Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesung 52
- Hinreichende Kriterien für lokale Extrema
Wir besprechen hinreichende Kriterien für die Existenz von lokalen Extrema einer Funktion
die auf Eigenschaften der zweiten Richtungsableitungen, genauer der Hesse-Form, beruhen und die entsprechenden Kriterien in einer Variablen verallgemeinern. Zunächst brauchen wir ein Lemma, das beschreibt, wie die Definitheit (oder der „Definitheitstyp“) der Hesse-Form vom Punkt abhängt.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Teilmenge und
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei ein Punkt, in dem die Hesse-Form positiv (negativ) definit sei.
Dann gibt es eine offene Umgebung , , derart, dass die Hesse-Form in jedem Punkt positiv (negativ) definit ist.
Es sei eine Basis von , und sei die Gramsche Matrix zur Hesse-Form im Punkt bezüglich dieser Basis. Aufgrund der Differenzierbarkeitsvoraussetzungen hängt stetig von ab. Daher hängen auch die Determinanten der quadratischen Untermatrizen von stetig von ab. Die Determinanten
sind nach Korollar 44.13 alle von verschieden. Daher gibt es eine offene Umgebung , , derart, dass für alle die Determinanten
das gleiche Vorzeichen haben wie . Da diese Vorzeichen nach Korollar 44.13 über die Definitheit entscheiden, folgt die Behauptung.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Teilmenge und
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei mit . Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn negativ definit ist, so besitzt ein isoliertes lokales Maximum in .
- Wenn positiv definit ist, so besitzt ein isoliertes lokales Minimum in .
- Wenn indefinit ist, so besitzt in weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.
(1). Aufgrund von Lemma 52.1 gibt es ein derart, dass die Hesse-Form für alle negativ definit ist. Für alle Vektoren , , gibt es nach Satz 50.5 ein mit
wobei die erste Formulierung sich auf eine fixierte Basis bezieht und wobei die zweite Identität auf
Aufgabe 52.15
beruht. Da die Hesse-Form negativ definit ist, steht rechts für
eine Zahl, die echt kleiner als ist. Daher liegt ein isoliertes lokales Maximum vor.
(2) wird wie (1) bewiesen oder durch betrachten von darauf zurückgeführt.
(3). Es sei
indefinit.
Dann gibt es Vektoren
und
mit
Wegen der stetigen Abhängigkeit der Hesse-Form gelten diese Abschätzungen auch für für aus einer offenen Umgebung von (mit den gleichen Vektoren und ). Wir können durch Skalierung von und annehmen, dass und zu dieser Umgebung gehören. Wie im Beweis zu Teil (1) gilt daher ( und sind nicht )
und
mit
.
Also kann in kein lokales Extremum vorliegen.
Wir betrachten die Funktion
Die partiellen Ableitungen sind
Zur Berechnung der kritischen Punkte dieser Funktion eliminieren wir und erhalten die Bedingung
führt. Die kritischen Punkte sind also
Die Hesse-Form ist in einem Punkt gleich
Zur Bestimmung des Definitheitstyps ziehen wir Korollar 44.13 heran, wobei der erste Minor, also , natürlich positiv ist. Die Determinante der Hesse-Matrix ist
was genau bei positiv ist. Dies ist im Punkt der Fall, aber nicht im Punkt . Daher ist die Hesse-Matrix im Punkt nach Korollar 44.13 positiv definit und somit besitzt die Funktion im Punkt nach Satz 52.2 ein isoliertes lokales Minimum, das zugleich ein globales Minimum ist. In ist die Determinante negativ, sodass dort die Hesse-Form indefinit ist und somit, wiederum nach Satz 52.2, kein Extremum vorliegen kann.
Wir betrachten die Abbildung
Es ist
Die partiellen Ableitungen sind
Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist der einzige kritische Punkt. Die Hesse-Matrix in einem Punkt ist
In ist dies
Nach Korollar 44.13 ist daher die Hesse-Form im kritischen Punkt weder positiv definit noch negativ definit. Man kann direkt zeigen, dass diese Matrix indefinit ist (vom Typ ), da diese Bilinearform auf positiv und auf negativ definit ist. Nach Satz 52.2 liegt in diesem Punkt also kein Extremum vor.
Dies kann man auch ohne Differentialrechnung erkennen. Für oder ist . Ansonsten gelten die folgenden Beziehungen.
- Für und ist .
- Für und ist .
- Für und ist .
- Für und ist .
Daher gibt es in jeder Umgebung von Punkte, an denen die Funktionswerte größer bzw. kleiner als sind.
Es sei
eine stetige Funktion und
eine Unterteilung des Intervalls durch Zwischenpunkte (in Teilintervalle). Dazu gehört die Treppenfunktion, die auf den konstanten Wert annimmt. Wenn monoton wachsend ist, so ist dies eine untere Treppenfunktion, und das zugehörige Treppenintegral ist eine untere Schranke für das bestimmte Integral . Das Treppenintegral ist durch
gegeben. Wir fragen uns, für welche Intervallunterteilung mit Teilpunkten das Treppenintegral maximal oder minimal wird. Dazu kann man die differentiellen Methoden zur Bestimmung von Extrema für Funktionen in mehreren Variablen verwenden (nämlich den variablen Unterteilungspunkten ), vorausgesetzt, dass (hinreichend oft) differenzierbar (in einer Variablen) ist. In diesem Fall sind die partiellen Ableitungen von gleich
für (wobei und zu lesen ist). Als Definitionsbereich von kann man die offene Menge
oder aber wählen. Es ist im Allgemeinen schwierig, die kritischen Punkte dieser Abbildung zu bestimmen.
Wir wollen für die Funktion
und das Einheitsintervall bestimmen, für welche zwei Unterteilungspunkte das Treppenintegral der zugehörigen (dreistufigen) unteren Treppenfunktion maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion
beschrieben. Die partiellen Ableitungen dieser Funktion sind
und
Wir bestimmen die kritischen Punkte. Aus der ersten partiellen Ableitung ergibt sich die Bedingung
und daraus ergibt sich mit der zweiten partiellen Ableitung die Bedingung
also
bzw.
Somit ist
der einzige kritische Punkt. Wir bestimmen die Hesse-Matrix in diesem Punkt, sie ist
und in gleich
also negativ definit nach Korollar 44.13. Daher liegt in ein Maximum nach Satz 52.2 vor.
Wir wollen für die Funktion
und das Einheitsintervall bestimmen, für welche Unterteilungspunkte das Treppenintegral der zugehörigen (-stufigen) unteren Treppenfunktion maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion
beschrieben. Die partiellen Ableitungen dieser Funktion sind
für und
Wir bestimmen die kritischen Punkte, indem wir die partiellen Ableitungen gleich setzen. Die ersten Gleichungen ergeben sukzessive die Bedingungen
für alle . Dies zeigt man durch Induktion, der Induktionsanfang () ist trivial, folgt direkt aus der ersten Gleichung und der Induktionsschritt ergibt sich aus
Aus der letzen Gleichung folgt schließlich
und somit . Der einzige kritische Punkt liegt also in der äquidistanten Unterteilung vor. Die Hesse-Matrix ist (unabhängig vom Punkt) gleich
Diese Matrix ist negativ definit nach Korollar 44.13. Daher liegt in der äquidistanten Unterteilung nach Satz 52.2 das Maximum vor.
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