Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 24/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
- Übungsaufgaben
Aufgabe * Referenznummer erstellen
a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine -Matrix.
b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix
c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige -Matrix.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für eine obere Dreiecksmatrix der Form
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung und es sei
die -fache direkte Summe von mit sich selbst. Wie verhält sich das Minimalpolynom (das charakteristische Polynom) von zum Minimalpolynom (zum charakteristischen Polynom) von .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Schreibe die Matrix
(mit Einträgen aus ) als
mit Matrizen .
Aufgabe Aufgabe 24.8 ändern
Es sei eine - Matrix über einem Körper , dessen Minimalpolynom die Form
mit verschiedenen besitze. Zeige, dass diagonalisierbar ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, und sei die Menge der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass eine Untergruppe der Einheitengruppe ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.
Die folgende Aufgabe benötigt den Begriff der konvergenten Potenzreihe, wie er in der Analysis entwickelt wird.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei . Es sei eine komplexe, auf konvergente Potenzreihe der Form
Zeige, dass für jede -te komplexe Einheitswurzel die Gleichheit für alle gilt.
Eine -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine -te primitive Einheitswurzel in einem Körper . Zeige die „Schwerpunktformel“
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, und . Beweise die folgenden Aussagen.
- Wenn zwei Lösungen der Gleichung sind und , so ist ihr Quotient eine -te Einheitswurzel.
- Wenn eine Lösung der Gleichung und eine -te Einheitswurzel ist, so ist auch eine Lösung der Gleichung .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei die Permutationsmatrix zu einer Transposition. Zeige, dass über diagonalisierbar ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei der Zykel gegeben und sei die zugehörige - Permutationsmatrix über einem Körper .
a) Es sei ein Polynom vom Grad . Erstelle eine Formel für .
b) Bestimme das Minimalpolynom von .
c) Man gebe ein Beispiel für einen Endomorphismus auf einem reellen Vektorraum mit untereinander verschiedenen Vektoren derart, dass , und gilt und dass das Minimalpolynom von nicht ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Von einer Permutation sei die Zyklenzerlegung bekannt. Bestimme das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der Permutationsmatrix .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Permutation und die zugehörige Permutationsmatrix über einem Körper . Zu sei
a) Zeige, dass genau dann - invariant ist, wenn ist.
b) Zeige, dass es -invariante Unterräume geben kann, die nicht von der Form sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlicher Körper. Zeige, dass jede Einheit in eine Einheitswurzel ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlicher Körper und eine invertierbare - Matrix über . Zeige, dass endliche Ordnung besitzt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Man gebe eine Matrix der Ordnung an.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine - Matrix über einem Körper
und seiund mit . Zeige, dass invertierbar ist und dass die inverse Matrix durch
beschrieben wird.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und
und
Endomorphismen mit den Minimalpolynomen bzw. . Zeige, dass das Minimalpolynom von
gleich dem normierten Erzeuger des Ideals ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 24.26 ändern
Zeige, dass eine Permutationsmatrix über diagonalisierbar ist.
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