Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 27/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ -1& 2\end{array}\right)$

nilpotent ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die komplexe Matrix

$\left(\begin{array}{cc}1& \mathrm{i}\\ \mathrm{i}& -1\end{array}\right)$

nilpotent ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccccc}0& a& b& c& d\\ 0& 0& e& f& g\\ 0& 0& 0& h& i\\ 0& 0& 0& 0& j\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

über einem Körper $K$. Zeige, dass die fünfte Potenz von $M$ gleich $0$ ist, also

$M^5=MMMMM=0.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$D:ℝ[X{]}_{\le m}⟶ℝ[X{]}_{\le m}$

die Einschränkung des Ableitungsoperators $P\mapsto P^{\prime }$ auf die Polynome vom Grad $\le m$. Zeige, dass $D$ nilpotent ist. Zeige ebenfalls, dass

$D:ℝ[X]⟶ℝ[X]$

nicht nilpotent ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ nicht nilpotent ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass  ${\phi }^n=0$  ist, wobei $n$ die Dimension von $V$ bezeichnet.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass $0$ der einzige Eigenwert von $\phi$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine nilpotente lineare Abbildung, die auch diagonalisierbar sei. Zeige

$\phi =0.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Was ist die Determinante von $\phi$?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Was ist die Spur von $\phi$?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper.

a) Charakterisiere die nilpotenten $2\times 2$-Matrizen

$\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$

über $K$ mithilfe von zwei Gleichungen in den Variablen $x,y,z,w$.

b) Sind die Gleichungen linear?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Es sei $M$ eine $2\times 2$-Matrix, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar ist. Zeige, dass $M$ nilpotent ist.

b) Man gebe ein Beispiel einer $3\times 3$-Matrix $M$, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die im Beweis zu Lemma 27.11 konstruierten Untervektorräume $U_i$ im Allgemeinen nicht $\phi$-invariant sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$\phi :V⟶V$

ein nilpotenter Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Es sei

$V_i:=\mathrm{kern}{\phi }^i.$

Zeige, dass für die Dimensionsprünge die Beziehung

${\dim }_K\left(V_i\right)-{\dim }_K\left(V_{i-1}\right)\ge {\dim }_K\left(V_{i+1}\right)-{\dim }_K\left(V_i\right)$

gilt.

Die folgende Aufgabe verallgemeinert das Konzept, bei dem einer Permutation eine Permutationsmatrix zugeordnet wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten auf der Menge

$S=\{1,\dots ,n,\ast \}$

die Menge der Abbildungen

$B=\{\pi :S\to S\mid \pi (\ast )=\ast \}.$

Zu  $\pi \in B$  assoziieren wir (bei einem fixierten Körper $K$) die lineare Abbildung

${\phi }_{\pi }:K^n⟶K^n,$

die durch

${\phi }_{\pi }(e_i)=\{\begin{array}{c}{e}_{\pi (i)},\text{ falls }\pi (i)\ne \ast ,\\ 0,\text{ falls }\pi (i)=\ast ,\end{array}$

festgelegt ist. Mit $M_{\pi }$ bezeichnen wir die zugehörige Matrix bezüglich der Standardbasis.

a) Erstelle die Matrix $M_{\pi }$ bei  $n=4$  für die folgenden $\pi$:

(1)

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ast$
$\pi (x)$	$2$	$\ast$	$3$	$\ast$	$\ast$

(2)

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ast$
$\pi (x)$	$\ast$	$1$	$2$	$3$	$\ast$

(3)

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ast$
$\pi (x)$	$\ast$	$\ast$	$\ast$	$\ast$	$\ast$

(4)

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ast$
$\pi (x)$	$2$	$2$	$2$	$2$	$\ast$

b) Welche Eigenschaften gelten für die Spalten und für die Zeilen von $M_{\pi }$?
c) Für welche $\pi$ ist $M_{\pi }$ bijektiv?
d) Für welche $\pi$ ist $M_{\pi }$ nilpotent?
e) Welche Dimension besitzt der Kern von $M_{\pi }$?
f) Zeige

$M_{\pi \circ \rho }=M_{\pi }\circ M_{\rho }.$

g) Zeige, dass jede nilpotente $n\times n$-Matrix $M$ ähnlich zu einer Matrix der Form $M_{\pi }$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Es sei

$\psi :V⟶V$

eine weitere lineare Abbildung mit

$\psi \circ \phi =\phi \circ \psi .$

Zeige, dass $\psi \circ \phi$ ebenfalls nilpotent ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für zwei nilpotente lineare Abbildungen

$\phi ,\psi :K^2⟶K^2$

derart, dass weder $\phi \circ \psi$ noch $\phi +\psi$ nilpotent sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei  $a\in ℝ$  eine reelle Zahl mit  $|a|<1$.  Bekanntlich ist

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}^n=0.$

Ist die lineare Abbildung

$ℝ⟶ℝ,x⟼ax$

nilpotent?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $M$ eine $2\times 2$-Matrix über einem Körper $K$. Zeige, dass $M$ genau dann nilpotent ist, wenn sowohl die Determinante als auch die Spur von $M$ gleich $0$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Basis $v_n$, $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. Es sei

$\phi :V⟶V$

diejenige lineare Abbildung, die durch

$\phi (v_1)=0$

und

$\phi (v_n)=v_{n-1}$

für alle  $n\ge 2$  festgelegt ist. Ist $\phi$ nilpotent?

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

nilpotent. Zeige, dass

$\psi :=\mathrm{Id}+\phi$

bijektiv ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi ,\psi :V⟶V$

nilpotente lineare Abbildungen, die

$\phi \circ \psi =\psi \circ \phi$

erfüllen. Zeige, dass dann auch $\psi +\phi$ nilpotent ist.