Lösung
- Ein Element
heißt Einheit, wenn es ein Element
mit
gibt.
- Ein Automorphismus
-
der Form
zu einem festen Element
heißt innerer Automorphismus.
- Eine Zahl
heißt algebraisch, wenn es ein von
verschiedenes Polynom
gibt mit
.
- Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller
-
Algebra-Automorphismen
von
, also
-
- Ein
Körper
heißt vollkommen, wenn jedes
irreduzible Polynom
separabel
ist.
- Eine
Gruppe
heißt auflösbar, wenn es eine Filtrierung
-
gibt derart, dass
ein
Normalteiler
in
ist und die
Restklassengruppe
abelsch
ist
(für jedes
).
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Struktur von quadratischen Körpererweiterungen in Charakteristik
.
- Der Satz über die Norm und die Spur im Minimalpolynom zu einem Element einer Körpererweiterung.
- Die
Klassengleichung.
Lösung
- Es sei
ein Körper mit einer Charakteristik
und es sei
eine quadratische Körpererweiterung. Dann gibt es ein
,
und
.
- Es sei
eine einfache
endliche Körpererweiterung
vom
Grad
.
Dann hat das
Minimalpolynom
von
die Gestalt
-

- Es sei
eine
endliche
Gruppe
und seien
die Konjugationsklassen von
mit mindestens zwei Elementen. Dann ist
-

Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Wir betrachten die Abbildung
-
Da dies eine lineare bijektive Funktion ist, wird die Addition in die Addition übersetzt. Wegen
und
-

wird die übliche Multiplikation auf
in die neue Multiplikation
übersetzt. Daher übertragen sich sämtliche algebraischen Eigenschaften von
auf
und es liegt ein Körper mit
als neutralem Element für
vor.
Beweise den Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.
Lösung
Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch
-
![{\displaystyle {}[x][y]=[xy]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee7d390725ad259f890e1cbcc21f15314bf65a9)
gegeben sein. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf
definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für
und
zu zeigen, dass
ist. Nach Voraussetzung können wir
und
mit
schreiben. Damit ist
-

Somit ist
.
Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf
folgen die Gruppeneigenschaften, die Homomorphieeigenschaft der Projektion und die Eindeutigkeit.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Es seien
verschiedene
Primzahlen
und
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]=:L\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee42f2fafd0456f5cc9a8b745e3e3b98866fd377)
die zugehörige
Körpererweiterung.
Erstelle die Multiplikationsmatrix zu einem Element
bezüglich der Basis
.
Lösung
Es ist
-

-

und
-

Somit ist die Multiplikatiosmatrix gleich
-
Lösung
- Dies folgt aus
dem Determinantenmultiplikationssatz
und
Lemma 8.2 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)).
- Zu einer beliebigen Basis von
wird die Multiplikation mit einen Element
durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag
ist. Die Determinante ist daher
nach
Lemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
- Die eine Richtung ist klar, sei also
.
Dann ist
eine Einheit in
und daher ist die Multiplikation mit
eine bijektive
-lineare Abbildung
,
und deren Determinante ist
nach
Fakt *****.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
- Bestimme die Zerlegung von
in
.
- Bestimme den
Zerfällungskörper
von
.
- Bestimme den Grad der Körpererweiterung
.
- Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von
von der Galoisgruppe herrühren.
Lösung
- Über den komplexen Zahlen liegt die Faktorzerlegung
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}X^{4}-7&={\left(X-{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X+{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X+{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\right)}\\&={\left(X^{2}-{\sqrt {7}}\right)}{\left(X^{2}+{\sqrt {7}}\right)},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89a27e4f0566fa2deabb6f39239a80e244b61c7)
wobei
die positive reelle vierte Wurzel der
bezeichnet. Die Zerlegung ist korrekt, da in den Linearformen sämtliche vierte Wurzeln aus der
vorkommen.
- Die vier Nullstellen aus Teil (1) müssen zum Zerfällungskörper
gehören, daher ist insbesondere
-
![{\displaystyle {}{\frac {{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}}{\sqrt[{4}]{7}}}={\mathrm {i} }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e2685064b0c78e7feeed0861299c9f93fd17aff)
ein Element von
. Es ist also
-
![{\displaystyle {}L=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}},{\mathrm {i} }]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee078ba5dad617f50fe684d4d5f695eb439798de)
- Das Polynom
ist irreduzibel in
, da die obige reelle Zerlegung in quadratische Polynome nicht rational durchführbar ist. Daher haben im kommutativen Diagramm
-
die horizontalen Erweiterungen den Grad
und die vertikalen Erweiterungen den Grad
(da
reell ist, gehört die imaginäre Einheit da nicht dazu).
Die Gesamterweiterung hat also den Grad
.
- Ein
-Automorphismus sendet
auf sich selbst oder auf
. Im ersten Fall handelt es sich um einen
-Automorphismus. Diese schauen wir zuerst an. Unter einem solchen Automorphismus kann
auf jede andere Nullstelle von
abgebildet werden, dadurch ist dann alles festgelegt. Dies führt zu den Permutationen
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Wenn
auf
abgebildet wird, so kann ebenfalls
auf jede andere Nullstelle von
abgebildet werden. Dies führt zu den Permutationen
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Beweise den Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.
Lösung
Wir betrachten den fünften Kreisteilungskörper
mit der
-
Basis
, wobei
ist.
- Bestimme die Multiplikationsmatrizen zu
,
,
bezüglich dieser Basis.
- Bestimme die Matrizen zu den Elementen der
Galoisgruppe
bezüglich dieser Basis.
Lösung
- Für
ist die beschreibende Matrix gleich
-
für
ist die beschreibende Matrix gleich
-
für
ist die beschreibende Matrix gleich
-
für
ist die beschreibende Matrix gleich
-
- Die Identität wird durch
-
beschrieben. Der Automorphismus
schickt
auf
-

und
auf
-

Die beschreibende Matrix ist also
-
Der Automorphismus
schickt
auf
-

und
auf
-

Die beschreibende Matrix ist also
-
Der Automorphismus
schickt
auf
-

und
auf
-

Die beschreibende Matrix ist also
-
Lösung
Es ist

Wegen
-

muss also
-

Polynomdivision ergibt
-

Lösung
Es seien
konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl
-
konstruierbar ist.
Lösung
Zeige, dass die rationalen Funktionen
(in den beiden Variablen
und
)
-

-

und
-

die Relation
-

erfüllen.
Lösung
Es ist
