Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Aufgaben C/Referenzsuche

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von

Das Riesenkänguru Gurru und das Zwergkänguru Gurinu leben entlang des australischen Highways, ihr Schlafplatz liegt am Beginn des Highways (Meter). Gurru legt bei jedem Sprung Meter zurück, Gurinu nur Meter. Charakterisiere die Streckenmeter, an denen sie sich begegnen können.

Es sei eine natürliche Zahl. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von

Es seien natürliche Zahlen mit

1. Bestimme
2. Bestimme

Die beiden Flöhe Carlo und Fredo sitzen im Nullpunkt eines beidseitig unendlich langen Zentimeterbandes. Carlo kann Sprünge der Weite

(in Zentimeter) machen, Fredo kann Sprünge der Weite

machen. Auf welchen Zentimeterpositionen können sich die beiden Flöhe begegnen?

Es sei Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im System (ohne die Nuller- und die Zehnerreihe), ob eine Primzahl ist.

Es sei eine natürliche Zahl mit der folgenden Eigenschaft: Sobald ein Produkt teilt, teilt bereits einen Faktor. Zeige, dass eine Primzahl ist.

Es sei eine Primzahl. Zeige durch Induktion nach dass wenn ein Produkt von Zahlen teilt, dass dann schon eine der Zahlen teilt.

Es seien und natürliche Zahlen, deren Produkt von einer natürlichen Zahl geteilt werde. Die Zahlen

seien teilerfremd. Zeige, dass von geteilt wird.

Es seien und teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung der Gleichung

die Gestalt

mit einer eindeutig bestimmten Zahl besitzt.

Es sei eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:

1. ist negativ.
2. ist ein Vielfaches von aber nicht von
3. ist kein Vielfaches von
4. ist ein Vielfaches von aber nicht von
5. In der Primfaktorzerlegung von gibt es keine Primzahl, die größer als ist.

Was ist

Es sei

eine natürliche Zahl.

1. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von
2. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von

Bestimme den Exponenten zu von

Es sei eine Primzahl und

der zugehörige Exponent. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Zahl ist die größte Potenz von die teilt.
2. Es ist
3. Es ist (es sei vorausgesetzt).

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte mit

stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.

Zu einer positiven natürlichen Zahl sei das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen

1. Bestimme für
2. Was ist die kleinste Zahl mit
3. Was ist die kleinste Zahl mit

Zu einer natürlichen Zahl bezeiche die Anzahl der positiven Teiler von Zeige die folgenden Aussagen über

a) Es sei

die Primfaktorzerlegung von Dann ist

b) Für teilerfremde Zahlen und gilt

c) Bestimme die Anzahl der Teiler von

Finde unter den Zahlen diejenigen Zahlen mit der maximalen Anzahl an Teilern. Wie groß ist diese Anzahl?

Finde unter den Zahlen diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen

Es seien Zeige, dass

genau dann gilt, wenn

ist oder wenn

und

ist (oder umgekehrt).

Es sei

diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch den Rest besitzen, also

Zeige, dass man innerhalb von auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in nicht weiter zerlegbar sind.

Wir betrachten die Menge der natürlichen Zahlen mit den beiden Verknüpfungen

und

1. Zeige, dass der größte gemeinsame Teiler eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt (der größte gemeinsame Teiler von und sei als festgelegt).
2. Zeige, dass das kleinste gemeinsame Vielfache eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt (das kleinste gemeinsame Vielfache von und sei als festgelegt).
3. Zeige, dass mit diesen Verknüpfungen (mit dem GgT als Addition) ein kommutativer Halbring vorliegt.

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von

Es sei eine Primzahl. Zeige, dass den Binomialkoeffizienten

für alle 

teilt.

Es seien und positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit die Teilbarkeit impliziert.

Es sei

und

1. Bestimme die kanonischen Primfaktorzerlegungen von
2. Bestimme die Primfaktorzerlegung des größten gemeinsamen Teilers von
3. Bestimme die Primfaktorzerlegung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von

Finde unter den Zahlen diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.

Um die Erde wird entlang des Äquators ein Band gelegt. Das Band ist jedoch einen Meter zu lang, sodass es ringsherum gleichmäßig angehoben wird, um straff zu werden. Welche der folgenden Lebewesen können drunter durch laufen/schwimmen/fliegen/tanzen?

1. Eine Amöbe.
2. Eine Ameise.
3. Eine Meise.
4. Eine Flunder.
5. Eine Boa constrictor.
6. Ein Meerschweinchen.
7. Eine Boa constrictor, die ein Meerschweinchen verschluckt hat.
8. Ein sehr guter Limbotänzer.

Eine Unze Gold kostet €.

a) Wie viel kosten sieben Unzen Gold?

b) Wie viel Gold bekommt man für €?

Von einer Brotsorte kostet ein Laib mit Gramm €.

a) Wie viel kostet ein Laib mit Gramm?

b) Wie viel Brot bekommt man für €?

Lucy Sonnenschein fährt mit ihrem Fahrrad 10 Meter pro Sekunde.

a) Wie viele Kilometer fährt sie pro Stunde?

b) Wie lange braucht sie für 100 Kilometer?

Ein Huhn legt pro Tag ein Ei.

1. Wie viele Eier legt ein Huhn in einer Woche?
2. Wie viele Eier legen Hühner an einem Tag?
3. Wie viele Eier legen Hühner in Tagen? Ist dies eine Dreisatzaufgabe?

In einem Mikroliter menschlichen Blutes befinden sich ca. Erythrozyten. Wie viele Erythrozyten befinden sich in einem Kubikkilometer Blut?

Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit (16 Stunden pro Tag) zu verteilen. Ihr täglicher Kalorienbedarf liegt bei kcal und Gramm Heidelbeeren enthalten kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?

Interpretiere die folgenden physikalischen Gesetze als lineare Abbildungen von nach Was sind die messbaren Größen, was ist der Proportionalitätsfaktor und wodurch ist dieser festgelegt?

1. Die zurückgelegte Strecke ist Geschwindigkeit mal Zeit.
2. Masse ist Volumen mal Dichte.
3. Energie ist Masse mal Brennwert.
4. Kraft ist Masse mal Beschleunigung.
5. Energie ist Kraft mal Weg.
6. Energie ist Leistung mal Zeit.
7. Spannung ist Widerstand mal Stromstärke.
8. Ladung ist Stromstärke mal Zeit.

Fünf Spaziergänger laufen eine Strecke in 35 Minuten ab. Am nächsten Tag laufen 7 Spaziergänger die gleiche Strecke in gleichem Tempo. Wie lange brauchen sie?

Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne.

1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.

Erfahrungsgemäß essen bei einem Kindergeburtstag sieben Kinder je zwei Kuchen. Skizziere den Kuchenanteil, den ein Kind isst. Wie viele Kuchen braucht man mindestens für zwanzig Kinder, wie viel Kuchen bleibt übrig? Wie viele Kinder kann man mit sieben Kuchen höchstens versorgen, wie viel Kuchen bleibt übrig?

Für welche ist die lineare Abbildung

injektiv bzw. surjektiv?

Ein Birnenverkäufer verkauft Birnen für Euro. Beschreibe dieses Angebot durch die kleinstmöglichen ganzen Zahlen.

Ein Apfelverkäufer verkauft Äpfel für Euro. Ein zweiter Apfelverkäufer verkauft Äpfel für Euro. Welches Angebot ist günstiger?

Es sei ein proportionaler Zusammenhang

durch einen Graphen, also eine Gerade durch den Nullpunkt, gegeben. Wie löst man geometrisch die Dreisatzaufgabe zu einem gegebenen wie zu einem gegebenen

Ein proportionaler Zusammenhang sei dadurch gegeben, dass an der Stelle der Wert herauskommen soll. Wie erstellt man daraus den Graphen des gesuchten Zusammenhangs?

Es sei ein proportionaler Zusammenhang dadurch gegeben, dass

mit ganzen Zahlen ist. Dieser Zusammenhang wird in der Ebene durch den Graphen, nämlich eine Gerade durch den Nullpunkt, visualisiert, die an der Stelle den Wert besitzt. Wie bestimmt man das ganzzahlige Paar auf dem Graphen, für das positiv und minimal ist? Wie lautet die Antwort für

und

Zerlege geometrisch die angegebene Strecke in fünf gleichlange Teile.

Eine zu asphaltierende Straße ist sieben Meter breit. Die Asphaltierung eines Quadratmeters kostet Euro.

1. Erstelle eine Formel, die die Asphaltierungskosten für die Straße pro Meter angibt.
2. Bestimme die Kosten für die Aspaltierung von Metern der Straße.
3. Der Stadtrat bewilligt eine Million Euro für die Straße. Wie viele volle Meter der Straße kann man damit asphaltieren?

Frau Maier-Sengupta plant eine Schullandheimfahrt für ihre Klasse. Es ist noch nicht klar, wie viele Kinder genau mitdürfen. Als Fahrtkosten für ein Kind fallen Euro an, für die Unterbringung Euro pro Kind und für die Verpflegung Euro pro Kind. Der Elternbeirat unterstützt jedes Kind mit Euro, aus Landesmitteln stehen weitere Euro pro Kind zur Verfügung. Wie hoch sind die Kosten für den Aufenthalt pro Kind? Wie hoch sind die Gesamtkosten, wenn Kinder mitkommen, wie hoch, wenn Kinder mitkommen?

Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne.

1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.

Ein Apfelverkäufer verkauft Äpfel für Euro. Beschreibe dieses Angebot durch die kleinstmöglichen ganzen Zahlen.

Zerlege geometrisch die angegebene Strecke in sieben gleichlange Teile.

Löse in die Gleichung

Artikuliere die beiden folgenden Brüche mit

Sind die beiden rationalen Zahlen

gleich oder verschieden?

Finde die gekürzte Darstellung für den Bruch

Finde die gekürzte Darstellung (ausgerechnet) für den Bruch

Bestimme die Darstellung der Zahlen

mit dem kleinstmöglichen Hauptnenner.

Im Bruch

sind Zähler und Nenner im Strichsystem angegeben. Man gebe die entsprechende gekürzte Darstellung an.

Rechne den im Fünfersystem gegebenen Bruch

in das Zehnersystem um.

Rechne den Bruch

in das Dreiersystem um.

Berechne im Vierersystem

(das Ergebnis muss nicht gekürzt sein).

Addiere die ersten fünf Stammbrüche.

Zeige, dass die Gleichung

nur die einzige ganzzahlige Lösung besitzt.

Bestimme die Lösungen der Gleichung

mit

Eine natürliche Zahl heißt vollkommen wenn sie mit der Summe all ihrer von verschiedenen Teiler übereinstimmt.

1. Zeige
2. Zeige

Es sei eine vollkommene Zahl. Zeige, dass

Welche Modelle (Veranschaulichungen, inhaltliche Interpretationen) kennen Sie für die rationalen Zahlen? Vermittelt das Modell eine sinnvolle Größenvorstellung der rationalen Zahlen, lassen sich im Modell sowohl die Addition als auch die Multiplikation sinnvoll interpretieren?

Es sei eine Menge von Zahnrädern unterschiedlicher Größe (Zackenanzahl) gegeben, die zueinander passen (Zackengröße und Zackenabstände seien also so, dass die Zahnräder miteinander verkoppelt werden können). Inwiefern stellen zwei miteinander verbundene Zahnräder einen proportionalen Zusammenhang dar? Inwiefern eine rationale Zahl? Wie kann man die Hintereinanderschaltung von drei Zahnrädern mit rationalen Zahlen interpretieren? Kann man eine solche Hintereinanderschaltung (abgesehen vom Drehsinn) durch zwei Zahnräder realisieren?

Lucy Sonnenschein legt mit ihrem Fahrrad Meter pro Sekunden zurück, ihre Schwester Veronika Meter pro Sekunden. Besitzt die Summe bzw. das Produkt der beiden Geschwindigkeiten eine sinnvolle inhaltliche Interpretation?

Finde physikalische Interpretationen, die die Multiplikation von rationalen Zahlen widerspiegeln. Was passiert dabei mit den Einheiten? (Beispiel: Geschwindigkeit mal Benzinverbrauch pro Streckeneinheit ist Benzinverbrauch pro Zeiteinheit).

Zeige, dass die natürliche Abbildung

injektiv ist.

Zeige, dass die Multiplikation von rationalen Zahlen wohldefiniert ist.

Man gebe die Antworten als Bruch (bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß): Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?

Man erläutere die Uhrzeitangaben Was würde und bedeuten?

Berechne

Berechne

Beweise durch Induktion die folgende Formel.

Löse in die Gleichung

Löse in die Gleichung

Zwei Personen,

liegen unter einer Palme, besitzt Fladenbrote und besitzt Fladenbrote. Eine dritte Person kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt an und an

Lucy Sonnenschein fährt fünf Stunden lang Fahrrad. In den ersten zwei Stunden schafft sie km und in den folgenden drei Stunden schafft sie auch km. Was ist insgesamt ihre Durchschnittsgeschwindigkeit?

Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen und cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?

Ein Metallarbeiter hat zwei Metallstäbe zur Verfügung. Wenn er den kleinen siebenmal hintereinanderlegt, erhält er genau drei Meter. Wenn er den großen achtmal hintereinanderlegt, erhält er genau fünf Meter.

1. Wie kann er allein mit diesen Stäben eine Länge von einem Meter bestimmen?
2. Was ist die kleinste positive Strecke, die er mit den Stäben messen kann?
3. Welche Streckenlängen kann er mit seinen beiden Metallstäben messen?

Zwei Schwimmer,

schwimmen auf einer Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer schwimmt (das ist besser als der Weltrekord) und Schwimmer schwimmt

1. Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt (wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden) entfernt ist.
2. Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer (und Schwimmer) nach Sekunden?
3. Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal (abgesehen vom Start)?
4. Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer (Start mitzählen)?
5. Wie oft überrundet Schwimmer den Schwimmer

Eine Gitarrensaite schwingt beim Ton c ca. mal pro Sekunde hin und her (also Hertz). Wie oft schwingt die Große Septime dazu pro Sekunde? Wie oft schwingt die Quarte zu c pro Minute?

Der Preis für eine Maß Bier auf der Münchner Wiesn steht zum Vorjahrespreis im Verhältnis In welchem Verhältnis steht der heutige Preis zum Preis von vor zehn Jahren?

Zeige, dass es ganze Zahlen derart gibt, dass

gilt. Finde solche Zahlen.

Finde ganze Zahlen derart, dass

gilt.

Es seien positive natürliche Zahlen. Die Summe der Stammbrüche ist dann

1. Zeige, dass bei teilerfremd diese Darstellung gekürzt ist.
2. Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper

Zeige direkt, dass für rationale Zahlen

das Produkt nur dann sein kann, wenn eine der Zahlen ist.

Es sei ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl

ein Körperelement zuordnen kann, derart, dass das Nullelement in und das Einselement in ist und dass

gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften

besitzt.

Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.

Es sei ein Körper und seien

Elemente aus Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten

Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von gleich ist, verwenden.

Zeige, dass jede rationale Zahl

eine eindeutige Darstellung der Form

besitzt, wobei das (endliche) Produkt sich über Primzahlen erstreckt und die Exponenten sind.

Finde die gekürzte Darstellung von

Eine lineare Funktion

hat an der Stelle den Wert Welchen Wert hat sie an der Stelle

Zum Geburtstag von Mustafa hat Oma Müller drei Kuchen gebacken. Die Kuchen wurden schon gerecht auf die erwarteten sieben Kinder (Mustafa eingeschlossen) aufgeteilt. Alle Kinder kommen, allerdings bringt Lucy noch ihre Schwester Veronika und Heinz bringt Carmen und Conchita mit.

1. Freunde mitbringen ist kein Problem, allerdings muss man diese vom eigenen Kuchenanteil mitversorgen. Welchen Anteil an Kuchen bekommt Veronika und welchen Anteil Carmen, wenn Lucy bzw. Heinz fair teilt?
2. Freunde mitbringen ist kein Problem, da wird halt nochmal völlig neu und gerecht aufgeteilt. Welchen Kuchenanteil bekommt jedes Kind? Welchen Anteil von seinem eigentlichen Anteil muss Heinz abgegeben?

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?

Zeige, dass die

bei

(und) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit

wo diese Regel gilt.

Es seien

verschiedene Primzahlen. Zeige, dass es ganze Zahlen derart gibt, dass

gilt.

Ordne die folgenden rationalen Zahlen gemäß ihrer Größe.

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen

größer ist.

Man gebe fünf rationale Zahlen an, die (echt) zwischen

liegen.

Warum braucht man in der Definition 24.1 die Bedingung, dass beide Nenner positiv sind?

Unterteile die Strecke von nach rechnerisch in drei gleichlange Strecken.

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?

Eine Bahncard mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?

Zwei Fahrradfahrer,

fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.

Wer fährt schneller?

Wir wollen (ohne den Strahlensatz zu benutzen) begründen, dass die geometrische Multiplikation von rationalen Zahlen auf dem Zahlenstrahl korrekt ist, also mit der algebraisch eingeführten Multiplikation übereinstimmt. Wir beschränken uns auf positive rationale Zahlen und bezeichnen die geometrische Multiplikation mit

1. Zeige, dass für positive natürliche Zahlen und rationale Zahlen die Gleichheit gilt.
2. Zeige, dass für positive natürliche Zahlen und rationale Zahlen die Gleichheit gilt.
3. Zeige, dass generell für rationale Zahlen die Gleichheit gilt.

Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge (das Einheitsquadrat) wird als festgelegt.

1. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen sind, den Flächeninhalt besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet?
2. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen sind, den Flächeninhalt besitzt.

Das folgende Konzept reicht historisch weiter zurück als das der rationalen Zahlen.

Zwei Strecken

heißen wenn es eine Strecke mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von sind.

Zeige, dass zwei Strecken

genau dann kommensurabel sind, wenn es eine Strecke mit der Eigenschaft gibt, dass von beiden Strecken ein ganzzahliges Vielfaches ist.

Es sei ein rationale Zahl auf der Zahlengeraden. Zeige, dass zu einem weiteren Punkt genau dann kommensurabel ist, wenn ebenfalls rational ist.

Gabi Hochster hat die Addition und die Multiplikation der rationalen Zahlen verstanden und möchte jetzt die Operation verstehen, bei der man

setzt. Sie beschränkt sich auf positive Überprüfe ihre Behauptungen:

1. Bei gilt Dies kann man algebraisch und geometrisch beweisen.
2. Die Verknüpfung ist für rationale Zahlen nicht wohldefiniert.
3. Wenn man für rationale Zahlen stets ihre teilerfremde Darstellung nimmt, so ist die Verknüpfung wohldefiniert.
4. Die Verknüpfung ist kommutativ.
5. Die Verknüpfung ist nicht assoziativ.

Die in der vorstehenden Aufgabe eingeführte Verknüpfung auf den Bruchzahlen nennt man

Man finde sinnvolle Interpretationen für die Mediant-Addition

auf den Bruchzahlen. Man betrachte beispielsweise Aufgabe 23.30.

Es sei ein angeordneter Körper und

Zeige, dass auch das inverse Element positiv ist.

Man folgere daraus, dass die positiven Elemente in einem angeordneten Körper bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.

Es sei ein angeordneter Körper und

Zeige, dass auch das inverse Element negativ ist.

Es sei ein angeordneter Körper und

Zeige, dass für das inverse Element

gilt.

Es sei ein angeordneter Körper und

Zeige, dass für die inversen Elemente

gilt.

Es sei ein angeordneter Körper und seien positive Elemente. Zeige, dass

zu

äquivalent ist.

Es sei ein angeordneter Körper und , Zeige, dass es dann Elemente

mit

gibt.

Es sei ein Körper, bei dem eine Teilmenge

ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt.

1. Für ist entweder oder oder
2. Aus folgt
3. Aus folgt

Zeige, dass durch die Festlegung

ein angeordneter Körper entsteht.

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für

die Beziehung

gilt.

Es sei ein angeordneter Körper und seien

Elemente aus Zeige

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die in Aufgabe 23.41 eingeführte Abbildung

injektiv ist.

Zeige die Abschätzung

für

Bestimme die ganzzahligen Lösungen

der Ungleichung

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

in einem angeordneten Körper (dabei seien beliebige Elemente in).

1. Es ist
2. Es ist genau dann, wenn ist.
3. Es ist genau dann, wenn oder ist.
4. Es ist
5. Es ist
6. Für ist
7. Es ist ().
8. Es ist

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für

die Identität

gilt.

Es sei ein angeordneter Körper. Man untersuche die Verknüpfung

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

Es sei ein angeordneter Körper und es seien Elemente in Zeige, dass für das arithmetische Mittel

die Beziehung

gilt.

Es sei ein Körper mit

Zeige, dass die Verknüpfung, die zwei Elementen

ihr arithmetisches Mittel zuordnet, nicht assoziativ ist.

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für jedes

die Ungleichung

erfüllt ist. Für welche gilt Gleichheit?

Zeige die Abschätzung

für

Es sei ein angeordneter Körper und mit

Zeige, dass für alle die Abschätzung

gilt.

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten

gilt.

Zeige, dass die Größergleichrelation auf den rationalen Zahlen eine totale Ordnung ist.

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen

größer ist.

Zeige die Abschätzung

Es sei ein angeordneter Körper. Betrachte die in Aufgabe 23.41 konstruierte Zuordnung

a) Zeige, dass diese Zuordnung injektiv ist.

b) Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer injektiven Abbildung

fortsetzen kann, und zwar derart, dass die Verknüpfungen in mit den Verknüpfungen in übereinstimmen und die Ordnung auf mit der Ordnung auf übereinstimmt.

Es sei ein angeordneter Körper und seien

Elemente. Zeige, dass dann

gilt.

Ergänze den Stern-Brocot-Baum um eine weitere Zeile.

Ein Bakterium möchte entlang des Äquators die Erde umrunden. Es ist ziemlich klein und schafft am Tag genau Millimeter. Wie viele Tage braucht es für eine Erdumrundung?

Beinhaltet Ihre intuitive Vorstellung einer Zahlengerade, dass es zu jeder Zahl darauf eine natürliche Zahl weiter rechts gibt?

Beinhaltet Ihre intuitive Vorstellung einer Zahlengerade, dass es keine positive Zahl gibt, die kleiner als alle Stammbrüche ist?

Auf der Zahlengeraden seien zwei Punkte als

markiert. Welche Punkte der Zahlengerade lassen sich, ausgehend von diesen beiden Punkten und mit welchen Methoden, präzise positionieren, markieren, adressieren?

Zeige, dass es in einem archimedisch angeordneten Körper zu jedem Element eine ganze Zahl mit

gibt.

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die halboffenen Intervalle

eine disjunkte Überdeckung von bilden.

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass es für jedes

eine ganze Zahl und ein $t\in K$ mit $0\leq t<1$ und mit

gibt.

Berechne die Gaußklammer

Berechne die Gaußklammer

Es sei

das Ergebnis einer Division mit Rest innerhalb der ganzen Zahlen. Zeige, dass

ist.

Es sei eine rationale Zahl. Zeige, dass genau dann ganzzahlig ist, wenn

gilt.

Es seien rationale Zahlen. Zeige, dass

genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.

Runde die folgenden Brüche auf ganze Zahlen.

Führe die folgenden Rechnungen durch, wobei die Angaben als gemischte Brüche zu lesen sind. Auch die Ergebnisse sollen als gemischte Brüche angegeben werden.

Wir betrachten positive rationale Zahlen als gemischte Brüche.

a) Zeige, dass bei der Addition von zwei gemischten Brüchen der Bruchterm der Summe nur von den Bruchtermen der Summanden abhängt.

b) Wie sieht dies mit dem ganzen Teil aus?

Wie oft muss man eine Strecke der Länge Meter mindestens hintereinander legen, um einen Kilometer zu erhalten?

Wie viele Billionstel braucht man, um ein Milliardstel zu erreichen?

Im Wald lebt ein Riese, der Meter und cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von cm haben und mit dem Kopf insgesamt cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander (auf den Schultern) stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist?

Finde eine natürliche Zahl derart, dass

ist.

Es sei ein angeordneter Körper. Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion

Es sei ein angeordneter Körper. Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion

Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Abbildung

streng wachsend ist.

Zeige, dass die Funktion

weder wachsend noch fallend ist.

Es sei ein angeordneter Körper. Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion

Es sei ein angeordneter Körper. Bestimme das Monotonieverhalten der Gaußklammer

Es sei ein angeordneter Körper und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann konstant ist, wenn gleichzeitig wachsend und fallend ist.

Es sei ein angeordneter Körper und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann wachsend ist, wenn die Funktion

fallend ist, und dass dies äquivalent dazu ist, dass die Funktion

fallend ist.

Es sei ein angeordneter Körper und es sei

eine bijektive Abbildung mit der Umkehrfunktion Zeige die folgenden Aussagen.

1. ist genau dann streng wachsend, wenn streng wachsend ist.
2. ist genau dann streng fallend, wenn streng fallend ist.

Man gebe ein Beispiel für eine streng wachsende Funktion

deren Werte zwischen

liegen.

Mustafa Müller will mit Freunden zelten gehen, dafür hat ihm seine Oma eine stattliche Portion Kuchen mitgegeben. Wenn er drei Freunde mitnimmt, so reicht der Kuchen für Tage. Wie lange reicht der Kuchen, wenn er sieben Freunde mitnimmt? Wie lange reicht der Kuchen, wenn er allein geht? Mustafa entschließt sich, mit seiner ganzen Klasse einschließlich der Klassenlehrerin, Frau Maier-Sengupta, zelten zu gehen. Der Kuchenvorrat reicht genau für einen Tag. Wie viele Kinder sind in der Klasse?

Wir interessieren uns für alle Rechtecke eines vorgegebenen Flächeninhalts Zeige, dass zwischen den Rechtecksseiten ein antiproportionaler Zusammenhang besteht.

Es soll eine bestimmte Entfernung zurückgelegt werden. Zeige, dass zwischen der Fahrzeit und der (Durchschnitts-)Geschwindigkeit ein antiproportionaler Zusammenhang besteht.

Für ein aufwändiges Projekt hat die Teamleitung Personenjahre angesetzt. Welche ganzzahligen Realisierungen gibt es für dieses Projekt, wenn es spätestens in zwanzig Jahren fertig sein soll und wenn höchstens qualifizierte Mitarbeiter zur Verfügung stehen?

Zeige, dass für jede rationale Zahl die Abschätzungen

gelten.

Lucy Sonnenschein verbringt einen Urlaubsnachmittag in einem Seebad. Sie hält sich eineinviertel Stunden am Strand auf, dann eine halbe Stunde in der Eisdiele, dann eineinhalb Stunden im Park, sodann wieder zweidreiviertel Stunden am Strand und schließlich Minuten im Café. Wie lange war ihr Nachmittag?

Ein kleines Sandkorn hat ein Gewicht von Gramm. Wie viele Sandkörner muss man nehmen, um eine Sanddüne aufzubauen, die und eine halbe Tonne wiegt?

Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion

Es sei ein angeordneter Körper und es seien Abbildungen

gegeben, die jeweils entweder streng wachsend oder streng fallend sind. Es sei die Anzahl der streng fallenden Abbildungen darunter. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung

genau dann streng fallend ist, wenn  ungerade ist.

Es soll eine Düne aus Tonnen Sand vom Nordseestrand zum Ostseestrand transportiert werden. Zur Erledigung dieser Aufgabe stehen der beauftragten Firma folgende Geräte zur Verfügung: eine Schaufel, mit der man auf einmal kg transportieren kann, eine Schubkarre mit Platz für einen Zentner, ein Bagger, der Tonnen aufladen kann und ein Laster mit einem Fassungsvermögen von Tonnen. Wie oft muss das Gerät jeweils eingesetzt werden, um (mit diesem Gerät allein) den Auftrag zu erfüllen?

Halbiere die im Dezimalsystem zehnmal hintereinander.

Welche der folgenden Zahlen sind Dezimalbrüche?

Berechne

Berechne

Berechne

Was ist das kleinste ganzzahlige Vielfache von das ein Dezimalbruch ist.

Zeige, dass das arithmetische Mittel von zwei Dezimalbrüchen und wieder ein Dezimalbruch ist. Gilt dies auch für das arithmetische Mittel von drei Dezimalbrüchen?

1. Bestimme die Stammbrüche, die zugleich Dezimalbrüche und größer als sind, und liste sie in absteigender Reihenfolge auf.
2. Wie viele rationale Zahlen, die sowohl Stammbrüche als auch Dezimalbrüche sind, gibt es zwischen (einschließlich).

Berechne

Berechne

Berechne

Berechne

Das Ergebnis soll in einer entsprechenden Form angegeben werden.

Lucy Sonnenschein ist in einem Geschäft und interessiert sich für eine blaugrün-karierte Bluse. Sie fragt den Verkäufer nach dem Preis und dieser sagt Als er zurückkommt, sagt er

Beurteile den Fehler in den beiden Varianten.

Ist die Zahl

ein Dezimalbruch?

Zeige, dass eine rationale Zahl genau dann ein Dezimalbruch ist, wenn in der gekürzten Bruchdarstellung der Nenner die Form mit besitzt.

Wir betrachten die Abbildung die einen im Zehnersystem gegebenen Dezimalbruch

auf

abbildet. Bei bezieht sich also die Ziffer nicht mehr auf sondern auf

1. Berechne
2. Welche Dezimalbrüche werden unter auf sich selbst abgebildet?
3. Gilt
4. Zeige, dass die Beziehung für alle Dezimalbrüche und ganze Zahlen gilt.
5. Ist bijektiv? Was ist gegebenenfalls die Umkehrabbildung?

Eine rationale Zahl sei in der Form

gegeben. Woran erkennt man, ob es sich um einen Dezimalbruch handelt oder nicht?

Berechne im er-System

Berechne im er-System

Es seien Basen zu einem Stellenwertsystem (er System und er System). Es sei eine rationale Zahl, die im Stellenwertsystem zur Basis eine abbrechende Darstellung als Kommazahl besitzt. Gilt dies dann auch im Stellenwertsystem zur Basis

Eine Teilmenge

eines kommutativen Ringes

heißt Unterring wenn  ist und wenn  unter der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist.  

Es sei

eine fixierte positive natürliche Zahl. Zeige, dass die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von als Nenner schreiben kann, einen Unterring von bildet.

Es sei

eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

ein Unterring von ist. Was ergibt sich bei

Bestätige die Abschätzungen

aus Beispiel 26.10 durch Multiplikation der Abschätzungen mit

Approximiere die rationale Zahl durch einen Dezimalbruch mit einem Fehler von maximal

Approximiere die rationale Zahl durch einen Dezimalbruch mit einem Fehler von maximal

Zeige, dass für jedes der Dezimalbruch

die rationale Zahl  mit einem Fehler von maximal  approximiert (von unten).

Runde die folgenden Zahlen auf zwei Stellen nach dem Komma.

Bei der Onlinepartnervermittlung verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca.) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.

Halbiere den Dezimalbruch

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches

die dritte Nachkommaziffer.

Berechne den fünften Anteil des Dezimalbruches

Begründe, dass sich bei der Halbierung (und bei der Fünftelung) eines Dezimalbruches die Anzahl der Nachkommastellen um höchstens erhöht.

Zeige, dass der Algorithmus zur Berechnung des fünften Anteils eines Dezimalbruches korrekt ist.

Die Schüler sollen die im Dezimalsystem zehnmal hintereinander halbieren. Heinz Ngolo wundert sich über Gabi Hochster, die anfängt, die Potenzen der also auszurechnen. Er sagt: Sie sagt: Wer hat recht?

Man nennt einen Algorithmus wenn man ihn in einfachere Teilalgorithmen aufspalten kann, die in dem Sinne voneinander unabhängig sind, dass sie nicht die Ergebnisse voneinander benötigen (es entstehen also keine Wartezeiten).

Die Klasse soll den fünften Teil einer Zahl ausrechnen, die im Zehnersystem durch Ziffern gegeben ist. In der Klasse gibt es Kinder. Wie teilt Gabi Hochster die Aufgabe auf?

Inwiefern ist die Halbierung (Fünftelung) eines Dezimalbruches parallelisierbar?

In den Klassenarbeiten hat Mustafa Müller eine (), eine (), eine und eine geschrieben. Berechne seinen Notendurchschnitt als Bruch, und runde das Ergebnis.

Berechne

Approximiere die rationale Zahl durch einen Dezimalbruch mit einem Fehler von maximal

Halbiere den Dezimalbruch

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches

die fünfte Nachkommaziffer.

Bestimme den prozentualen Damen- und Herrenanteil in der Vorlesung Grundkurs Mathematik am 5. Februar 2019.

Ein Kuchen wurde in zwölf gleich große Stücke unterteilt, von denen bereits gegessen wurden. Wie viel Prozent des Kuchens sind noch da?

1. Wie viel Prozent sind
2. Wie viel sind
3. Berechne

Drücke die Stammbrüche bis in gerundeten Promille aus.

Bei einer Befragung nach der Lieblingseissorte stellt sich heraus, dass jeweils ein Drittel der Befragten für Erdbeereis, für Himbeereis und für Zitroneneins plädiert. In Prozent sind es also jeweils Wo ist das Prozent

geblieben?

Schätze im angegebenen Kuchendiagramm die Anteile der Teilstücke in Prozent und durch einen Winkel ein.

1. Drücke die folgenden Winkel in Prozent bezogen auf eine Volldrehung aus.
2. Drücke die folgenden Winkel in Prozent bezogen auf eine Vierteldrehung aus.
3. Drücke die folgenden Prozentangaben bezogen auf eine Volldrehung als Winkel aus.
4. Drücke die folgenden Teildrehungen in Prozent bezogen auf eine Volldrehung und mit einem Winkel aus.

Lucy Sonnenschein gibt ihres Taschengeldes für Süßigkeiten aus, davon wiederum für Eis. Wie viel Prozent ihres Taschengeldes gibt sie für Eis aus?

Die engagierte Software-Entwicklerin Betti van Deyk verbucht folgende Lohnsteigerungen in ihren ersten drei Berufsjahren: nach einem Jahr, nach dem zweiten Jahr, nach dem dritten Jahr. Wie verhält sich prozentual ihr Gehalt nach drei Jahren zu ihrem Anfangsgehalt?

Zwei Händler spekulieren mit dem gleichen Kapitaleinsatz an der Börse. Händler macht in der ersten Woche ein Prozent Gewinn und in der zweiten Woche ein Prozent Verlust, dagegen macht Händler in der ersten Woche ein Prozent Verlust und in der zweiten Woche ein Prozent Gewinn. Wie sieht ihre Geschäftsbilanz in den zwei Wochen aus, und wer steht nach zwei Wochen besser da?

Bauer Ernst erntet Kilogramm Wassermelonen, die zu Prozent aus Wasser bestehen. Er lässt sie eine Woche lang in der Sonne liegen, wodurch sie etwas austrocknen und sich ihr Wasseranteil auf Prozent reduziert, die festen Bestandteile ändern sich nicht. Wie viel wiegen die Melonen jetzt?

Karl trinkt eine Flasche Bier (Liter) mit einem Alkoholgehalt von Prozent. Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat (diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert). Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen und Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.

1. Wie schwer (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
2. Wie leicht (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
3. Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?

1. Wie viele Minuten sind ein Fünftel einer Stunde?
2. Wie viel Prozent von einer Stunde sind Minuten?
3. Wie viele Minuten sind einer Stunde?
4. Wie viel Prozent von einer Stunde ist ein Tag?

Auf eine Ware ist beim Verkauf eine Mehrwertsteuer von vom Grundpreis zu entrichten, die im Verkaufspreis Niederschlag findet. Wie viel Prozent vom Verkauspreis ist das?

Bei einer Wahl ist der Anteil der Nichtwähler gleich und der Anteil der ungültigen Stimmen (bezogen auf alle abgegebenen Stimmen) gleich Die Partei enthält der gültigen Stimmen. Wie viel Prozent der Bevölkerung haben diese Partei gewählt?

Bei einer Wahl werden Stimmen abgegeben. Die Partei bekommt Stimmen, die Partei bekommt Stimmen, die Partei bekommt Stimmen, die Partei bekommt Stimmen. Alle anderen Partein bekommen weniger als Stimmen.

1. Wie viel Prozent erhalten jeweils die Parteien?
2. Wie viel Prozent erhalten jeweils die Parteien von den gültigen Stimmen?
3. Es gilt die Hürde. Wie viel Prozent der Sitze im Parlament bekommen die Parteien?
4. Es gibt Sitze. Wie verteilen sich diese auf die Parteien?

Der Lohnabschluss bei Tarifverhandlungen sieht vor: Jeder Arbeitnehmer bekommt einen jährlichen pauschalen Zuschlag von Euro und einen prozentualen Zuwachs von Berechne die prozentualen Zuwächse für die folgenden Lohngruppen (Monatliches Gehalt vor dem Tarifabschluss).

Lohngruppe
Gehalt

Die Software-Entwicklerin Betti van Deyk verdient Euro pro Jahr. Wie viel Steuer müsste sie prozentual gemäß der abgebildeten Steuermodelle zahlen? Wie viel Steuer müsste sie je nach Modell für den verdienten Euro zahlen, wie viel für den verdienten Euro?

Eine Sendung erzielt mit durchschnittlich Zuschauern einen Marktanteil von Welchen Marktanteil erzielt eine gleichzeitig laufende Sendung mit

Zuschauern?

Auf einer Party sind der anwesenden Frauen sympathisch und der anwesenden Männer sympathisch. Was kann man über den Prozentsatz der sympathischen Menschen auf der Party sagen?

Eine Partei verliert bei einer Wahl gegenüber der letzten Wahl Prozentpunkte. Damals hatte sie einen Stimmenanteil von Wie viel hat sie prozentual verloren?

In welchem Prozentrang würden Sie Ihre mathematische Begabung einordnen? Bezogen auf welchen Bevölkerungsanteil? Auf welchen Erfahrungen beruht Ihre Einschätzung?

Wir betrachten die Quotienten

für Zeige, dass es zu jedem ein derart gibt, dass für alle

die Abschätzung

gilt.

Es sei ein angeordneter Körper und mit der zugehörigen Exponentialfunktion

und es sei die Exponentialfunktion zur Basis Zeige, dass die beiden Funktionsgraphen zu und zu symmetrisch zur Achse sind.

Eine Population wachse pro Jahr um Prozent. Man gebe unter Verwendung von Lemma 25.9 (bzw. der Bernoulli-Ungleichung) eine Jahreszahl mit der Eigenschaft an, dass sich die Population in diesem Zeitraum mindestens verdoppelt. Gibt es bessere Methoden, ein solches zu finden?

Bestimme ein mit der Eigenschaft, dass für alle

die Abschätzung

gilt.

Finde in Beispiel 27.11 das minimale

mit

Man gebe explizit ein mit der Eigenschaft an, dass für alle

die Abschätzung

gilt.

Bestimme ein mit der Eigenschaft, dass für alle

die Abschätzung

gilt.

Zu Beginn des Studiums ist Professor Knopfloch doppelt so schlau wie die Studenten. Innerhalb eines Studienjahres werden die Studenten um schlauer. Leider baut der Professor ab und verliert pro Jahr seiner Schlauheit.

1. Zeige, dass nach drei Studienjahren der Professor immer noch schlauer als die Studenten ist.
2. Zeige, dass nach vier Studienjahren die Studenten den Professor an Schlauheit übertreffen.

Im Ausgangsjahr erwirtschaftet die Volkswirtschaft doppelt so viel wie die Volkswirtschaft Das jährliche Wachstum der Volkswirtschaft beträgt und das jährliche Wachstum der Volkswirtschaft beträgt Nach wie vielen Jahren hat die Volkswirtschaft die Volkswirtschaft eingeholt (hier ist eine grobe Rechnung erlaubt)?

Jetzt ist es Uhr Wie viel Prozent des Tages stehen noch bevor?

Eine Partei gewinnt bei einer Wahl gegenüber den letzten Wahlen Prozentpunkte dazu. Jetzt hat sie einen Stimmenanteil von Wie viel hat sie prozentual zugelegt?

Bei einer zunehmend aggressiver geführten Schneeballschlacht auf dem Schulhof der Haseigelschule wächst der durchschnittliche Durchmesser der geworfenen Schneebälle pro Minute um

1. Um wie viel Prozent wächst das Volumen der Schneebälle pro Minute?
2. In welchem Zeitraum verdoppelt sich das Volumen der Schneebälle?

In den beiden folgenden Aufgaben ist zwar nicht nach dem minimalen gefragt, es soll aber im Rahmen der uns zur Verfügung stehenden Methoden ein möglichst kleines gefunden werden.

Bestimme ein mit der Eigenschaft, dass für alle

die Abschätzung

gilt.

Bestimme ein mit der Eigenschaft, dass für alle

die Abschätzung

gilt.

Finde einen Bruch mit einer Primzahl

derart, dass bei der 

schriftlichen Division eine Periodenlänge mit

auftritt.

Führe den Divisionsalgorithmus zu für jede Primzahl

durch. Was kann man an den Periodenlängen beobachten?

Führe die schriftlichen Divisionen

durch. Was fällt bei der Ziffernentwicklung auf? Wie kann man das erklären?

Führe den Divisionsalgorithmus zu und zu durch. Notiere die Restfolge und die Ziffernfolge. Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede treten auf?

Finde eine Primzahl

derart, dass sich beim

Divisionsalgorithmus zu eine von verschiedene Ziffer wiederholt, dies aber nicht Teil der Periodizität ist.

Bestimme die Nachkommastelle bei der schriftlichen Division

1. Führe sämtliche Divisionen mit Rest für aus.
2. Bestimme mit Hilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von
3. Bestimme mit Hilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von

Berechne durch mit dem Divisionsalgorithmus.

Berechne durch mit dem Divisionsalgorithmus.

Berechne durch mit dem Divisionsalgorithmus.

Berechne durch mit dem Divisionsalgorithmus.

Es sei und natürliche Zahlen mit positiv. Zeige durch Induktion nach dass man die Restfolgenglieder im Divisionsalgorithmus direkt durch die Division mit Rest

erhalten kann.

Es sei und natürliche Zahlen mit positiv. Zeige, dass beim Divisionsalgorithmus zu

die gleiche Ziffernfolge auftritt, allerdings mit veränderter Indizierung.

Es sei eine zu teilerfremde positive Zahl. Zeige, dass die Periodenlänge beim Divisionsalgorithmus zu gleich der kleinsten positiven Zahl ist, für die bei der Division durch den Rest besitzt.

Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? (Rechne mit Monat = Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an).

Die natürlichen Zahlen seien teilerfremd und sei teilerfremd zu Zeige, dass dann sämtliche Reste im Divisionsalgorithmus zu teilerfremd zu sind.

Führe die schriftliche Division

durch.

Es sei

diejenige Zahl im Zehnersystem, die aus

Neunen bestehe. Bestimme das Ergebnis der schriftlichen Division

In Satz 47.7 werden wir zeigen, dass die rationalen Zahlen diejenigen reellen Zahlen sind, für die die Dezimalentwicklung periodisch ist. Die folgende Aufgabe bietet eine algorithmische Vorwegnahme dieses Satzes.

Zeige, dass jede endliche Ziffernfolge als Periode bei einer schriftlichen Division auftritt.

Führe im er System den Divisionsalgorithmus

aus.

Führe im er System den Divisionsalgorithmus

aus.

Führe im er System den Divisionsalgorithmus

aus.

Welche Bedeutung würden Sie dem Ausdruck

(die Punkte bedeuten, dass die Ziffern in der erkennbaren Regelmäßigkeit unendlich weiter fortgesetzt werden) zuordnen? Gibt es dafür eine Interpretation als rationale Zahl, als reelle Zahl, als Folge?

Welche Bedeutung würden Sie dem Ausdruck

zuordnen (die Periode wiederholt sich also unendlich oft nach links)?

Wo tritt in der Mathematik (und in anderen Gebieten) Periodizität auf? Sind die Periodizitäten dabei oder

Es seien die , die im Divisionsalgorithmus zu berechneten Ziffern. Ist

stets die beste Approximation von unter allen ganzzahligen Vielfachen von

Es seien natürliche Zahlen mit positiv und es seien , und , die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Zeige durch Induktion nach dass

gilt.

Bestimme die ersten acht Glieder der Dezimalbruchfolge zu

Berechne mit dem Divisionsalgorithmus zu die Ziffernfolge, die Restefolge und die Dezimalbruchfolge.

Zeige, dass die Folge der Stammbrüche , gegen (in) konvergiert.

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und

mit

Zeige, dass die Folge

gegen konvergiert.

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

gegen konvergiert.

Es sei ein angeordneter Körper und sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert

Zeige, dass dann auch die Folge

konvergiert, und zwar gegen

Es sei , die Ziffernfolge, die sich beim Divisionsalgorithmus

ergibt. Wann ist diese

konvergent?

Es sei eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper. Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn es für jedes ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung

gilt.

Negiere die Aussage, dass eine Folge in einem angeordneten Körper gegen konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall aus. Das Intervall wird in zehn gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das achte Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in zehn gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das achte Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen , entsteht (ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird.
2. Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls ausdrückt.
3. Es gibt genau eine rationale Zahl die in jedem Intervall enthalten ist. Bestimme als Bruch.

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall aus. Das Intervall wird in sieben gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das sechste Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in sieben gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das sechste Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen , entsteht (ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im ersten Schritt konstruiert wird.
2. Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls ausdrückt.
3. Es gibt genau eine rationale Zahl die in jedem Intervall enthalten ist. Bestimme als Bruch.

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall aus. Das Intervall wird in drei gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das dritte (Regel 1). Das entstehende Intervall teilen wir in fünf gleichlange Teilintervalle ein und davon nehmen wir das vierte (Regel 2). Jetzt wenden wir abwechselnd Regel 1 und Regel 2 an, immer bezogen auf das zuvor konstruierte Intervall. Dabei entsteht eine Folge von Intervallen , (ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird (also von nachdem einmal die Regel und einmal die Regel 2 angewendet wurde).
2. Wie kann man den Konstruktionsschritt, der durch die einmalige Hintereinanderausführung von Regel 1 und von Regel 2 gegeben ist, mit einer einzigen Regel ausdrücken?
3. Bestimme ein Intervall der Form mit das ganz in enthalten ist.
4. Erstelle eine Formel, die die untere Intervallgrenze des Intervalls ausdrückt.
5. Es gibt genau eine rationale Zahl die in jedem Intervall enthalten ist. Bestimme als Bruch.
6. Gibt es ein Ziffernsystem, in dem die rationale Zahl aus (5) eine Ziffernentwicklung mit Periodenlänge besitzt?

Berechne durch mit dem Divisionsalgorithmus.

Führe die schriftliche Division

durch.

Führe im er System den Divisionsalgorithmus

aus.

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

gegen konvergiert.

Zeige, dass die Folge , in einem angeordneten Körper nicht konvergiert.