Kurs:Lineare Algebra/Teil I/33/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	8	0	0	0	0	3	0	0	0	3	0	0	0	0	25

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. /Definition/Begriff
2. /Definition/Begriff
3. /Definition/Begriff
4. /Definition/Begriff
5. /Definition/Begriff
6. /Definition/Begriff

Lösung

1. /Definition/Begriff/Inhalt
2. /Definition/Begriff/Inhalt
3. /Definition/Begriff/Inhalt
4. /Definition/Begriff/Inhalt
5. /Definition/Begriff/Inhalt
6. /Definition/Begriff/Inhalt

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Lösung

1. /Fakt
2. /Fakt
3. /Fakt

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Bei einer Fußballweltmeisterschaft werden in der Runde der letzten vier die Plätze ${}1,2,3,4$ nach folgendem Modus bestimmt: Es gibt zwei Halbfinals, deren Gewinner das Finale und deren Verlierer das Spiel um Platz ${}3$ bestreiten. Von einer solchen Runde seien die Mannschaften ${}A,B,C,D$ und die Ergebnisse der insgesamt vier Spiele bekannt, aber nicht die Rolle der Spiele.

1. Welche Information über die Platzierung kann man stets aus den Daten erschließen?
2. Unter welcher Bedingung kann man die Rolle aller Spiele erschließen,
3. unter welcher nicht?

Lösung

1. Es gibt genau eine Mannschaft, die zweimal gewinnt, diese ist Weltmeister, und genau eine Mannschaft, die zweimal verliert, diese ist Vierter. Die beiden anderen Mannschaften gewinnen einmal und verlieren einmal und sind Zweiter oder Dritter.
2. Wenn der Erste gegen den Vierten (die ja beide bekannt sind) spielt, so muss dieses Spiel ein Hauptfinale sein. Das komplementäre Spiel ist ebenfalls ein Halbfinale, das andere Spiel des Ersten muss das Finale und das andere Spiel des Vierten muss das Spiel um Platz drei sein. Somit sind alle Platzierungen bekannt.
3. Wenn der Erste nicht gegen den Vierten spielt, so kann man den Zweiten nicht vom Dritten unterscheiden.

Aufgabe (2 Punkte)

Angelika Freiwurf kommt um 15:00 zum See und angelt bis 18:00. Zu Beginn befinden sich 10 Hechte und 80000 Buntbarsche im See. Ein Hecht verspeist pro Stunde 3 Buntbarsche. Angelika fängt pro Stunde 5 Buntbarsche. Darüber hinaus fängt sie um 16:00 einen Hecht und zum Abschluss um 18:00 noch mal einen Hecht. Wie viele Hechte und wie viele Buntbarsche befinden sich um 18:00 im See?

Lösung

Angelika fängt insgesamt 2 Hechte und

${}3\cdot 5=15\,$

Buntbarsche. In der ersten Stunde verspeisen die 10 Hechte

${}10\cdot 3=30\,$

Buntbarsche und in den folgenden zwei Stunden verspeisen die 9 verbliebenen Hechte

${}2\cdot 9\cdot 3=54\,$

Buntbarsche. Wegen

${}15+30+54=99\,$

gibt es um ${}18:00$ noch 8 Hechte und

${}80000-99=79901\,$

Buntbarsche im See.

Aufgabe (8 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ endliche Mengen mit ${}\ell ,m$ bzw. ${}n$ Elementen. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(L,N\right)},\,(f,g)\longmapsto g\circ f,$

die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist. Zeige, dass ${}\Psi$ genau dann surjektiv ist, wenn

${}m\geq \operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,$

ist.

Lösung

Sei zuerst

${}m<\operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.$

Wir nennen das Minimum rechts ${}k$. Wir wählen Teilmengen ${}S=L$ und ${}T=N$ mit jeweils ${}k$ Elementen und eine bijektive Abbildung

${\tilde {h}}\colon S\longrightarrow T.$

Diese erweitern wir zu einer Abbildung

$h\colon L\longrightarrow N,$

indem wir die Werte zu Elementen aus ${}L\setminus S$ irgendwie festlegen. Das Bild von ${}h$ besitzt zumindest ${}k$ Elemente. Diese Abbildung kann nicht durch ${}M$ faktorisieren, da ${}M$ weniger als ${}k$ Elemente besitzt.

Es sei nun

${}m\geq \operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.$

Dabei sei zunächst

${}\ell =\operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.$

Daher gibt es eine injektive Abbildung von ${}L$ nach ${}M$, und wir fixieren eine injektive Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M.$

Es sei

$h\colon L\longrightarrow N$

vorgegeben. Wir definieren

$g\colon M\longrightarrow N$

durch

${}g(y)={\begin{cases}h(x),{\text{ falls }}y=f(x)\\\,z{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

wobei ${}z\in N$ fixiert ist. Dabei ist

${}(g\circ f)(x)=g(f(x))=h(x)\,$

nach Konstruktion.

Es sei nun

${}n=\operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.$

Bei ${}n=0$ ist die Aussage direkt klar, sei also ${}n\geq 1$. Dann gibt es eine surjektive Abbildung von ${}M$ nach ${}L$, und wir fixieren eine surjektive Abbildung

$g\colon M\longrightarrow N.$

Es sei

$h\colon L\longrightarrow N$

vorgegeben. Wir definieren

$f\colon L\longrightarrow M$

durch

${}f(x)=y\,,$

wobei ${}y\in M$ ein Element mit

${}g(y)=h(x)\,$

ist. Dabei ist

${}(g\circ f)(x)=g(f(x))=h(x)\,$

nach Konstruktion.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(7)$.

${}{\begin{pmatrix}3&6\\2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}\,.$

Lösung

Das inverse Element zu ${}3$ in ${}\mathbb {Z} /(7)$ ist ${}5$, somit ist in ${}II'=II-2\cdot 5I=II+4I$ die Variable ${}x$ eliminiert. Dies ergibt

${}4y=1\,.$

Somit ist

${}y=2\,$

und aus

${}3x+6y=4\,$

ergibt sich

${}3x=6\,$

und somit

${}x=2\,.$

Die einzige Lösung ist also ${}{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zu einer ebenen Drehung ${}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ zu einem Drehwinkel ${}\alpha$, ${}0\leq \alpha <2\pi$, über ${}{\mathbb {C} }$.

Lösung

Das charakteristische Polynom ist

${}\det \left(X{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\right)=\det {\begin{pmatrix}X-\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &X-\cos \alpha \end{pmatrix}}={\left(X-\cos \alpha \right)}^{2}+\sin ^{2}\alpha \,.$

Die Eigenwerte sind die Nullstellen davon, also

${}x_{1}=\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha \,$

und

${}x_{2}=\cos \alpha -{\mathrm {i} }\sin \alpha \,.$

Zur Berechnung der Eigenräume setzen wir die Eigenwerte für ${}X$ in die obige Matrix ein und bestimmen den Kern. Sei dafür zunächst ${}\alpha \notin \{0,\pi \}$.

Für ${}x_{1}$ ergibt sich die Matrix

${\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }\sin \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &{\mathrm {i} }\sin \alpha \end{pmatrix}},$

der Kern wird vom Vektor

$\left({\mathrm {i} },\,1\right)$

erzeugt. Also ist ${}E_{1}={\mathbb {C} }\left({\mathrm {i} },\,1\right)$.

Für ${}x_{2}$ ergibt sich die Matrix

${\begin{pmatrix}-{\mathrm {i} }\sin \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &-{\mathrm {i} }\sin \alpha \end{pmatrix}},$

der Kern wird vom Vektor

$\left(-{\mathrm {i} },\,1\right)$

erzeugt. Also ist ${}E_{2}={\mathbb {C} }\left(-{\mathrm {i} },\,1\right)$.

Für ${}\alpha \in \{0,\pi \}$ fallen die Eigenwerte zusammen und der einzige Eigenraum ist ${}E={\mathbb {C} }^{2}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung