- Die Pausenaufgabe
- Übungsaufgaben
Überprüfe, ob die folgenden Teilmengen des
Untervektorräume
sind:
- ,
- ,
- ,
- .
Es sei ein
Körper
und ein
-
Vektorraum. Es seien
und
.
Zeige
-
Die folgenden vier Aufgaben zeigen, dass keines der Axiome für die Skalarmultiplikation eines Vektorraumes überflüssig ist.
Man gebe ein Beispiel für einen
Körper
, eine
kommutative Gruppe
und eine Abbildung
-
derart, dass diese Struktur alle
Vektorraumaxiome
außer
-
erfüllt.
Man gebe ein Beispiel für einen
Körper
, eine
kommutative Gruppe
und eine Abbildung
-
derart, dass diese Struktur alle
Vektorraumaxiome
außer
-
erfüllt.
Man gebe ein Beispiel für einen
Körper
, eine
kommutative Gruppe
und eine Abbildung
-
derart, dass diese Struktur alle
Vektorraumaxiome
außer
-
erfüllt.
Man gebe ein Beispiel für einen
Körper
, eine
kommutative Gruppe
und eine Abbildung
-
derart, dass diese Struktur alle
Vektorraumaxiome
außer
-
erfüllt.
Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen
Untervektorraum einschränken lässt und dass dieser mit den von geerbten Strukturen selbst ein
Vektorraum ist.
Wir betrachten im die
Untervektorräume
-
und
-
Zeige
.
Es sei ein
Körper, sei eine Indexmenge, und der zugehörige
Vektorraum.
Zeige, dass
-
ein
Untervektorraum
von ist.
Zu jedem sei durch
-
gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element eindeutig als
Linearkombination
der Familie
, ,
darstellen lässt.
Die folgenden vier Aufgaben verwenden Begriffe aus der Analysis.
Es sei ein angeordneter Körper und sei
-
Zeige, dass ein
Untervektorraum
des Folgenraums
-
ist.
Zeige, dass die Teilmenge
-
ein
Untervektorraum
ist.
Zeige, dass die Teilmenge
-
ein
Untervektorraum
ist.
Zeige, dass die Teilmenge
-
kein
Untervektorraum
ist.
Wir betrachten die Menge
-
die mit der stellenweisen Addition von Funktionen eine
kommutative Gruppe
ist. Auf dieser Menge bildet die
Hintereinanderschaltung
von Abbildungen eine
assoziative Verknüpfung
mit der
Identität
als
neutralem Element.
- Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
-
gilt.
- Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
-
nicht gilt.
Drücke in den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Drücke in den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Drücke in den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus.
Es sei ein
Körper
und ein
-
Vektorraum. Es sei
, ,
eine Familie von Vektoren in und
ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie
-
ein
Erzeugendensystem
von ist und dass sich als
Linearkombination
der
, ,
darstellen lässt. Zeige, dass dann schon
, ,
ein Erzeugendensystem von ist.
Es sei ein
Körper
und ein
-
Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.
- Sei
, ,
eine Familie von
Untervektorräumen
von . Dann ist auch der Durchschnitt
-
ein Untervektorraum.
- Zu einer Familie
, ,
von Elementen in ist der
erzeugte Unterraum
ein Unterraum.
- Die Familie
, ,
ist genau dann ein Erzeugendensystem von , wenn
-
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Wir betrachten im die
Untervektorräume
-
und
-
Zeige
.
Man gebe ein Beispiel für einen
Vektorraum und von drei Teilmengen in an, die jeweils zwei der Unterraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.
Drücke in den Vektor
-
als
Linearkombination
der Vektoren
-
aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.