Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 45/kontrolle

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .

d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .

d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das totale Differential der Determinante

für an der Einheitsmatrix.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein Skalarprodukt eine nicht-ausgeartete Bilinearform ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt , offen und

eine differenzierbare Funktion. Es sei

eine differenzierbare Kurve, die ganz in einer Niveaumenge von verläuft. Zeige, dass

ist für und alle .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien und metrische Räume und es sei

eine stetige Abbildung. Es sei

und es sei

eine Funktion, die im Punkt ein lokales Extremum besitze. Zeige, dass

in ein lokales Extremum besitzt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .

d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Untersuche die Abbildung

auf partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass keine partiell differenzierbare Funktion

existiert, so dass

für alle gilt.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

und

und ihrer Komposition veranschaulichen.

  1. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  2. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  3. Berechne explizit die Komposition .
  4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt das totale Differential von .
  5. Berechne das totale Differential von in einem Punkt mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei

eine Funktion. Zeige, dass die Funktion

genau dann im Punkt total differenzierbar ist, wenn in stetig ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei differenzierbar im Nullpunkt und eine Folge in mit

Zeige, dass ein Eigenvektor von zum Eigenwert ist.


Aufgabe (10 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine differenzierbare Kurve

und eine stetige Funktion,

für die die Richtungsableitung in jede Richtung existiert, derart, dass die Verknüpfung

nicht differenzierbar ist.



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