Lösung
- Eine
Abbildung
-
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
- für alle .
- für alle
und .
- Man nennt
-
den Kern von .
- Die Matrix heißt invertierbar, wenn es eine Matrix mit
-
gibt.
- Unter dem Dualraum zu versteht man den
Homomorphismenraum
-
- Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch
-
- Man nennt die Menge
-
der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu .
Lösung
- Unter der Bedingung, dass endlichdimensional ist, gilt
-
- Es sei ein
Körper und . Dann gilt für Matrizen die Beziehung
-
- Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Dann gibt es ein Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.
Lösung
Lösung
Lösung
Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
- Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
- Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
- Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
- Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen
(und wie viele Nichtleser gibt es noch)
nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
Lösung
a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen
(in der Reihenfolge und Nichtleser)
beschreibt, ist
-
b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ist
-
c) Die Ausgangsverteilung ist , daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich .
Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung
-
Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung
Bestimme den
Kern
der
linearen Abbildung
-
Lösung
Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
-
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der ersten Gleichung die Variable . Das resultierende System ist
(,
)
-
Wir eliminieren nun aus
mittels
die Variable
, das ergibt
()
-
Wir können jetzt dieses System lösen, wobei
die anderen Variablen eindeutig festlegt. Es sei
.
Dann ist
.
Damit ist
-
Schließlich ist
-
Die Lösungsmenge, also der Kern, ist somit
-
Bestimme die
inverse Matrix
zu
-
Lösung
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Es sei
-
Finde
Elementarmatrizen
derart, dass die Einheitsmatrix ist.
Lösung
Wir multiplizieren die gegebene Matrix nacheinander mit Elementarmatrizen, bis sich die Einheitsmatrix ergibt. Es ist
-
-
-
-
Somit ist insgesamt
-
Lösung
a) Es sei eine
Basis
von , die wir zu einer Basis von ergänzen. Es sei die
Dualbasis
dazu, wobei die Linearformen sind. Wir behaupten
-
Wegen
-
für
ist
-
für . Für einen Vektor
-
mit ist ein
-
für
.
Doch dann ist auch
-
und gehört nicht zum Durchschnitt der Kerne.
b) Die Linearformen kann man zusammen als eine lineare Abbildung
-
schreiben.
Dabei ist
-
Es sei nun und es sei
-
eine lineare Abbildung, deren Kern gleich ist. Bezüglich der Standardbasen wird durch eine Matrix beschrieben. Dann ist genau dann, wenn
ist, und dies bedeutet gerade, dass eine Lösung des durch die Zeilen gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
Lösung
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
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gegebene Abbildung von
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in sich selbst.
- Erstelle eine Wertetabelle für
.
- Erstelle eine Wertetabelle für
.
- Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen
bijektiv
sind.
- Bestimme für jedes
das minimale
mit der Eigenschaft, dass
-
ist.
- Bestimme das minimale
mit der Eigenschaft, dass
-
für alle
ist.
Lösung
- Es ist
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- Es ist
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- Aus der Wertetabelle kann man unmittelbar entnehmen, dass bijektiv ist. Nach
Satz . (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
sind dann sämtliche Hintereinanderschaltungen der Abbildung mit sich selbst wieder bijektiv.
- Die Abbildungsvorschrift bewirkt
-
und
-
Für ist also
und für
ist
.
- Bei
sind nach Teil (4) die Zahlen wieder an ihrer Stelle, aber auch sind an ihrer Stelle, da ein Vielfaches von ist.
Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.
Lösung
Wir führen Induktion über
,
wobei der Induktionsanfang klar ist. Es sei also
.
Die Menge der Permutationen
kann man aufspalten, indem man nach sortiert und die bijektive Abbildung
-
als eine Permutation auf auffasst, indem man beide Mengen ordnungstreu mit identifiziert. Dies ergibt eine Bijektion
,
wobei hier die Menge der Permutationen auf bezeichnet, die auf abbilden. Zwischen den Signa besteht dabei die Beziehung
-
da man Transpositionen braucht, um die -te Stelle und die erste Stelle zu vertauschen. Es besteht also insgesamt eine natürliche Bijektion
-
Somit gilt
wobei die Streichungsmatrix zur ersten Zeile und -ten Spalte ist
(und sich die Indizierung auf diese Matrix bezieht).
Für die vorletzte Gleichung geht die Induktionsvoraussetzung ein und die letzte Gleichung beruht auf
der Entwicklung nach der ersten Zeile.
Lösung
Man finde ein
Polynom
-
mit
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
-
Lösung
Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
-
-
-
führt auf
-
und führt auf
-
also
-
und somit
-
Das gesuchte Polynom ist also
-