen Rechtecken in nicht den gesamten Rand und damit nicht die abgeschlossene Kreisscheibe überdecken.


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion

um die -Achse rotieren lässt.

Lösung

Das Volumen des Rotationskörpers ist gemäß der Formel gleich


 

Aufgabe * (10 Punkte)

Es sei

eine positive stetige Funktion (mit aus ). Zeige direkt (ohne die Transformationsformel), dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge

das Volumen besitzt.

Lösung

Nehmen wir an, dass ist. Wir betrachten für die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung des in sich. Wir setzen

Für sind und disjunkt, da aus

sofort und somit aus der Gleichheit der zweiten und dritten Zeile die „Radius“-Beziehung , also folgt. Nach der Volumenformel für lineare Abbildungen ist

Daher ist einerseits

Andererseits ist aber diese Menge in

mit enthalten (wegen der Stetigkeit existiert das Supremum auf dem kompakten Intervall), die endliches Maß besitzt, so dass wir einen Widerspruch erhalten.


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein endlicher Maßraum und , , eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen . Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass die Abbildung

nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 71.1 sind erfüllt, welche nicht?

Lösung

Für jedes ist

Wenn z.B. ein Maßraum ist mit und die Familie durch

gegeben ist, so besitzt die Funktion eine Sprungstelle in und ist daher nicht stetig.

Die Bedingung (1) ist erfüllt. Für festes geht es um die Abbildung

Da nach Voraussetzung messbar ist, ist diese Abbildung messbar.

Die Bedingung (3) ist erfüllt, und zwar mit der konstanten Funktion . Es ist aufgrund der vorausgesetzten Endlichkeit des Maßraumes , und es ist für jede Indikatorfunktion.

Da die Schlussfolgerung des Satzes nicht gilt, kann die Bedingung (2) nicht generell erfüllt sein.


 

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus addiert?

b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus multiplizert?

c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus durch eine reelle Zahl aus () dividiert?

Lösung

a) Nach Fubini ist

Der Durchschnittswert ergibt sich, wenn man durch die Grundfläche dividiert, das ist also

b) Es ist

Der Durchschnittswert ist also

c) Es ist

Der Durchschnittswert ist also


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks unter der Abbildung

Lösung

Die Abbildung ist bijektiv mit der Umkehrabbildung

Die Jacobi-Matrix ist

mit der Jacobi-Determinante

Für die Punkte mit liegt also kein lokaler Diffeomorphismus vor und für die Punkte mit liegt ein Diffeomorphismus auf das Bild vor. Auf ist also die Transformationsformel anwendbar. Die Ausnahmemenge hat den Flächeninhalt und das gilt nach Korollar 73.6 auch für das Bild davon. Daher kann man die Transformationsformel anwenden und nach Fubini ist somit


 

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