Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/21/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 2 4 6 4 4 4 2 4 6 4 5 2 4 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Ein Polynom über einem Körper in einer Variablen .
  3. Die Exponentialreihe für .
  4. Der Arkussinus.
  5. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .

  6. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .


Lösung

  1. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
  2. Ein Ausdruck der Form
    mit

    heißt Polynom in einer Variablen über .

  3. Für jedes heißt die Reihe

    die Exponentialreihe in .

  4. Der Arkussinus

    ist die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion.

  5. Die Funktion

    heißt die Integralfunktion zu zum Startpunkt .

  6. Man nennt

    den Kern von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Nullstellensatz.
  2. Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
  3. Der Satz über die Eigenschaft der Determinante, alternierend zu sein (mit Erläuterung).


Lösung

  1. Seien reelle Zahlen und sei eine stetige Funktion mit und . Dann gibt es ein mit und mit .
  2. Es sei eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei eine Stammfunktion von . Dann ist
    eine Stammfunktion der Umkehrfunktion .
  3. Es sei ein Körper und . Dann ist die Determinante

    alternierend. D.h. wenn in zwei Zeilen übereinstimmen, so ist

    .


Aufgabe (2 Punkte)

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie , die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?


Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass als erstes eine U-Bahn nach Konsau kommt, muss viermal so groß sein wie die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine U-Bahn nach Heinsheim kommt. Deshalb muss in einem Zehn-Minuten-Intervall acht Minuten lang eine U-Bahn nach Konsau die nächste sein (und zwei Minuten lang eine U-Bahn nach Heinsheim). Die U-Bahnen nach Konsau fahren also etc. ab.


Aufgabe (2 Punkte)

  1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
  2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
  3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
  4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.


Lösung

  1. 4Geraden3Schnittpunkte.png








  2. 4GeradenKeinSchnittpunkt.png








  3. 4Geraden1Schnittpunkt.png








  4. 4Geraden6Schnittpunkte.png









Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Für eine Klausur verteilt Professor Knopfloch Nummern von bis an die Studenten. Diese sollen sich gemäß ihrer Nummer vor der Halle ungefähr mit einem Abstand (in Meter)

zum Eingang aufstellen, wobei der zur Verfügung stehende Platz in etwa ein Viertelkreissektor mit dem Eingang als Mittelpunkt ist.

  1. Ist die Abbildung

    injektiv?

  2. Ist die Abbildung

    surjektiv?

  3. Wie viele Leute sollen einen Abstand von Meter zum Eingang einnehmen?
  4. Welche Vorteile (Nachteile) hat die gewählte Abstandsfunktion gegenüber der Funktion


Lösung

  1. Die Abbildung ist nicht injektiv, da und beide auf abgebildet werden.
  2. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da nicht im Bild liegt.
  3. Für genau die Zahlen

    ist

    für diese ist also

    und daher

    Den Abstand sollen also Leute einnehmen.

  4. Der zur Verfügung stehende Raum wird einigermaßen gleichmäßig ausgenutzt, wobei die Leute einen hinreichenden Abstand zueinander haben können; der Radius und damit die Bogenlänge des Viertelkreises ist ungefähr proportional zur Anzahl der Leute, die darauf Platz nehmen sollen (auf dem Viertelkreis mit Radius und Bogenlänge ca. stehen Personen). Bei der Funktion

    ergibt sich eine lineare sehr lange Schlange.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es sei

eine bijektive Abbildung mit der Umkehrfunktion . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. ist genau dann streng wachsend, wenn streng wachsend ist.
  2. ist genau dann streng fallend, wenn streng fallend ist.


Lösung

Wegen der Symmetrie der Situation muss man für beide Aussagen nur die Hinrichtung zeigen.

  1. Sei streng wachsend und aus . Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente mit und . Für diese gilt

    da sich andernfalls direkt ein Widerspruch zum strengen Wachstum von ergibt. Somit ist

    und ist ebenfalls streng wachsend.

  2. Sei streng fallend und aus . Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente mit und . Für diese gilt

    da sich andernfalls, aus wegen der Voraussetzung an , streng fallend zu sein, direkt der Widerspruch ergibt. Somit ist

    und ist ebenfalls streng fallend.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen . Sie besagt (für )


Lösung

Der Induktionsanfang für ist durch

gesichert. Sei also die Aussage für ein schon bewiesen und betrachten wir die Aussage für . Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für ist die Aussage offensichtlich richtig. Sei also und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Sei eine Nullstelle von (falls keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig), Dann ist nach Lemma 6.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)) und hat den Grad , so dass wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom hat also maximal Nullstellen. Für gilt . Dies kann nur dann sein, wenn einer der Faktoren ist, so dass eine Nullstelle von gleich ist oder aber eine Nullstelle von ist. Es gibt also maximal Nullstellen von .


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und zwei konvergente reelle Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Lösung

Es seien und die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei

angenommen. Wir setzen

und

Dann sind die -Umgebungen und disjunkt. Zu diesem gibt es ein (gemeinsames) derart, dass für alle die Folgenglieder und die Folgenglieder liegen. Somit ergibt sich

ein Widerspruch zur Voraussetzung.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei . Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe


Lösung

Nach Satz 9.13 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)) gilt für alle mit

Angewendet auf ist

Es folgt


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.


Lösung

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

mit . Diese Reihe ist nach Lemma 12.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)) absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der -te Summand der Exponentialreihe von gleich

so dass die beiden Seiten übereinstimmen.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei und seien

zwei -mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

gilt.


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Sie ist für trivial und für handelt es sich einfach um die Produktregel. Sei die Aussage für die -te Ableitung bereits bewiesen. Es ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung, der Produktregel und Lemma 4.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020))


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Extrema und das Wachstumsverhalten der rationalen Funktion


Lösung

Nach der Quotientenregel ist

Die Nullstellen der Zählerfunktion sind

Der Ableitung kann man ferner entnehmen, dass die Funktion für streng fallend, für streng wachsend und für wieder streng fallend ist. Deshalb liegt in ein isoliertes lokales Minimum und in ein isoliertes lokales Maximum vor. Da unterhalb von negativ und oberhalb von positiv ist, sind beide Extrema global.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei

stetig mit

für jede stetige Funktion . Zeige .


Lösung

Es sei

für jede stetige Funktion

Da selbst stetig ist, gilt diese Beziehung insbesondere für , es ist also

Nehmen wir an, dass nicht die Nullfunktion ist. Sei mit . Dann ist und da stetig ist, gibt es ein Teilintervall , worauf die Werte der Funktion mindestens so groß wie sind. Wegen ist daher

im Widerspruch zur Voraussetzung.


Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im , die durch die beiden Punkte und verläuft.


Lösung

Die Gerade wird in Punktvektorform durch

beschrieben. Die Gleichungsform hat somit die Gestalt

mit einem zu bestimmenden . Einsetzen des Punktes ergibt , also ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen und sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei eine Aufzählung (ohne Wiederholung) der Elemente aus . Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein Erzeugendensystem von sind?


Lösung

Wegen der Isomorphie

besitzt genau Elemente. Der „schlechteste“ Fall ist, dass die Elemente zuerst alle Elemente eines -dimensionalen Untervektorraumes durchlaufen. Ein solcher hat Elemente. Da es in der Tat möglich ist, dass die ersten Elemente in einem echten Untervektorraum liegen, muss man einen Schritt weiter gehen. Die ersten -te Elemente können allerdings nicht mehr in einem niedrigerdimensionalen Untervektorraum liegen, sondern erzeugen den vollen Raum.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine quadratische Matrix, die man als

mit quadratischen Matrizen und schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung

im Allgemeinen nicht gilt.


Lösung

Wir betrachten die Matrix

mit den -Untermatrizen wie in der Aufgabenstellung. Dann ist

Um die wahre Determinante auszurechnen, führen wir Zeilenoperationen durch. Wir ersetzen die dritte Zeile durch und die vierte Zeile durch und erhalten

Wir addieren zur vierten Zeile die dritte Zeile hinzu und erhalten die obere Dreiecksmatrix

bei der alle Diagonaleinträge von verschieden sind. Daher ist diese Matrix und damit auch die Ausgangsmatrix invertierbar und die Determinante ist nach Satz 26.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)) nicht .