Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Vorlesung 16

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Ableitung von Potenzreihen

Viele wichtige Funktionen wie die Exponentialfunktion oder die trigonometrischen Funktionen werden durch eine Potenzreihe dargestellt. Der folgende Satz zeigt, dass diese Funktionen differenzierbar sind und ihre Ableitung durch diejenige Potenzreihe dargestellt wird, die sich durch gliedweises Ableiten ergibt.


Satz

Es sei

eine Potenzreihe, die auf dem offenen Intervall konvergiere und dort die Funktion darstellt.

Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

auf konvergent. Die Funktion ist in jedem Punkt dieses Intervalls differenzierbar mit

Beweis

Der Beweis erfordert ein genaues Studium von Potenzreihen.




Satz  

Die Exponentialfunktion

ist differenzierbar mit

Beweis  

Aufgrund von Satz 16.1 ist



Korollar

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus

ist

Beweis

Siehe Aufgabe 16.3.




Korollar  

Es sei .

Dann ist die Funktion

differenzierbar und ihre Ableitung ist

Beweis  

Nach Definition 12.15 ist

Die Ableitung nach ist aufgrund von Satz 16.2 und Korollar 16.3 gleich



Satz

Die Sinusfunktion

ist differenzierbar mit

und die

Kosinusfunktion

ist differenzierbar mit

Beweis

Siehe Aufgabe 16.4.




Die Zahl

Die Zahl ist der Flächeninhalt bzw. der halbe Kreisumfang eines Kreises mit Radius . Um darauf eine präzise Definition dieser Zahl aufzubauen müsste man zuerst die Maßtheorie (bzw. die Länge von „krummen Kurven“) entwickeln. Auch die trigonometrischen Funktionen haben eine intuitive Interpretation am Einheitskreis, doch auch diese setzt das Konzept der Bogenlänge voraus. Ein alternativer Zugang ist es, die Zahl über analytische Eigenschaften der durch ihre Potenzreihen definierten Funktionen Sinus und Kosinus zu definieren und dann erst nach und nach die Beziehung zum Kreis herzustellen.



Lemma  

Die Kosinusfunktion

besitzt im reellen Intervall genau eine Nullstelle.

Beweis  

Wir betrachten die Kosinusreihe

Für ist . Für kann man geschickt klammern und erhält

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also mindestens eine Nullstelle im angegebenen Intervall.
Zum Beweis der Eindeutigkeit betrachten wir die Ableitung des Kosinus, diese ist nach Satz 16.5

Es genügt zu zeigen, dass der Sinus im Intervall positiv ist, denn dann ist das Negative davon stets negativ und der Kosinus ist dann nach Satz 15.7 im angegebenen Intervall streng fallend, so dass es nur eine Nullstelle gibt. Für gilt



Eine rationale Approximation der Zahl auf einem -Pie.



Definition  

Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Die Kreiszahl ist definiert durch



Satz  

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in folgende Periodizitätseigenschaften.

  1. Es ist und für alle .
  2. Es ist und für alle .
  3. Es ist und für alle .
  4. Es ist , , , und .
  5. Es ist , , , und .

Beweis  

Aufgrund der Kreisgleichung

ist , also ist wegen der Überlegung im Beweis zu Lemma 16.6. Daraus folgen mit den Additionstheoremen die in (3) angegebenen Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus. Es genügt daher, die Aussagen für den Kosinus zu beweisen. Alle Aussagen folgen dann aus der Definition von und aus (3).



Definition  

Eine Funktion

heißt periodisch mit Periode , wenn für alle die Gleichheit
gilt.

Die beiden trigonometrischen Funktionen sind also periodische Funktionen mit der Periodenlänge .



Die inversen trigonometrischen Funktionen



Korollar

Die reelle Sinusfunktion

induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion

Beweis

Siehe Aufgabe 16.11.


Arcsine.svg


Arccosine.svg


Aufgrund der Bijektivität von Sinus und Kosinus auf geeigneten Intervallen gibt es die folgenden Umkehrfunktionen.


Definition  

Die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion ist

und heißt Arcus-Sinus.


Definition  

Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist

und heißt Arcus-Kosinus.



Die Taylor-Formel


Zu einer konvergenten Potenzreihe[1]

bilden die Teilpolynome polynomiale Approximationen für die Funktion im Punkt . Ferner ist in beliebig oft differenzierbar und die Ableitungen lassen sich aus der Potenzreihe ablesen. Wir fragen uns nun umgekehrt, inwiefern man aus den höheren Ableitungen einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion approximierende Polynome (oder eine Potenzreihe) erhalten kann. Dies ist der Inhalt der Taylor-Entwicklung.


Definition  

Es sei ein Intervall,

eine -mal differenzierbare Funktion und . Dann heißt

das Taylor-Polynom vom Grad[2] zu im Entwicklungspunkt .

Das Taylor-Polynom zum Grad ist dasjenige (eindeutig bestimmte) Polynom vom Grad , das mit an der Stelle bis zur -ten Ableitung übereinstimmt.



Satz  

Es sei ein reelles Intervall,

eine -mal differenzierbare Funktion, und ein innerer Punkt des Intervalls.

Dann gibt es zu jedem Punkt ein mit

Dabei kann zwischen und gewählt werden.

Beweis  




Korollar  

Es sei ein beschränktes abgeschlossenes Intervall,

eine -mal stetig differenzierbare Funktion, ein innerer Punkt und .

Dann gilt zwischen und dem -ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung

Beweis  

Die Zahl existiert aufgrund von Satz 11.13, da nach Voraussetzung die -te Ableitung stetig auf dem kompakten Intervall ist. Die Aussage folgt somit direkt aus Satz 16.14.




Fußnoten
  1. Bisher haben wir nur Potenzreihen der Form betrachtet; die Variable darf jetzt auch durch die „verschobene Variable“ ersetzt werden, um das lokale Verhalten im Entwicklungspunkt beschreiben zu können.
  2. Oder genauer das Taylor-Polynom vom Grad . Wenn die -te Ableitung in null ist, so besitzt das -te Taylor-Polynom einen Grad kleiner als .


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