Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 24/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix

(\begin{matrix} 4 & 7 \\ 5 & 3 \end{matrix}) .

Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine $n \times n$ -Matrix.

b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix

(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & - 4 \end{matrix}) .

c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige $2 \times 2$ -Matrix.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix

(\begin{matrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix}) .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für eine obere Dreiecksmatrix der Form

(\begin{matrix} a & b & c \\ 0 & a & d \\ 0 & 0 & a \end{matrix}) .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $M$ eine diagonalisierbare Matrix mit dem charakteristischen Polynom $χ_{M}$ . Zeige direkt, dass

χ_{M} (M) = 0

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n \times n$ -Matrix über $K$ . Wie findet man die $Spur (M)$ im charakteristischen Polynom $χ_{M}$ wieder?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n \times n$ -Matrix über $K$ mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also

χ_{M} = (X - λ_{1})^{μ_{1}} \cdot (X - λ_{2})^{μ_{2}} \dots (X - λ_{k})^{μ_{k}} .

Zeige, dass

Spur (M) = \sum_{i = 1}^{k} μ_{i} λ_{i}

ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K \subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei eine $n \times n$ -Matrix $M$ über $K$ gegeben. Zeige, dass das charakteristische Polynom $χ_{M} \in K [X]$ mit dem charakteristischen Polynom zu $M$ übereinstimmt, wenn man die Matrix über $L$ auffasst.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum. Es sei

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung und es sei

ψ = φ \oplus \dots \oplus φ : V \oplus \dots \oplus V ⟶ V \oplus \dots \oplus V

die $m$ -fache direkte Summe von $φ$ mit sich selbst. Wie verhält sich das Minimalpolynom (das charakteristische Polynom) von $ψ$ zum Minimalpolynom (zum charakteristischen Polynom) von $φ$ ?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Schreibe die Matrix

M = (\begin{matrix} 4 X^{2} - 3 X + 2 & X^{3} - 2 X + 8 \\ 3 X^{4} - X^{3} - 2 X^{2} + 7 & X^{4} - 6 \end{matrix})

(mit Einträgen aus $ℚ [X] \subset ℚ (X)$ ) als

A_{4} X^{4} + A_{3} X^{3} + A_{2} X^{2} + A_{1} X + A_{0}

mit Matrizen $A_{4}, A_{3}, A_{2}, A_{1}, A_{0} \in {Mat}_{2} (ℚ)$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper, $n \in ℕ$ und sei $M$ die Menge der $n$ -ten Einheitswurzeln in $K$ . Zeige, dass $M$ eine Untergruppe der Einheitengruppe $K^{\times}$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $n \in ℕ_{+}$ . Es sei $F$ eine komplexe, auf $ℂ$ konvergente Potenzreihe der Form

F = \sum_{j = 0}^{\infty} c_{j n} z^{j n} .

Zeige, dass für jede $n$ -te komplexe Einheitswurzel $ζ$ die Gleichheit $F (ζ z) = F (z)$ für alle $z \in ℂ$ gilt.

Eine $n$ -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung $n$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $ζ \in K$ eine $n$ -te primitive Einheitswurzel in einem Körper $K$ . Zeige die „Schwerpunktformel“

1 + ζ + ζ^{2} + \dots + ζ^{n - 1} = 0 .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper, $a \in K$ und $n \in ℕ$ . Beweise die folgenden Aussagen.

Wenn $b_{1}, b_{2} \in K$ zwei Lösungen der Gleichung $X^{n} = a$ sind und $b_{2} \neq 0$ , so ist ihr Quotient $b_{1} / b_{2}$ eine $n$ -te Einheitswurzel.
Wenn $b \in K$ eine Lösung der Gleichung $X^{n} = a$ und $ζ$ eine $n$ -te Einheitswurzel ist, so ist auch $ζ b$ eine Lösung der Gleichung $X^{n} = a$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $M$ die Permutationsmatrix zu einer Transposition. Zeige, dass $M$ über $ℝ$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei der Zyklus $1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto \dots \mapsto n \mapsto 1$ gegeben und sei $M$ die zugehörige $n \times n$ -Permutationsmatrix über einem Körper $K$ .

a) Es sei $P \in K [X]$ ein Polynom vom Grad $< n$ . Erstelle eine Formel für $(P (M)) (e_{1})$ .

b) Bestimme das Minimalpolynom von $M$ .

c) Man gebe ein Beispiel für einen Endomorphismus $φ$ auf einem reellen Vektorraum $V$ mit untereinander verschiedenen Vektoren $v_{1}, v_{2}, v_{3} \in V$ derart, dass $φ (v_{1}) = v_{2}$ , $φ (v_{2}) = v_{3}$ und $φ (v_{3}) = v_{1}$ gilt und dass das Minimalpolynom von $φ$ nicht $X^{3} - 1$ ist.