Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/29/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 1 1 6 2 2 3 3 2 4 5 2 4 6 5 2 2 2 6 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Binomialkoeffizient .
  2. Eine Teilfolge einer Folge reeller Zahlen.
  3. Eine gerade Funktion .
  4. Eine Stammfunktion zu einer Funktion .
  5. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit Gleichungen in Variablen über einem Körper .
  6. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .


Lösung

  1. Der Binomialkoeffizient ist durch

    definiert.

  2. Zu einer streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge

    eine Teilfolge der Folge.

  3. Eine Funktion heißt gerade, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.

  4. Eine Funktion heißt Stammfunktion zu , wenn auf differenzierbar ist und für alle gilt.
  5. Das System
    heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die und die aus sind.
  6. Man nennt

    den Kern von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
  2. Der Satz über Ableitung und Wachstumsverhalten einer Funktion .
  3. Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper .


Lösung

  1. Sei eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe .
  2. Es sei eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
    1. Die Funktion ist genau dann wachsend (bzw. fallend), wenn (bzw. ) für alle ist.
    2. Wenn für alle ist und nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist streng wachsend.
    3. Wenn für alle ist und nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist streng fallend.
  3. Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper in Dreiecksgestalt
    gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente alle ungleich seien. Dann stehen die Lösungen in Bijektion zu den Tupeln .


Aufgabe (1 Punkt)

Gartentoreverbindung.png

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.


Lösung Häuser/Gartentor/Verbindung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w w
w f f
f w w
f f f


Lösung

.


Aufgabe (6 (2+2+1+1) Punkte)

Wir betrachten die beiden Sätze „Für jeden Topf gibt es einen Deckel“ und „Es gibt einen Deckel für jeden Topf“, die man im alltäglichen Verständnis wohl als gleichbedeutend ansehen würde. Wenn man aber die beiden Aussagen streng prädikatenlogisch (quantorenlogisch) von vorne nach hinten abarbeitet, so ergeben sich zwei unterschiedliche Bedeutungen.

  1. Formuliere die beiden Aussagen durch zusätzliche Wörter so um, dass die unterschiedlichen Bedeutungen deutlich hervortreten.
  2. Es sei die Menge der Töpfe und die Menge der Deckel. Es sei ein zweistelliges Prädikat derart, dass (für und ) besagt, dass auf passt. Formuliere die beiden Aussagen allein mit geeigneten mathematischen Symbolen.
  3. Kann man aus der Aussage, dass es für jeden Topf einen Deckel gibt, logisch erschließen, dass es für jeden Deckel einen Topf gibt?
  4. Wie kann man erklären, dass die beiden Aussagen im alltäglichen Verständnis als gleichbedeutend interpretiert werden?


Lösung

  1. Erste Aussage: Für jeden Topf gibt es einen von diesem jeweiligen Topf abhängigen und zu diesem Topf passenden Deckel. Zweite Aussage: Es gibt einen bestimmten Deckel, der gleichzeitig für überhaupt alle Töpfe gleichermaßen passt.
  2. Die erste Aussage ist

    die zweite Aussage ist

  3. Nein, es kann ja sein, dass es beispielsweise in der Küche für die drei Töpfe jeweils den passenden Deckel gibt, es aber auch noch einen ganz anderen Deckel gibt, der mit keinem Topf was zu tun hat.
  4. Das alltägliche Sprachverständnis versucht, Aussagen sinnvoll zu interpretieren. Da die Aussage, dass es wirklich nur einen Deckel gibt, der gleichzeitig für alle Töpfe passt, offenbar absurd ist, versteht man auch die zweite Formulierung im Sinne der ersten sinnvollen Aussage.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Mengen und und surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls surjektiv ist.


Lösung

Sei gegeben. Aufgrund der Surjektivität von gibt es ein mit

Aufgrund der Surjektivität von gibt es ein mit

Insgesamt ist

es gibt also ein Urbild von und somit ist die Gesamtabbildung surjektiv.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Person wird Jahre alt und Person wird Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

  1. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.
  2. schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.


Lösung

  1. Person schläft in seinem Leben insgesamt

    Stunden, Person schläft insgesamt

    Stunden, sie schlafen also gleich lang. Die Wachzeit der beiden ist

    bzw.

    wegen

    ist länger wach.

  2. Person schläft in seinem Leben insgesamt

    Stunden, Person schläft insgesamt

    Stunden, Person schläft also insgesamt mehr. Die Wachzeit der beiden ist

    bzw,

    wegen

    ist auch länger wach.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).

  1. .
  2. .
  3. .


Lösung

Es seien und .

  1. Es ist

    und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes für

  2. Es ist

    und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes und der Potenzgesetze für

  3. Für jedes konstante Polynom gilt , da nicht eingesetzt werden kann.


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Wir erweitern mit und erhalten

Folgen der Form , , konvergieren gegen , nach den Rechengesetzen für konvergente Folgen konvergiert diese Folge also gegen .


Aufgabe (2 Punkte)

Entscheide, ob die Reihe

konvergiert.


Lösung

Für ist

Da die Reihe konvergiert, liegt eine konvergente Majorante vor und damit konvergiert die angegebene Reihe.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Lösung

ungefähr


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die lineare Approximierbarkeit.


Lösung

Wenn differenzierbar ist, so setzen wir . Für die Funktion muss notwendigerweise

gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes

und hat den Wert . Dies bedeutet, dass in stetig ist.
Wenn umgekehrt und mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für die Beziehung

Da stetig in ist, muss auch der Limes links für existieren.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis .


Lösung

Nach Definition . ist

Die Ableitung nach ist aufgrund von Satz 16.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) unter Verwendung der Kettenregel gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert von

im Punkt , und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.


Lösung

a) Durch Polynomdivision erhält man und . Daher ist

Daher ist

b) Die Ableitungen sind und , die beide für keine Nullstelle besitzen. Nach der Regel von l'Hospital ist daher


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine -fach stetig differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die -te Ableitung überall positiv ist. Zeige, dass maximal Nullstellen besitzt.


Lösung

Wir zeigen die Aussage durch Induktion über . Bei bedeutet die Voraussetzung einfach, dass selbst überall positiv ist und damit keine Nullstelle besitzen kann.

Sei die Aussage nun für bewiesen und sei eine -fach stetig differenzierbare Funktion, deren -te Ableitung überall positiv ist. Das bedeutet für die erste Ableitung , dass deren -te Ableitung immer positiv ist. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt daher höchstens Nullstellen. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen ist dann nach dem Zwischenwertsatz immer positiv oder immer negativ und das gilt auch unterhalb der kleinsten und oberhalb der größten Nullstelle. Es gibt also höchstens Intervalle, auf denen im Innern positiv oder negativ ist. Dies bedeutet wieder für , dass es höchstens Intervalle gibt, auf denen streng wachsend oder streng fallend ist. Auf einem solchen Intervall kann höchstens eine Nullstelle besitzen, so dass höchstens Nullstellen besitzt.


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen zur Funktion

  1. Für welche reelle Zahl ist der Flächeninhalt der durch die -Achse, die Parabel und die durch bestimmte vertikale Gerade eingeschränkte Fläche gleich ? Skizziere die Situation.
  2. Für welche reelle Zahl ist der Flächeninhalt der durch die Parabel und die durch bestimmte horizontale Gerade eingeschränkte Fläche gleich ? Skizziere die Situation.


Lösung

  1. Die Bedingung ist

    Dabei ist

    Also ist

  2. Wenn der -Wert bis läuft, so bewegt sich der -Wert zwischen und . Daher lautet die Bedingung

    Hierbei ist

    Die Bedingung wird daher zu

    Also ist



Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

eine lineare Abbildung ist.


Lösung

Für ist

und für , ist

was insgesamt die Linearität der Hintereinanderschaltung bedeutet.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Matrizen

zueinander ähnlich sind.


Lösung

Die Matrix bildet

ab. Wir setzen , , , . Bezüglich dieser Basis wird die durch gegebene lineare Abbildung durch die Matrix beschrieben, die Matrizen sind also zueinander ähnlich.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix von

die Angaben sind dabei als gemischte Brüche zu verstehen und das Ergebnis soll ebenso angegeben werden.


Lösung

Die inverse Matrix ist


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine -Matrix, mit dem charakteristischen Polynom

Bestimme das charakteristische Polynom der mit gestreckten Matrix .


Lösung

Es sei , somit ist

Sei zunächst

Es ist

Hier steht also das charakteristische Polynom zu , wobei man die Variable überall durch ersetzt, und das Ganze mit multipliziert. Daher ist

Dieser Zusammenhang gilt auch bei , da dann die Nullmatrix ist, deren charakteristisches Polynom gleich ist.