Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 24/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
- Übungsaufgaben
a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine -Matrix.
b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix
c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige -Matrix.
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für eine obere Dreiecksmatrix der Form
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Wie findet man die im charakteristischen Polynom wieder?
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also
Zeige, dass
ist.
Es sei eine Körpererweiterung. Es sei eine - Matrix über gegeben. Zeige, dass das charakteristische Polynom mit dem charakteristischen Polynom zu übereinstimmt, wenn man die Matrix über auffasst.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung und es sei
die -fache direkte Summe von mit sich selbst. Wie verhält sich das Minimalpolynom (das charakteristische Polynom) von zum Minimalpolynom (zum charakteristischen Polynom) von ?
Schreibe die Matrix
(mit Einträgen aus ) als
mit Matrizen .
Es sei ein Körper, und sei die Menge der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass eine Untergruppe der Einheitengruppe ist.
Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.
Es sei . Es sei eine komplexe, auf konvergente Potenzreihe der Form
Zeige, dass für jede -te komplexe Einheitswurzel die Gleichheit für alle gilt.
Eine -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung besitzt.
Es sei eine -te primitive Einheitswurzel in einem Körper . Zeige die „Schwerpunktformel“
Es sei ein Körper, und . Beweise die folgenden Aussagen.
- Wenn zwei Lösungen der Gleichung sind und , so ist ihr Quotient eine -te Einheitswurzel.
- Wenn eine Lösung der Gleichung und eine -te Einheitswurzel ist, so ist auch eine Lösung der Gleichung .
Es sei die Permutationsmatrix zu einer Transposition. Zeige, dass über diagonalisierbar ist.
Es sei der Zykel gegeben und sei die zugehörige
-
Permutationsmatrix
über einem Körper .
a) Es sei ein Polynom vom Grad . Erstelle eine Formel für .
b) Bestimme das
Minimalpolynom
von .
c) Man gebe ein Beispiel für einen
Endomorphismus
auf einem reellen Vektorraum mit untereinander verschiedenen Vektoren
derart, dass
,
und
gilt und dass das Minimalpolynom von nicht ist.
Von einer Permutation sei die Zyklenzerlegung bekannt. Bestimme das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der Permutationsmatrix .
Es sei ein endlicher Körper. Zeige, dass jede Einheit in eine Einheitswurzel ist.
Es sei ein endlicher Körper und eine invertierbare - Matrix über . Zeige, dass endliche Ordnung besitzt.
Man gebe eine Matrix der Ordnung an.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine - Matrix über einem Körper und sei
ein Polynom mit
und mit . Zeige, dass invertierbar ist und dass die inverse Matrix durch
beschrieben wird.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und
und
Endomorphismen mit den Minimalpolynomen bzw. . Zeige, dass das Minimalpolynom von
gleich dem normierten Erzeuger des Ideals ist.
Zeige, dass eine Permutationsmatrix über diagonalisierbar ist.
<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I | >> |
---|