Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 24/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
- Übungsaufgaben
Aufgabe * Referenznummer erstellen
a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine -Matrix.
b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix
c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige -Matrix.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für eine obere Dreiecksmatrix der Form
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Wie findet man die im charakteristischen Polynom wieder?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also
Zeige, dass
ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Körpererweiterung. Es sei eine - Matrix über gegeben. Zeige, dass das charakteristische Polynom mit dem charakteristischen Polynom zu übereinstimmt, wenn man die Matrix über auffasst.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung und es sei
die -fache direkte Summe von mit sich selbst. Wie verhält sich das Minimalpolynom (das charakteristische Polynom) von zum Minimalpolynom (zum charakteristischen Polynom) von .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Schreibe die Matrix
(mit Einträgen aus ) als
mit Matrizen .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, und sei die Menge der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass eine Untergruppe der Einheitengruppe ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei . Es sei eine komplexe, auf konvergente Potenzreihe der Form
Zeige, dass für jede -te komplexe Einheitswurzel die Gleichheit für alle gilt.
Eine -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine -te primitive Einheitswurzel in einem Körper . Zeige die „Schwerpunktformel“
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, und . Beweise die folgenden Aussagen.
- Wenn zwei Lösungen der Gleichung sind und , so ist ihr Quotient eine -te Einheitswurzel.
- Wenn eine Lösung der Gleichung und eine -te Einheitswurzel ist, so ist auch eine Lösung der Gleichung .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei die Permutationsmatrix zu einer Transposition. Zeige, dass über diagonalisierbar ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei der Zykel gegeben und sei die zugehörige - Permutationsmatrix über einem Körper .
a) Es sei ein Polynom vom Grad . Erstelle eine Formel für .
b) Bestimme das Minimalpolynom von .
c) Man gebe ein Beispiel für einen Endomorphismus auf einem reellen Vektorraum mit untereinander verschiedenen Vektoren derart, dass , und gilt und dass das Minimalpolynom von nicht ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Von einer Permutation sei die Zyklenzerlegung bekannt. Bestimme das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der Permutationsmatrix .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlicher Körper. Zeige, dass jede Einheit in eine Einheitswurzel ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlicher Körper und eine invertierbare - Matrix über . Zeige, dass endliche Ordnung besitzt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Man gebe eine Matrix der Ordnung an.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine - Matrix über einem Körper
und seiund mit . Zeige, dass invertierbar ist und dass die inverse Matrix durch
beschrieben wird.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und
und
Endomorphismen mit den Minimalpolynomen bzw. . Zeige, dass das Minimalpolynom von
gleich dem normierten Erzeuger des Ideals ist.
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 24.26 ändern
Zeige, dass eine Permutationsmatrix über diagonalisierbar ist.
<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I | >> |
---|