Lösung
- Die Abbildung
heißt surjektiv, wenn es für jedes
mindestens ein Element
mit
gibt.
- Eine reelle Folge ist eine
Abbildung
-
- Das Cauchy-Produkt der beiden Reihen
und
ist die Reihe
-
- Zu
,
,
heißt die Zahl
-
der Differenzenquotient von
zu
und
.
- Die Funktion
-
heißt die Integralfunktion zu
zum Startpunkt
.
- Ein Element
heißt ein Eigenwert zu
, wenn es einen von
verschiedenen Vektor
mit
-
![{\displaystyle {}\varphi (v)=\lambda v\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5723ae46bbea79f11d176fb7d06b19ca77cae1b4)
gibt.
Lösung
- Es seien
und
konvergente Folgen in
. Dann ist die Folge
ebenfalls konvergent und es gilt
-
![{\displaystyle {}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09be9a301433a47f62aac7310107afacfb42162)
- Es sei
und seien
-
stetige, auf
differenzierbare Funktionen mit
-
![{\displaystyle {}g'(x)\neq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e2b9a4627a6ef2db761ce0ef6d84a616de9b85)
für alle
. Dann ist
und es gibt ein
mit
-
![{\displaystyle {}{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c29462e120a846f1966f08dabbc942cae80209)
- Es sei
ein Körper und sei
eine
-Matrix über
. Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.
Lösung
-
Erläutere das Prinzip Beweis durch Fallunterscheidung.
Lösung Beweis durch Fallunterscheidung/Erläuterung/Aufgabe/Lösung
Es seien
und
nichtleere Mengen und
-
Abbildungen für
. Es sei
,
, und
die Produktabbildung, also
-
a) Zeige, dass
genau dann surjektiv ist, wenn alle
surjektiv sind.
b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.
Lösung
a) Es seien alle
surjektiv und sei
. Zu jedem
gibt es ein
mit
. Daher ist
ein Urbild von
unter
.
Es sei umgekehrt
surjektiv, und sei
gegeben. Da die
alle nicht leer sind, gibt es jeweils ein
. Wir setzen
-
Dafür gibt es nach Voraussetzung ein Urbild
. Für die
-te Komponente davon muss
gelten.
b) Es sei
, sei
die leere Abbildung und seien
und
irgendwelche
(nichtleere)
Mengen und sei
eine beliebige nicht surjektive Abbildung. Dann ist
und
und daher ist die Produktabbildung
ebenfalls die leere Abbildung, also surjektiv, obwohl nicht alle
surjektiv sind.
Finde eine natürliche Zahl
derart, dass
-
![{\displaystyle {}{\left({\frac {8}{7}}\right)}^{n}\geq 1000\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18fd64eb5cecc57983e8cf434e614bc6794aa54)
ist.
Lösung
Man kann
nehmen. Es ist nämlich
-
![{\displaystyle {}{\left({\frac {8}{7}}\right)}^{7000}={\left(1+{\frac {1}{7}}\right)}^{7000}\geq 1+7000\cdot {\frac {1}{7}}=1+1000\geq 1000\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0018d17e7a19560e610c8c0ae8f2efb1b486fa5)
Bestimme die ganzzahligen Lösungen
der Ungleichung
-
![{\displaystyle {}{\frac {\,\,{\frac {3}{x}}\,\,}{\,\,{\frac {-7}{4}}\,\,}}>-1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e2080da4bb5d4eb1975f64f9c82642199d4c49)
Lösung
Es ist
-
![{\displaystyle {}{\frac {\,\,{\frac {3}{x}}\,\,}{\,\,{\frac {-7}{4}}\,\,}}={\frac {12}{-7x}}={\frac {-12}{7x}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c325fe69bf36a216b8912c276e7dcd418202d781)
Bei positivem
führt die Bedingung
-
![{\displaystyle {}{\frac {-12}{7x}}>-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a2436e45b9de04a84b1834a2d6298d705de1df4)
auf
-
![{\displaystyle {}-12>-7x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ceed77e6b52cf53f3c86b5a7f91680b62343098)
bzw.
-
![{\displaystyle {}12<7x\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c0a2506fb915f1334ba8e2cd26ec613fbb8c05)
Dies ist für
-
![{\displaystyle {}x\geq 2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3d1764da3c047a738cad621afbc2e7a4441f5f)
erfüllt. Für negatives
schreiben wir
-
![{\displaystyle {}x=-y\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8749a4049c5ea5db8ee8b1200f045197faead15)
mit
positiv. Die Bedingung
-
![{\displaystyle {}{\frac {-12}{7(-y)}}>-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87080be7f79cbe8d969e6ebbb3aea9a1fd716fe)
bedeutet dann
-
![{\displaystyle {}{\frac {12}{7y}}>-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1624879d1a8eaa2bc72c9ddf12e4cd2f33f786f5)
und ist für jedes
(positive)
erfüllt, da links eine positive rationale Zahl steht. Insgesamt ist die Ungleichung also für alle ganzen Zahlen
erfüllt.
Berechne
-
Lösung
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}{\sqrt {3}}\right)}\cdot {\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\right)}&={\frac {1}{10}}-{\frac {4}{15}}{\sqrt {3}}-{\frac {3}{28}}{\sqrt {3}}+{\frac {2}{7}}\cdot {\sqrt {3}}^{2}\\&={\frac {1}{10}}+{\frac {6}{7}}-{\left({\frac {4}{15}}+{\frac {3}{28}}\right)}{\sqrt {3}}\\&={\frac {7+60}{70}}-{\frac {112+45}{420}}{\sqrt {3}}\\&={\frac {67}{70}}-{\frac {157}{420}}{\sqrt {3}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af6bd7ab44d130451fa18b0bd12d573fe6f8832)
Beweise den Satz, dass der
Limes
einer
konvergenten Folge
in
eindeutig bestimmt ist.
Lösung
Lösung
- Als Hintereinanderschaltung von stetigen Funktionen ist nach
[[Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
auch
stetig. Nach
Lemma 10.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
konvergiert auch die Bildfolge, und zwar wegen
-
![{\displaystyle {}f(0)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c29437bfac983d9c55a83c3a424f14abbe79c61)
gegen
. Somit ist
eine Nullfolge.
- Sei
-
![{\displaystyle {}x_{n}:={\frac {1}{2^{n}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32176444f22b5937600b4408b18aec969147e66f)
dies ist eine Nullfolge, und sei
-
![{\displaystyle {}f(x)=2x\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61954886ae144f80f48ad47783e88e4d289d577d)
Dann ist
-
![{\displaystyle {}f^{k}(x)=2^{k}x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b73a2de86964a0a9bd6f02ea9eb6629a880d40)
und somit ist
-
![{\displaystyle {}f^{n}(x_{n})=2^{n}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}=1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d70dc47573aa0b66c2ce89dccdead0f91d56d54)
also die konstante Folge mit dem Wert
und keine Nullfolge.
Die beiden lokalen Extrema der Funktion
-
![{\displaystyle {}f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7ec99ffd762b7eb0886a8f12d38c9a2d519d4d)
definieren ein achsenparalleles Rechteck, das vom Funktionsgraphen in zwei Bereiche zerlegt wird. Bestimme deren Flächeninhalte.
Lösung
Lösung
Nach
Satz 16.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\sin x\right)}'&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right)}'\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(2n+1){\frac {x^{2n}}{(2n+1)!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\\&=\cos x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6336cbaee8ec85daf3ca05846e51d53cb74e6e22)
und
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\cos x\right)}'&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}(2n){\frac {x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}\\&=(-1)\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{(n-1)}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}\\&=(-1)\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=-\sin x,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5c3fc8b963ca8f793abf12dbe3d4c4b07c5a2c)
wobei wir im vorletzten Schritt
gesetzt haben.
Zeige, dass für
,
,
die Gleichheit
-
![{\displaystyle {}\,\operatorname {arcosh} \,x\,=\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bc4333929749f9dad56879031c6693c40763ff5)
gilt.
Lösung
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\cosh {\left(\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\right)}&={\frac {1}{2}}{\left(e^{\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}}+e^{-\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}+{\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}^{2}+1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {x^{2}+2x{\sqrt {x^{2}-1}}+x^{2}-1+1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&={\frac {x^{2}+x{\sqrt {x^{2}-1}}}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3dfab5da12b67b03e8a907a1e2d858bc2a2d0db)
Wir wenden die Umkehrfunktion
auf diese Gleichung an und erhalten
-
![{\displaystyle {}\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}=\,\operatorname {arcosh} \,x\,\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b511d58e29b833ae5fba1d452cb6d57248f7e3)
Lösung
- Es handelt sich um den oberen Halbkreis mit dem Mittelpunkt
und dem Radius
. Für die Punkte
auf dem Kreisbogen gilt
-
![{\displaystyle {}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}+y^{2}={\frac {\pi ^{2}}{4}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233123075d612df37ae049070e6da62752336fa7)
somit ist der obere Halbbogen der Graph der Funktion
-
![{\displaystyle {}g(x)={\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{4}}-{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}}}={\sqrt {-x^{2}+x\pi }}={\sqrt {x(\pi -x)}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8316275d4ca55e6a35ad67365cef98d85f6e148c)
- Es ist
-
![{\displaystyle {}{\sqrt {x(\pi -x)}}\geq \sin x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b0df91296f21cb4c1ecac571d4b425671cfda4)
auf
zu zeigen, wobei die Situation symmetrisch zur Achse durch
ist. Da beide Funktionen nichtnegativ sind, genügt es, die quadrierte Abschätzung nachzuweisen, also
-
![{\displaystyle {}x(\pi -x)\geq \sin ^{2}x\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf3c2cdaa291cbaf8e14d16feb70e340d1233c2)
Beide Funktionen sind auf
streng wachsend und haben im Nullpunkt den Wert
. Für
ist
-
![{\displaystyle {}x(\pi -x)\geq {\frac {\pi }{6}}{\left(\pi -{\frac {\pi }{6}}\right)}={\frac {\pi }{6}}\cdot {\frac {5\pi }{6}}={\frac {5\pi ^{2}}{36}}>1\geq \sin ^{2}x\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85a0e57ade9ecf95a11049b864c128573f8ac08)
Für
vergleichen wir die Ableitungen der quadrierten FUnktionen. Es ist
-
![{\displaystyle {}(-x^{2}+\pi x)'=-2x+\pi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90ae8cf8decc6ec38db1b41d19ac9bb1978badd1)
und
-
![{\displaystyle {}(\sin ^{2}x)'=2\sin x\cos x\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/125707f358f88b0d72665d730d1b9f6fd9116b95)
Im angegebenen Bereich ist
-
![{\displaystyle {}-2x+\pi \geq -2{\frac {\pi }{6}}+\pi ={\frac {2}{3}}\pi >2\geq 2\sin x\cos x\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb58fa26ae6cd6d2c51f125434aaf1167deea17)
die Funktion
wächst also schneller als
und somit gilt auch in diesem Abschnitt die Abschätzung.
- Der Flächeninhalt unter dem Kreisbogen ist der halbe Flächeninhalt eines Kreises mit Radius
, also gleich
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{2}}\pi \left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}={\frac {\pi ^{3}}{8}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0571941ea99c0139c99049a3a9319d0d5903f5f5)
Der Flächeninhalt unter dem Sinusbogen ist
-
![{\displaystyle {}\int _{0}^{\pi }\sin xdx=-\cos x|_{0}^{\pi }=1+1=2\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c40177f29dfe8017515cafcb8d98062dea081689)
Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit gleich
-
Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in
Variablen über einem Körper
.
Lösung
Lösung
Es seien
und
Basen von
bzw.
und es seien
die Spaltenvektoren von
.
Die Abbildung
hat die Eigenschaft
-
![{\displaystyle {}\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{m}s_{ij}w_{i}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915cb5c634553af51dcd859dc3173a33230ec7c7)
wobei
der
-te Eintrag des
-ten Spaltenvektors ist. Daher ist
-
![{\displaystyle {}\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}{\left(\sum _{i=1}^{m}s_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}s_{ij}\right)}w_{i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3e38d12cce2b33396bf01dd984ab9af05fb54b)
Dies ist genau dann
, wenn
für alle
ist, und dies ist äquivalent zu
-
![{\displaystyle {}\sum _{j=1}^{n}a_{j}s_{j}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7618bf456894b6470d7fa30805c4d2df1fff685)
Dafür gibt es ein nichttriviales
(Lösungs-)Tupel
genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn
nicht injektiv ist.
Lösung
Aufgrund
des Determinantenmultiplikationssatzes
ist
-
![{\displaystyle {}\det \left(A\circ B\right)=\det A\det B=\det B\det A=\det \left(B\circ A\right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e157a35a2a3b79c41a592e183c011920a5cc1fdf)
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit.
Lösung
Sei
und sei
eine
Basis
von diesem
Eigenraum,
die wir durch
zu einer Basis von
ergänzen.
Bezüglich dieser Basis hat die
beschreibende Matrix
die Gestalt
-
Das
charakteristische Polynom
ist daher
nach Aufgabe 26.9 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
gleich
, sodass die
algebraische Vielfachheit
mindestens
ist.