Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/4/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 3 6 5 4 3 4 3 3 2 5 4 4 5 3 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Primzahl.
  2. Eine ungerade Funktion .
  3. Eine reelle Intervallschachtelung.
  4. Die Taylor-Reihe im Punkt zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion .
  5. Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

    auf einem Intervall zur Unterteilung und den Werten , .

  6. Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Eine natürliche Zahl heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr und sind.
  2. Eine Funktion heißt ungerade, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.

  3. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.

  4. Die Taylor-Reihe zu im Entwicklungspunkt ist
  5. Das Treppenintegral von ist durch

    definiert.

  6. Ein Element , , heißt ein Eigenvektor von , wenn

    mit einem gewissen gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das angenommene Maximum einer Funktion
    (welche Voraussetzungen muss die Funktion und das Intervall erfüllen)?
  2. Die Kreisgleichung für die trigonometrischen Funktionen.
  3. Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.


Lösung

  1. Sei ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei
    eine stetige Funktion. Dann gibt es ein mit
  2. Die trigonometrischen Funktionen

    und

    erfüllen für die Kreisgleichung

  3. Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zu sei diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in die -te Zeile und die -te Spalte weglässt. Dann ist (bei für jedes feste bzw. )


Aufgabe (3 Punkte)

Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen und cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?


Lösung

Es sei die Länge des Holzes, das zerlegt werden soll. Für ist eine Zerlegung offenbar nicht möglich. Für kann man das Stück so lassen, wie es ist, eine Zerlegung ist also möglich. Für ist eine Zerlegung nicht möglich, da das Stück zu lang ist, um es direkt zu übernehmen, aber zu kurz, um es in zwei oder mehr Teile zu zerlegen. Für kann man das Stück in zwei (beispielsweise gleichgroße) Teile unterteilen, eine Zerlegung ist also möglich. Für ist keine Zerlegung möglich. Für zwei Teile ist das Stück nämlich zu lang und für drei oder mehr Teile ist es zu kurz. Ab

ist eine Zerlegung stets möglich. Die Länge erfüllt dann nämlich

mit einer natürlichen Zahl . Wenn man durch dividiert, erhält man

was als Länge eines Teilstücks erlaubt ist.


Aufgabe (6 (1+1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung von in sich selbst.

  1. Erstelle eine Wertetabelle für .
  2. Erstelle eine Wertetabelle für .
  3. Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen bijektiv sind.
  4. Bestimme für jedes das minimale mit der Eigenschaft, dass

    ist.

  5. Bestimme das minimale mit der Eigenschaft, dass

    für alle ist.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Aus der Wertetabelle kann man unmittelbar entnehmen, dass bijektiv ist. Nach Aufgabe 3.27 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))  (3) sind dann sämtliche Hintereinanderschaltungen der Abbildung mit sich selbst wieder bijektiv.
  4. Die Abbildungsvorschrift bewirkt

    und

    Für ist also und für ist .

  5. Bei sind nach Teil (4) die Zahlen wieder an ihrer Stelle, aber auch sind an ihrer Stelle, da ein Vielfaches von ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Finde die komplexen Quadratwurzeln von

über den Ansatz


Lösung

Der Ansatz

führt auf die zwei reellen Gleichungen

und

Daraus folgt direkt, dass und nicht sein können. Wir lösen die zweite Gleichung nach auf und erhalten

Dies setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten

Multiplikation mit und umstellen ergibt

Dies ist eine biquadratische Gleichung, die zugrunde liegende quadratische Gleichung ist (mit )

mit den Lösungen

Dabei ist

positiv und besitzt die reellen Quadratwurzeln

und somit sind die komplexen Quadratwurzeln von gleich

und


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Produktfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Lösung

Sei vorgegeben. Die konvergente Folge ist nach Lemma 7.9 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) insbesondere beschränkt und daher existiert ein mit für alle . Sei und . Wir setzen . Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen und mit

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle . Für diese Zahlen gilt daher


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge


Lösung

Für reelles ist immer . Somit ist

für alle . Da die Folge gegen konvergiert und dies auch für die negative Folge gilt, muss aufgrund des Quetschkriteriums auch die Folge gegen konvergieren.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei , . Es sei

eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit für alle gelte. Zeige, dass konstant ist.


Lösung

Unter der gegebenen Voraussetzung konvergiert die Folge gegen . Daher konvergiert auch für jedes feste die Folge gegen . Durch iterative Anwendung der Voraussetzung an erhält man

für jedes . Aufgrund der Stetigkeit von ist also

Somit ist der einzige Wert der Funktion.


Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

Nach Satz 16.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist

und

wobei wir im vorletzten Schritt gesetzt haben.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion
im Punkt bis zur Ordnung (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Lösung

Wir müssen das Polynom

berechnen. Es ist

und

Daher ist das vierte Taylor-Polynom (also die Taylor-Reihe bis zum Grad vier) gleich


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

a) Unterteile das Intervall in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf , die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte und annimmt.


Lösung

a) Die Länge des Intervalls ist , daher muss die Länge der Teilintervalle gleich sein. Dies ergibt die Teilintervalle

b) Die Treppenfunktion, die abwechselnd die Werte und besitzt, hat das Treppenintegral


Aufgabe (5 Punkte)

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall (in Stunden) durch die Funktion

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.


Lösung

Es sei der Anfangszeitpunkt des Sonnenbades. Die Gesamteinstrahlung der Sonne in der Stunde ist das bestimmte Integral

Für diese Funktion muss das Maximum im Intervall bestimmt werden. Dafür berechnen wir die Ableitung, diese ist

Die Nullstellenberechnung dieser Ableitung führt auf bzw. auf

Also ist

(die negative Wurzel muss nicht berücksichtigt werden, da diese zu einem außerhalb des Definitionsbereiches führt). Die zweite Ableitung

ist an der Stelle negativ, so dass dort das Maximum vorliegt. Da die Ableitung keine weiteren Nullstellen im Intervall besitzt, müssen die Randpunkte nicht gesondert betrachtet werden.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.


Lösung

Aufgrund von Satz 18.17 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) existiert das Integral. Mit der Integralfunktion

gilt die Beziehung

Aufgrund von Satz 19.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist differenzierbar mit

d.h. ist eine Stammfunktion von . Wegen Lemma 19.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist . Daher ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Lösung

Wir lösen zuerst das lineare Gleichungssystem

Die Zeilenoperation führt auf

und führt auf

Damit ist

und

also

und

Also ist


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren

Man gebe Beispiele für derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension besitzt.


Lösung

Sei . Dann steht hier dreimal der Nullvektor und der davon erzeugte Untervektorraum ist der Nullraum, welcher die Dimension besitzt.

Sei . Dann steht hier dreimal der Vektor und der davon erzeugte Untervektorraum besitzt die Dimension .

Sei , und . Dann liegen die Vektoren

vor. Addition dieser drei Vektoren ergibt den Nullvektor, so dass eine lineare Abhängigkeit vorliegt und die Dimension des erzeugten Raumes maximal sein kann. Da die ersten beiden Vektoren offenbar linear unabhängig sind, ist die Dimension genau .

Sei und . Dann liegt die Standardbasis vor und der erzeugte Vektorraum ist , also dreidimensional.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen


Lösung

Die Determinante von ist

und die Determinante von ist

Das Produkt der beiden Matrizen ist

Die Determinante davon ist

Dies stimmt mit dem Produkt der beiden einzelnen Determinanten überein.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix


Lösung

Das charakteristische Polynom ist

Somit ist der einzige Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit . Der Kern von ist

Dabei ist klar, dass dies zum Kern gehört. Der Rang der Matrix ist , da die beiden ersten Zeilen linear unabhängig sind. Nach der Dimensionsformel ist also der Kern eindimenional und die geometrische Vielfachheit ist .