Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 8/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Dimension des Raumes der $2\times 2$-Matrizen.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Dimension des Lösungsraumes des linearen Gleichungssystems

$4x-3y+7z+5u-v=0,$

$y+6z-10u+3v=0$

in den Variablen $x,y,z,u,v$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Dimension des Raumes aller $m\times n$-Matrizen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass die Menge der Diagonalmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller $n\times n$-Matrizen über $K$ ist und bestimme seine Dimension.

Eine $n\times n$-Matrix

$M={\left(a_{ij}\right)}_{1\le i,j\le n}$

heißt symmetrisch, wenn  $a_{ij}=a_{ji}$  für alle $i,j$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge der symmetrischen $n\times n$-Matrizen einen Untervektorraum im Raum aller $n\times n$-Matrizen bildet und bestimme dessen Dimension.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass die Menge der oberen Dreiecksmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller $n\times n$-Matrizen über $K$ ist und bestimme seine Dimension.

Aufgabe * Aufgabe 8.7 ändern

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit endlicher Dimension

$n={\dim }_K\left(V\right).$

Es seien $n$ Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ in $V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. $v_1,\dots ,v_n$ bilden eine Basis von $V$.
2. $v_1,\dots ,v_n$ bilden ein Erzeugendensystem von $V$.
3. $v_1,\dots ,v_n$ sind linear unabhängig.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit endlicher Dimension. Es sei  $U\subseteq V$  ein Untervektorraum mit  ${\dim }_K\left(U\right)={\dim }_K\left(V\right)$.  Zeige, dass dann  $U=V$  ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien  $a,b,c\in ℝ$  reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren

$\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}c\\ a\\ b\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}b\\ c\\ a\end{array}\right)\in {ℝ}^3.$

Man gebe Beispiele für $a,b,c$ derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension $0,1,2,3$ besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume mit  ${\dim }_K\left(V\right)=n$  und  ${\dim }_K\left(W\right)=m$.  Welche Dimension besitzt der Produktraum $V\times W$?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $W$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum ($K$ ein Körper) und seien  $U,V\subseteq W$  Untervektorräume der Dimension  ${\dim }_K\left(U\right)=r$  und  ${\dim }_K\left(V\right)=s$.  Es gelte  $r+s>n$.  Zeige, dass  $U\cap V\ne 0$  ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei  $d\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass die Menge aller Polynome vom Grad $\le d$ ein endlichdimensionaler Untervektorraum von $K[X]$ ist. Was ist seine Dimension?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad $\le 4$, für die $-2$ und $3$ Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in $ℝ[X]$ ist. Bestimme die Dimension dieses Vektorraums.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und sei $v_1,\dots ,v_n$ eine Basis von $V$. Zeige, dass die Vektorenfamilie

$v_1,\dots ,v_n\text{ und }\mathrm{i}{v}_1,\dots ,\mathrm{i}{v}_n$

eine Basis von $V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei die Standardbasis $e_1,e_2,e_3,e_4$ im ${ℝ}^4$ gegeben und die drei Vektoren

$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\\ -4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 5\\ 7\end{array}\right)\text{ und }\left(\begin{array}{c}-4\\ 9\\ -5\\ 1\end{array}\right).$

Zeige, dass diese Vektoren linear unabhängig sind und ergänze sie mit einem geeigneten Standardvektor gemäß Satz 8.2 zu einer Basis. Kann man jeden Standardvektor nehmen?

Aufgabe Aufgabe 8.16 ändern

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass $V$ nicht zugleich eine endliche Basis und eine unendliche Basis besitzen kann.

Das magische Quadrat aus Dürers Stich Melencolia I.

Eine $n\times n$-Matrix ${\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ über einem Körper $K$ heißt magisches Quadrat (oder linear-magisches Quadrat über $K$), wenn jede Spaltensumme und jede Zeilensumme in der Matrix gleich einer bestimmen Zahl  $c\in K$  ist.

In diesem Sinne ist

$\left(\begin{array}{cccc}c& 0& \cdots & 0\\ 0& c& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& c\end{array}\right)$

für jedes $c\in K$ ein magisches Quadrat.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge aller linear-magischen Quadrate der Länge $n$ über $K$ einen Untervektorraum im Raum aller $n\times n$-Matrizen bildet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_1,\dots ,v_m$ eine Familie von $m$ Vektoren in $V$ und sei

$U=⟨v_i,i=1,\dots ,m⟩$

der davon aufgespannte Untervektorraum. Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn die Dimension von $U$ gleich $m$ ist.

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

a) Bestimme die Dimension des Lösungsraumes des linearen Gleichungssystems

$2x+5y+7z+4u-3v+2w=0$

$4x+9y+6z+5u-v+w=0$

$7x+8y-3z+u+3v+3w=0$

$-x+6y+16z+8u-7v=0$

in den Variablen $x,y,z,u,v,w$.

b) Was ist die Dimension des Lösungsraumes, wenn man dieses System in den Variablen $x,y,z,u,v,w,r,s$ auffasst?

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad $\le 6$, für die $-1$, $0$ und $1$ Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in $ℝ[X]$ ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Bestimme die Dimension des Raumes aller linear-magischen Quadrate der Länge $n$ über $K$.