Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 5/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige mit Hilfe des Auswahlaxioms, dass es zu jeder Äquivalenzrelation auf einer Menge ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzklassen gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Skizziere ein Teilerdiagramm für die Menge der echten natürlichen Teiler von (dabei gelte als echter Teiler, nicht). Was sind die maximalen, die minimalen Elemente, gibt es ein größtes und ein kleinstes Element, was sind die total geordneten Teilmengen?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Besitzt die Menge der natürlichen Zahlen in eine obere Schranke? Wie sieht das in anderen angeordneten Körpern aus?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Menge und die Menge der echten Teilmengen von , also
Diese Menge ist durch die Inklusion eine geordnete Menge. Bestimme die minimalen und die maximalen Elemente von .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche total geordnete Menge. Es sei eine endliche Indexmenge. Definiere auf der Produktmenge
die „lexikographische Ordnung“, und zeige, dass es sich dabei ebenfalls um eine totale Ordnung handelt.
Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.
Es seien und zwei Mengen, auf denen jeweils eine Ordnung definiert ist. Eine Abbildung
heißt ordnungstreu (oder monoton), wenn für alle mit stets auch gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine geordnete Menge und die Potenzmenge von . Zeige, dass die Abbildung
ordnungstreu und injektiv ist, wobei die Potenzmenge mit der Inklusion versehen ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass in die maximalen Ideale genau die von Primzahlen erzeugten Ideale sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring ein Körper ist.
Aufgabe Aufgabe 5.9 ändern
Es sei ein topologischer Raum und ein topologischer Filter auf mit . Zeige, dass es einen Ultrafilter gibt.
Wenn man die natürlichen Zahlen mit der
diskreten Topologie
versieht, so dass also jede Teilmenge offen ist, so ist ein topologischer Filter auf einfach eine Teilmenge mit
- .
- Mit und ist auch .
- Mit und ist auch .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Ein Filter ist genau dann ein Ultrafilter, wenn für jede Teilmenge entweder oder gilt
Die einfachen Ultrafilter in werden in folgender Aufgabe beschrieben.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass es in Ultrafilter gibt, die keine endlichen Teilmengen enthalten.
Aufgabe Aufgabe 5.13 ändern
Wir betrachten den Folgenring . Zu einer Folge sei
Zeige, dass über die Zuordnungen
und
sich die Ideale aus und die Filter aus entsprechen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man mache sich an den folgenden Beispielen klar, dass der Satz von Hamel keineswegs selbstverständlich ist.
- Die reellen Zahlen als -Vektorraum betrachtet.
- Die Menge der reellen Folgen
- Die Menge aller stetigen Funktionen von nach .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Betrachte die reellen Zahlen als - Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen , wobei durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Beweise durch Induktion, dass die natürliche Ordnung auf den natürlichen Zahlen eine Wohlordnung ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die natürliche Ordnung auf den ganzen Zahlen keine Wohlordnung ist.
Aufgabe * Aufgabe 5.19 ändern
Zeige, dass die natürliche Ordnung auf den reellen Zahlen keine Wohlordnung ist.
Die folgenden beiden Aussagen ergeben zusammen einen konstruktiven Beweis für den Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik in der Version von
Korollar 5.20,
d.h. für eine semantische Tautologie weiß man nicht nur die Existenz einer Ableitung , sondern man kann prinzipiell eine Ableitung angeben.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine aussagenlogische Aussage und es seien die darin vorkommenden Aussagenvariablen. Es sei
eine fixierte Konjunktion dieser (negierten) Aussagenvariablen. Zeige, dass dann
gilt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Skizziere einen konstruktiven Beweis für die Tautologieversion der Vollständigkeit der Aussagenlogik.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise das Lemma von Zorn für eine total geordnete Menge.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass sich bei der in Aufgabe 5.13 beschriebenen Korrespondenz maximale Ideale und Ultrafilter entsprechen.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Definiere eine Wohlordnung auf der Menge der ganzen Zahlen .
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine total geordnete Menge, die sowohl nach unten als auch nach oben wohlgeordnet ist. Zeige, dass endlich ist.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Endlichkeitssatz für die Aussagenlogik: Wenn die Aussage aus der Aussagenmenge folgt, dann gibt es eine endliche Teilmenge , aus der diese Aussage folgt.
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