Kurs:Körper- und Galoistheorie/13/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 0 3 4 0 2 3 0 3 0 0 0 7 4 4 4 3 2 3 48




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Einheit in einem kommutativen Ring .
  2. Ein innerer Automorphismus einer Gruppe .
  3. Eine algebraische Zahl .
  4. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung .
  5. Ein vollkommener Körper.
  6. Eine auflösbare Gruppe .


Lösung

  1. Ein Element heißt Einheit, wenn es ein Element mit gibt.
  2. Ein Automorphismus

    der Form zu einem festen Element heißt innerer Automorphismus.

  3. Eine Zahl heißt algebraisch, wenn es ein von verschiedenes Polynom gibt mit .
  4. Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller -Algebra-Automorphismen von , also
  5. Ein Körper heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom separabel ist.
  6. Eine Gruppe heißt auflösbar, wenn es eine Filtrierung

    gibt derart, dass ein Normalteiler in ist und die Restklassengruppe abelsch ist (für jedes ).


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Struktur von quadratischen Körpererweiterungen in Charakteristik .
  2. Der Satz über die Norm und die Spur im Minimalpolynom zu einem Element einer Körpererweiterung.
  3. Die Klassengleichung.


Lösung

  1. Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und es sei eine quadratische Körpererweiterung. Dann gibt es ein  ,  und .
  2. Sei eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad . Dann hat das Minimalpolynom von die Gestalt
  3. Sei eine endliche Gruppe und seien die Konjugationsklassen von mit mindestens zwei Elementen. Dann ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei versehen mit der üblichen Addition. Es sei fixiert. Zeige, dass mit der Verknüpfung

ein Körper vorliegt. Was ist dabei das neutrale Element zur neuen Multiplikation ?


Lösung

Wir betrachten die Abbildung

Da dies eine lineare bijektive Funktion ist, wird die Addition in die Addition übersetzt. Wegen und

wird die übliche Multiplikation auf in die neue Multiplikation übersetzt. Daher übertragen sich sämtliche algebraischen Eigenschaften von auf und es liegt ein Körper mit als neutralem Element für vor.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.


Lösung

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch

gegeben sein. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für und zu zeigen, dass ist. Nach Voraussetzung können wir und mit schreiben. Damit ist

Somit ist . Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf folgen die Gruppeneigenschaften, die Homomorphieeigenschaft der Projektion und die Eindeutigkeit.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien verschiedene Primzahlen und

die zugehörige Körpererweiterung. Erstelle die Multiplikationsmatrix zu einem Element bezüglich der Basis .


Lösung

Es ist

und

Somit ist die Multiplikatiosmatrix gleich


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Norm

folgende Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist .
  2. Für ist , wobei den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
  3. Es ist genau dann, wenn ist.


Lösung

  1. Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Lemma 8.2 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)).
  2. Zu einer beliebigen Basis von wird die Multiplikation mit einen Element durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag ist. Die Determinante ist daher nach Lemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).
  3. Die eine Richtung ist klar, sei also . Dann ist eine Einheit in und daher ist die Multiplikation mit eine bijektive -lineare Abbildung , und deren Determinante ist nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine endliche separable Körpererweiterung und , , ein Zwischenkörper. Zeige, das auch eine separable Körpererweiterung ist.


Lösung

Es sei mit dem Minimalpolynom , das nach Voraussetzung separabel ist. Es sei das Minimalpolynom zu , aufgefasst in der Körpererweiterung . Wegen gilt in die Beziehung ist , d.h. es gibt ein mit

Da in jedem Erweiterungskörper von nur einfache Nullstellen besitzt, gilt dies auch für den Teiler und damit ist auch separabel.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (7 (1+1+2+3) Punkte)

  1. Bestimme die Zerlegung von in .
  2. Bestimme den Zerfällungskörper von .
  3. Bestimme den Grad der Körpererweiterung .
  4. Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von von der Galoisgruppe herrühren.


Lösung

  1. Über den komplexen Zahlen liegt die Faktorzerlegung
    wobei die positive reelle vierte Wurzel der bezeichnet. Die Zerlegung ist korrekt, da in den Linearformen sämtliche vierte Wurzeln aus der vorkommen.
  2. Die vier Nullstellen aus Teil (1) müssen zum Zerfällungskörper gehören, daher ist insbesondere

    ein Element von . Es ist also

  3. Das Polynom ist irreduzibel in , da die obige reelle Zerlegung in quadratische Polynome nicht rational durchführbar ist. Daher haben im kommutativen Diagramm

    die horizontalen Erweiterungen den Grad und die vertikalen Erweiterungen den Grad (da reell ist, gehört die imaginäre Einheit da nicht dazu). Die Gesamterweiterung hat also den Grad .

  4. Ein -Automorphismus sendet auf sich selbst oder auf . Im ersten Fall handelt es sich um einen -Automorphismus. Diese schauen wir zuerst an. Unter einem solchen Automorphismus kann auf jede andere Nullstelle von abgebildet werden, dadurch ist dann alles festgelegt. Dies führt zu den Permutationen

    Wenn auf abgebildet wird, so kann ebenfalls auf jede andere Nullstelle von abgebildet werden. Dies führt zu den Permutationen


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.


Lösung

Wenn es einen -Automorphismus mit gibt, so induziert dieser einen Isomorphismus . Da diese erzeugten Unterkörper jeweils durch die Minimalpolynome von bzw. festgelegt sind, müssen die Minimalpolynome übereinstimmen. Also sind und konjugiert.
Wenn umgekehrt die beiden Elemente konjugiert sind, so gibt es einen -Isomorphismus . Mit der Inklusion führt dies zu einem -Homomorphismus

den man nach Korollar 15.8 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) zu einem Automorphismus auf fortsetzen kann.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten den fünften Kreisteilungskörper mit der -Basis , wobei ist.

  1. Bestimme die Multiplikationsmatrizen zu , , bezüglich dieser Basis.
  2. Bestimme die Matrizen zu den Elementen der Galoisgruppe bezüglich dieser Basis.


Lösung

  1. Für ist die beschreibende Matrix gleich

    für ist die beschreibende Matrix gleich

    für ist die beschreibende Matrix gleich

    für ist die beschreibende Matrix gleich

  2. Die Identität wird durch

    beschrieben. Der Automorphismus schickt auf

    und auf

    Die beschreibende Matrix ist also

    Der Automorphismus schickt auf

    und auf

    Die beschreibende Matrix ist also

    Der Automorphismus schickt auf

    und auf

    Die beschreibende Matrix ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom .


Lösung

Es ist

Wegen

muss also

Polynomdivision ergibt


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien zwei verschiedene Punkte in der Ebene gegeben. Es bezeichne den Kreis mit Mittelpunkt durch den Punkt . Konstruiere (ohne andere Konstruktionen zu verwenden) die Tangente an den Kreis durch . Skizziere die Situation.


Lösung

Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt durch den Punkt . Die Verbindungsgerade durch und hat mit (neben ) noch einen weiteren Schnittpunkt, den wir mit bezeichnen. Wir zeichnen Kreise und mit Mittelpunkt durch und mit Mittelpunkt durch . Die beiden Schnittpunkte von und definieren eine Gerade , und diese verläuft durch und steht senkrecht auf ( ist die halbierende Senkrechte der Strecke von nach ), so dass die Tangente an ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl

konstruierbar ist.


Lösung

Da rationale Zahlen konstruierbar sind, ist konstruierbar. Mit jeder konstruierbaren reellen Zahl ist auch die Quadratwurzel konstruierbar. Also sind konstruierbar. Da die Summe und das Produkt von konstruierbaren Zahlen wieder konstruierbar ist, sind auch und konstruierbar. Damit ist auch konstruierbar und damit ist die Summe dieser Ausdrücke konstruierbar.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die rationalen Funktionen (in den zwei Variablen und )

und

die Relation

erfüllen.


Lösung

Es ist