Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/17/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 6 3 8 7 2 4 2 2 5 5 3 4 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das offene Intervall .
  2. Der Betrag einer komplexen Zahl .
  3. Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge gegen .
  4. Das Cauchy-Produkt zu zwei Reihen und reeller Zahlen.
  5. Die Differenzierbarkeit einer Abbildung
    in einem Punkt .
  6. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung , wobei ein endlichdimensionaler -Vektorraum ist.


Lösung

  1. Das offene Intervall ist .
  2. Der Betrag einer komplexen Zahl ist durch

    definiert.

  3. Die Folge in heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit

    gibt.

  4. Das Cauchy-Produkt der beiden Reihen und ist die Reihe
  5. Die Funktion heißt differenzierbar in , wenn der Limes

    existiert.

  6. Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Eine lineare Abbildung heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Existenz der Primfaktorzerlegung.
  2. Der Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis .
  3. Der Satz über die Multilinearität der Determinante (mit Erläuterung).


Lösung

  1. Jede natürliche Zahl , , besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren.
  2. Die Exponentialfunktion

    zur Basis ist differenzierbar mit

  3. Es sei ein Körper und . Dann ist die Determinante

    multilinear. D.h., dass für jedes , für je Vektoren und für die Gleichheit

    und für die Gleichheit

    gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w w f
w w f f
w f w w
w f f f
f w w f
f w f f
f f w w
f f f w


Lösung


Aufgabe (6 (1+1+4) Punkte)

Zu sei

Zu jedem und jedem seien die Abbildungen

durch

und die Abbildungen

durch

definiert.

a) Erstelle eine Wertetabelle für

b) Erstelle eine Wertetabelle für

c) Beschreibe die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung

als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten und .


Lösung

a)

b)

c) Wir behaupten

Die Komposition hat für die Elemente jeweils den folgenden Effekt:

Das Gesamtergebnis stimmt also mit überein.


Aufgabe (3 Punkte)

Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.


Lösung

Wir wollen zeigen, dass man zu jedem mit Punkten zur Klausur zugelassen wird. Dies folgt für unmittelbar aus der offiziellen Grenze. Wir betrachten und setzen . Dies ist eine nichtnegative Zahl, über die wir Induktion führen, die Aussage ist

Bei ist und dies reicht zur Zulassung. Sei nun die Aussage für irgendein bewiesen, d. h., mit Punkten wird man zugelassen. Es ist zu zeigen, dass die Aussage auch für gilt, d.h. dass man auch mit Punkten zugelassen wird. Wenn das aber nicht so wäre, so würde man mit Punkten zugelassen werden, aber nicht mit einem Punkt weniger, und es würde doch auf einen einzigen Punkt ankommen im Widerspruch zur Zusicherung des Professors.


Aufgabe (8 (5+3) Punkte)

Wir betrachten die alternierende Reihe der Stammbrüche mit

also

die bekanntlich konvergiert.

a) Zeige, dass die umgeordnete Reihe

konvergiert.

b) Man gebe eine Umordnung der Reihe an, die divergiert.


Lösung

a) Drei aufeinanderfolgende Summanden haben die Form

mit . Dies kann man schreiben als

Der Zähler ist und der Nenner ist für . Somit kann man die Summanden für durch

nach oben abschätzen. Da nach Beispiel 9.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) die Reihe der Kehrwerte der Quadrate konvergiert, konvergiert nach dem Majorantenkriterium auch diese Reihe.


Aufgabe (7 (3+3+1) Punkte)

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

b)

c)


Lösung

a) Es ist nach [[Sinus und Kosinus/Periodizitätseigenschaften/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Sinus und Kosinus/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))  (3)]]. Daher ist

da Kosinus eine gerade Funktion ist. Aus

ergibt sich

Da ist, ist

b) Nach den Additionstheoremen für Sinus und Kosinus ist

Für ist also

Wegen

ist somit

woraus sich

ergibt. Da positiv ist, folgt

c) Aus

folgt

woraus sich wegen der Positivität von schließlich

ergibt.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

gegebenen Geraden.


Lösung

Der Einheitskreis ist durch

gegeben. Darin setzen wir

ein und erhalten

Also ist

und damit

Die Schnittpunkte sind also und .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.


Lösung

Die Ableitung ist ein Polynom vom Grad . Dieses besitzt nach Korollar 6.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) höchstens Nullstellen. Nach Satz 15.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) besitzt daher höchstens lokale Extrema. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen der Ableitung und auch unterhalb der kleinsten und oberhalb der größten Nullstelle ist die Ableitung entweder echt positiv oder echt negativ. Wenn wir stets benachbarte Intervalle zusammenlegen, auf denen die Ableitung jeweils positiv oder jeweils negativ ist, so erhalten wir eine Zerlegung von in Intervalle, auf denen die Ableitung positiv oder negativ mit eventuell endlich vielen Ausnahmepunkten ist, und positiv und negativ wechseln sich ab. In diesen Intervallen ist dann nach Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) streng wachsend oder streng fallend.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Lösung

Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir Satz 14.9 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) anwenden und erhalten mit Satz 16.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert


Lösung

Sowohl Zähler als auch Nenner haben im Grenzpunkt den Wert , daher ziehen wir Regel von Hospital heran. Die Ableitung der Zählerfunktion ist , die Ableitung der Nennerfunktion ist mit dem Wert im Nullpunkt. Somit ist


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass für jedes die Abschätzung

gilt. Tipp: Betrachte die Funktion auf dem Intervall .


Lösung

Die Stammfunktion von ist . Daher ist . Die äquidistante Unterteilung von in Teilintervalle führt zu den Teilungspunkten

Da streng fallend ist, ist die Treppenfunktion, die auf dem Intervall den Wert

annimmt, eine untere Treppenfunktion zu . Das Treppenintegral zu dieser Treppenfunktion ist

und dies ist maximal gleich dem bestimmten Integral.


Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Der -Vektorraum sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme, welche der folgenden Teilmengen unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.

  1. Die Punktmenge .
  2. Die Gerade
  3. Das Achsenkreuz
  4. Die Hyperbel
  5. Die Parabel


Lösung

  1. Ist multiplikativ abgeschlossen. Bei jedem möglichen Produkt sind die Komponenten oder , gehören also wieder zu der Punktmenge.
  2. Ist nicht multiplikativ abgeschlossen. Es ist ein Punkt der Geraden, aber

    ist kein Punkt der Geraden.

  3. Ist multiplikativ abgeschlossen. Ein Produkt von zwei Punkten des Achsenkreuzes hat in mindestens einer Komponenten den Wert und gehört somit wieder zum Achsenkreuz.
  4. Ist multiplikativ abgeschlossen. Seien und Punkte der Hyperbel, also und . Das Produkt der Punkte ist

    und wegen

    liegt das Produkt wieder auf der Hyperbel.

  5. Ist multiplikativ abgeschlossen. Die Punkte auf der Parabel sind die Punkte der Form , und das Produkt von zwei solchen Punkten ist

    und hat also wieder diese Form.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum und es seien Vektoren. Zeige, dass genau dann linear unabhängig sind, wenn linear unabhängig sind.


Lösung

Seien linear unabhängig und sei

eine Darstellung der . Dies bedeutet

woraus wegen der linearen Unabhängigkeit

also

folgt.

Seien nun umgekehrt linear unabhängig und sei

eine Darstellung der . Dann ist

Daraus ergibt sich

und daraus


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge und Nichtleser) beschreibt, ist

b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ist

c) Die Ausgangsverteilung ist , daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich .

Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten.


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach . Für ist die Aussage richtig. Sei die Aussage also für weniger als Zahlen bewiesen. Betrachten wir eine Darstellung der , also

Wir wenden darauf an und erhalten einerseits

Andererseits multiplizieren wir die obige Gleichung mit und erhalten

Die so entstandenen Gleichungen zieht man voneinander ab und erhält

Aus der Induktionsvoraussetzung folgt, dass alle Koeffizienten , , sein müssen. Wegen folgt  für und wegen ist dann auch .