Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 46/kontrolle

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass im Ring der rationalen Folgen die Teilmenge der Nullfolgen kein Ideal bildet.




Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Menge aller Folgen in (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.


Dieser Folgenring wird mit bezeichnet.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Menge aller Folgen in (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) kein Körper ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Menge aller konvergenten Folgen in (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Die beiden Zwillingsschwestern Carmen und Conchita Cauchy waren gestern auf einer tollen Party. Beide haben jeweils genau eine Erinnerungslücke, einen Moment, an den sie sich nicht errinnern können. Sie möchten wissen, ob es sich um die gleiche Lücke handelt. Da es sich um eine Lücke handelt, können sie diese nicht direkt adressieren und untereinander vergleichen. Welche Möglichkeiten haben sie, ihre Erinnerungslücken allein mit Hilfe ihrer Erinnerungen zu vergleichen?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir nennen zwei Folgen und aus Cauchy-äquivalent, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Cauchy-Äquivalenz ist eine symmetrische und transitive Relation auf dem Folgenring .
  2. Die Folge ist eine Cauchy-Folge genau dann, wenn sie zu sich selbst Cauchy-äquivalent ist.
  3. Auf dem Raum aller Cauchy-Folgen ist die Cauchy-Äquivalenz eine Äquivalenzrelation.
  4. Auf dem Raum aller Cauchy-Folgen stimmt die Cauchy-Äquivalenz von zwei Folgen mit der Eigenschaft überein, dass ihre Differenzfolge eine Nullfolge ist.
  5. Wenn eine Cauchy-Folge ist und zu Cauchy-äquivalent ist, so ist auch eine Cauchy-Folge.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und der zugehörige Folgenring. Es sei fixiert.

  1. Zeige, dass

    ein Ideal in ist.

  2. Welche Bedeutung hat die durch dieses Ideal gegebene Äquivalenzrelation?
  3. Zeige, dass die Gesamtabbildung

    bijektiv ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und der zugehörige Folgenring. Zeige, dass durch

falls sich die beiden Folgen nur in endlich vielen Gliedern unterscheiden, eine Äquivalenzrelation definiert ist. Rührt diese Äquivalenzrelation von einem Ideal her?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in konvergenten Folgen ein Ideal?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in konvergenten Folgen ein Ideal?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei der Ring, der aus allen in konvergenten, rationalen Folgen besteht.

  1. Zeige, dass die Menge der Nullfolgen ein Ideal in bildet.
  2. Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus

    gibt.

  3. Zeige, dass es einen bijektiven Ringhomorphismus

    gibt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

und das Ideal der Nullfolgen in .

  1. Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus

    gibt.

  2. Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus

    gibt.

  3. Zeige, dass die Gesamtabbildung

    bijektiv ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei der Ring aller rationalen Folgen. Ist die Abbildung

die einer rationalen Zahl ihre Dezimalbruchfolge zuordnet, ein Ringhomomorphismus?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Ringhomomorphismen

und

wobei den Ring der rationalen Cauchy-Folgen und das Ideal der Nullfolgen bezeichnet. Zeige, dass es jeweils (über kanonische Repräsentanten) eine natürliche Abbildung in die andere Richtung mit

gibt, die aber kein Ringhomomorphismus ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper und es sei die Menge der wachsenden Folgen in . Zeige, dass mit der gliedweisen Addition und Multiplikation ein kommutativer Halbring ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und rationale Cauchy-Folgen. Zeige, dass in die Ordnungsbeziehung

genau dann gilt, wenn es ein derart gibt, dass für alle gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und rationale Cauchy-Folgen. Zeige, dass in die Ordnungsbeziehung

genau dann gilt, wenn es unendlich viele mit gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Folge in . Jedes Folgenglied sei selbst durch die Heron-Folge , mit dem Startwert repräsentiert. Bestimme die Diagonalfolgenglieder im Sinne von Satz 46.9.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert , also , , , ... Wir betrachten die reelle Folge

Zu jedem sei , die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Bestimme die Diagonalfolgenglieder im Sinne von Satz 46.9. Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist und bestimme den Grenzwert.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine Cauchy-Folge von reellen Zahlen. Zeige, dass man die durch rationale Cauchy-Folgen , derart repräsentieren kann, dass die Diagonalfolge

(siehe Satz 46.9)

  1. in nicht konvergiert,
  2. in konvergiert, aber nicht gegen den Grenzwert von ,
  3. in konvergiert, und zwar gegen den Grenzwert von .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei die Menge aller reellen konvergenten Folgen und

die Abbildung, die einer konvergenten Folge ihren Grenzwert zuordnet. Warum ist dies eine (wohldefinierte) Abbildung? Ist injektiv? Ist surjektiv?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für jedes den Kern des Potenzierens


Aufgabe Referenznummer erstellen

Gibt es Gruppenhomomorphismen

die nicht -linear sind?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von nach gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien archimedisch angeordnete Körper. Es sei eine in konvergente Folge. Zeige, dass diese Folge auch in konvergiert.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper , die in einem größeren angeordneten Körper

nicht konvergiert.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das reelle Einheitsintervall unendlich viele irrationale Zahlen enthält.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass jedes reelle Intervall mit positiver Intervalllänge unendlich viele irrationale Zahlen enthält.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine Cauchy-Folge in . Zeige, dass jede Teilfolge davon das gleiche Element im Cauchy-Folgen-Modell definiert.


Aufgabe (2 Punkte)Aufgabe 46.30 ändern

Es sei ein Körper, bei dem eine Teilmenge ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt.

  1. Für ist entweder oder oder .
  2. Aus folgt .
  3. Aus folgt .

Zeige, dass durch die Festlegung

ein angeordneter Körper entsteht.


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Menge aller beschränkten Folgen in (mit gliedweiser Addition und Multiplikation) ein kommutativer Ring ist.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Folge in . Jedes Folgenglied sei selbst durch die Heron-Folge , mit dem Startwert repräsentiert. Bestimme die Diagonalfolgenglieder im Sinne von Satz 46.9.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und der zugehörige Folgenring. Es sei die Menge aller Folgen über , bei denen nur endlich viele Glieder von verschieden sind.

  1. Zeige, dass ein Ideal in ist.
  2. Zeige, dass der Restklassenring kein Körper ist.



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