Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 46/kontrolle

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum von endlicher Dimension. Zeige, dass der Dualraum die gleiche Dimension wie besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne den Gradienten der Funktion

in jedem Punkt .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von verschiedene lineare Abbildung

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und

eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass und im Punkt den gleichen Gradienten besitzen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und

eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor genau dann zum Kern von gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die Linearform

  1. Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft

    wobei das Standardskalarprodukt bezeichnet.

  2. Es sei

    und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft

    wobei die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf bezeichnet.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine Bilinearform auf . Zeige, dass genau dann symmetrisch ist, wenn es eine Basis von mit

für alle gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform auf . Es sei eine Orthogonalbasis auf mit der Eigenschaft für alle . Zeige, dass positiv definit ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass die Gramsche Matrix zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge oder sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Menge und

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Hesse-Form von in jedem Punkt symmetrisch ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass in der Abschätzung

von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn und linear abhängig sind.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die globalen Extrema für die Funktion

wobei das durch die Eckpunkte und gegebene abgeschlossene (volle) Dreieck ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne den Anstieg der Funktion

im Punkt in Richtung des Winkels . Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte die Funktion

  1. Bestimme den Gradienten von im Punkt bezüglich des Standardskalarprodukts .
  2. Es sei

    und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Gradienten von bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf .

  3. Zeige, dass die orthogonale Projektion von auf ist.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform auf und einer Basis von derart, dass für alle ist, aber nicht positiv definit ist.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im bezüglich der Basis und .



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