Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 2/kontrolle
- Übungsaufgaben
Wir erinnern an die folgenden Definitionen.
Ein nichtleerer metrischer Raum heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten eine stetige Abbildung
mit und gibt.
Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von gibt (nämlich und selbst), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
Zeige, dass der wegzusammenhängend ist.
Es sei und ein Punkt. Zeige, dass wegzusammenhängend ist.
Es sei eine offene (oder abgeschlossene) Kugel im . Zeige, dass wegzusammenhängend ist.
Es seien endlich viele Punkte und sei . Zeige, dass es zu je zwei Punkten eine differenzierbare Kurve
mit und gibt.
Zeige, dass ein wegzusammenhängender metrischer Raum zusammenhängend ist.
Es sei eine offene zusammenhängende Teilmenge. Zeige, dass auch wegzusammenhängend ist.
Insbesondere braucht man bei einer offenen Teilmenge
nicht zwischen zusammenhängend und wegzusammenhängend zu unterscheiden.
Zeige, dass
eine bijektive differenzierbare Funktion ist, deren Umkehrabbildung nicht differenzierbar ist.
Zeige, dass
eine bijektive differenzierbare Funktion ist, die nicht affin-linear ist und deren Umkehrabbildung ebenfalls differenzierbar ist.
Bestimme die Partialbruchzerlegung einer gebrochen-linearen Funktion.
Bestimme die Ableitungsfunktion einer gebrochen-linearen Funktion
(mit ) und insbesondere die Ableitung (bei ) im Nullpunkt.
Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form mit die offene Kreisscheibe in sich abbilden.
Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen , die den Rand der Einheitskreisscheibe auf sich abbilden, auf die Form
mit und gebracht werden können.
Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form mit
eine Untergruppe der gebrochen-linearen Funktionen mit der Hintereinanderschaltung bilden.
Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form mit
die offene Kreisscheibe in sich abbilden.
Es seien komplexe Zahlen. Zeige, dass und zueinander biholomorph sind.
Wir betrachten die abgeschlossene Kreisscheibe und darauf die Abbildung
Es seien und jeweils verschiedene Punkte in der reellen Ebene . Skizziere einen Beweisansatz, dass und zueinander homöomorph sind.
Dabei hilft Aufgabe 2.17.
Zeige, dass die Abbildung
eine biholomorphe Abbildung zwischen der oberen Halbebene und der längs der negativen reellen Achse geschlitzten Ebene ist.
Zeige, dass die punktierte Kreisscheibe und der nach außen unbeschränkte Kreisring biholomorph zueinander sind.
Es sei der offene Kreisring zu den Radien um den Nullpunkt. Zeige, dass die komplexe Invertierung eine biholomorphe Abbildung
induziert.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Menge der affin-linearen Abbildungen auf , also Abbildungen der Form mit , mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen, eine nichtkommutative Gruppe ist.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass eine gebrochen-lineare Funktion auf durch eine Matrix mit Determinante repräsentiert werden kann.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine reelle Gerade in und sei eine der dadurch definierten offenen Halbebenen. Stifte eine biholomorphe Abbildung zwischen und der oberen Halbebene .
Aufgabe (5 (1+4) Punkte)Referenznummer erstellen
- Charakterisiere, wann ein Polynom
eine
injektive Abbildung
definiert.
- Charakterisiere, wann eine rationale Funktion eine injektive Abbildung
definiert (wobei der maximale Definitionsbereich sei).
Verwende den Fundamentalsatz der Algebra