Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine rationale Funktion (in einer Variablen über ).
  2. Eine Stammfunktion zu einer Funktion .
  3. Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung

    in einem Punkt .

  4. Ein -Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen und in euklidischen Vektorräumen .
  5. Der Dualraum zu einem -Vektorraum .
  6. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  7. Eine invariante Fahne zu einer linearen Abbildung
  8. Ein zeitunabhängiges Vektorfeld.

Lösung

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine rationale Funktion (in einer Variablen über ).
  2. Eine Stammfunktion zu einer Funktion .
  3. Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung

    in einem Punkt .

  4. Ein -Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen und in euklidischen Vektorräumen .
  5. Der Dualraum zu einem -Vektorraum .
  6. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  7. Eine invariante Fahne zu einer linearen Abbildung
  8. Ein zeitunabhängiges Vektorfeld.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.
  2. Der Satz über die (lokale) Umkehrabbildung.
  3. Der Sylvestersche Trägheitssatz über eine symmetrische Bilinearform.
  4. Der Banachsche Fixpunktsatz.

Lösung

  1. Seien und endlichdimensionale -Vektorräume, und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass in und in total differenzierbar ist.

    Dann ist in differenzierbar mit dem totalen Differential

  2. Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei offen und es sei

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ein Punkt derart, dass das totale Differential

    bijektiv ist.

    Dann gibt es eine offene Menge und eine offene Menge mit und mit derart, dass eine Bijektion

    induziert, und dass die Umkehrabbildung

    ebenfalls stetig differenzierbar ist.

  3. Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform vom Typ .

    Dann ist die Gramsche Matrix von bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit positiven und negativen Einträgen.

  4. Es sei ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und

    eine

    stark kontrahierende Abbildung.

    Dann besitzt genau einen Fixpunkt.


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

über .

Lösung

Eine Stammfunktion ist
Daher ist das bestimmte Integral gleich


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

mittels Partialbruchzerlegung.

Lösung

Da der Grad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nennerpolynoms ist, führen wir zuerst eine Polynomdivision durch. Diese ergibt

und daher ist

Eine Stammfunktion ist also


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit und .

Lösung

Es liegt eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen vor. Wir setzen
davon ist
eine Stammfunktion. Die Umkehrfunktion davon ist ebenfalls

Wir setzen weiter . Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also

Daraus ergibt sich die Bedingung

und daraus

Also ist

eine Stammfunktion von . Daher ist

eine Lösung, die für definiert ist und für die gilt.


 

Aufgabe * (9 Punkte)

Es sei

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.

Lösung

Es sei eine Stammfunktion zu der stetigen Funktion . Nach Voraussetzung existiert

Der Wert des uneigentlichen Integrals ist

Durch Addition einer Konstanten können wir annehmen.

Zu jedem ist

und wegen der Monotonie ist

Für konvergiert das rechte Integral gegen und das linke Integral gegen . Daher gibt es zu jedem ein mit

für alle .

Die Umkehrfunktion besitzt die Stammfunktion

Wir müssen zeigen, dass diese Funktion für einen Limes besitzt. Für gilt und somit ist wegen der Stetigkeit

Wir behaupten, dass auch der linke Summand einen Limes für besitzt. Dazu sei und sei wie oben gewählt. Da fallend (und bijektiv) ist, gibt es ein mit . Daher gelten für alle (mit ) die Abschätzungen

Daher ist

und das uneigentliche Integral existiert. Sein Wert ist


 

Aufgabe * (8 Punkte)

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge dieser Kurve die Abschätzung

gilt.

Lösung

b) Die Unterteilungspunkte sind
Der Sinus hat dabei folgende Werte:

Dabei ergibt sich die zweite Gleichung aus und der Kreisgleichung . Die dritte Gleichung folgt daraus aus der Symmetrie des Sinus.

Die erste Teilstrecke des Streckenzugs verbindet die beiden Punkte und , deren Länge ist also

Die zweite Teilstrecke des Streckenzugs verbindet die beiden Punkte und , deren Länge ist also

Die dritte Teilstrecke ist gleichlang zur zweiten und die vierte Teilstrecke ist gleichlang zur ersten. Daher ist die Gesamtlänge dieses Streckenzugs insgesamt gleich

c) Da die Kurve stetig differenzierbar ist, ist sie auch rektifizierbar, und ihre Länge ist gleich

Wegen ist und daher ist . Wegen der Monotonie der Quadratwurzel folgt

Also ist


 

Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen und , wobei endlichdimensionale -Vektorräume sind.

Lösung

Wir haben nach Voraussetzung (wobei wir setzen)

und

mit linearen Abbildungen und , und mit in stetigen Funktionen und , die beide in den Wert annehmen. Damit gilt

Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für . Der Ausdruck

ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand ist in stetig und hat dort auch den Wert . Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der -Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da auf der kompakten Einheitssphäre nach Satz 22.4 beschränkt ist und da in stetig ist. Daher hängt die Stetigkeit nur von dem rechten Faktor ab. Aber hat für den Grenzwert . Damit ist auch in stetig und hat dort den Grenzwert .


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

das zeigt, dass im Satz über die (lokale) Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.

Lösung

Wir betrachten die Funktion

Diese Funktion ist stetig differenzierbar mit . Im Punkt gilt , so dass dort der Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwendbar ist (und zwar liegt eine Bijektion mit der Quadratwurzel als Umkehrfunktion vor). Es gibt aber keine Umkehrfunktion auf ganz , da wegen die Funktion nicht injektiv ist.


 

Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

(es ist also ).

a) Berechne die partiellen Ableitungen von und stelle den Gradienten zu auf.

b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von .

Lösung

a) Es handelt sich um eine rationale Funktionen in mehreren Variablen ohne Nullstelle des Nenners, daher existieren alle partiellen Ableitungen. Die partiellen Ableitungen von ergeben sich aus der Quotientenregel; sie sind

und

Der Gradient zu in einem Punkt ist demnach der Vektor

b) Da der Definitionsbereich offen ist und da die Funktion stetig differenzierbar ist, ist es für die Existenz eines lokalen Extremums eine notwendige Bedingung, dass der Gradient ist. Dies kann wegen der dritten partiellen Ableitung nur bei der Fall sein. Dann ist die zweite partielle Ableitung ebenfalls und wegen folgt aus der ersten partiellen Ableitung, dass sein muss. Extrema kann es also allenfalls bei Punkten der Form geben. Die Funktion hat aber bei all diesen Punkten den Wert , so dass es kein isoliertes Extremum gibt.


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf Extrema.

Lösung

Die partiellen Ableitungen der Funktion sind

und

Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist, dass der Gradient ist. Aus

folgt sofort

also und daraus

Es kann also allenfalls im Punkt

ein lokales Extremum vorliegen.

Die Hesse-Matrix der Funktion ist

Der Eintrag links oben ist also negativ und die Determinante ist positiv. Daher ist die Hesse-Matrix negativ definit und somit liegt in ein lokales Maximum vor. Da es sonst kein weiteres lokales Extremum gibt, ist dieses Maximum isoliert und global.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem

Lösung

Aus der zweiten Zeile folgt sofort

wobei die Anfangsbedingung durch erfüllt wird. Für ergibt sich daraus die inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen,

Die zugehörige homogene lineare Gleichung besitzt die Lösungen . Mittels Variation der Konstanten, also dem Ansatz , ergibt sich die Bedingung

Also ist mit einer Konstanten . Aus

folgt . Die Lösung ist also


 








Zur pdf-Version der Klausur



Zur pdf-Version der Lösungen