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Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 6/kontrolle

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Aufgaben

Zeige, dass die Abbildung

eine Überlagerung ist.



Es seien , , und , , Potenzüberlagerungen im Sinne von Beispiel 6.2. Charakterisiere, wann es eine stetige Abbildung

gibt, die mit den Potenzabbildungen kommutiert. Ist in diesem Fall ebenfalls eine Überlagerung?



Es sei ein Polynom vom Grad und sei

die zugehörige Abbildung. Zeige, dass keine Überlagerung ist.



Es sei und sei

die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort derart, dass eine Überlagerung ist.



Es sei , , die Potenzüberlagerung im Sinne von Beispiel 6.2 und , , die Exponentialüberlagerung im Sinne von Beispiel 6.3. Zeige, dass es eine stetige Abbildung derart gibt, dass das Diagramm

kommutiert. Ist eine Überlagerung?



Es sei eine Überlagerung zwischen den topologischen Räumen und und sei eine Teilmenge. Zeige, dass

ebenfalls eine Überlagerung ist.



Aufgabe * Aufgabe 6.7 ändern

Es sei eine Überlagerung von topologischen Räumen und mit hausdorffsch. Zeige, dass dann auch hausdorffsch ist.



Es sei eine surjektive Überlagerung von topologischen Räumen und mit hausdorffsch. Zeige, dass dann auch hausdorffsch ist.



Es sei eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen und und es sei eine Teilmenge, die sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Zeige, dass genau dann eine Überlagerung ist, wenn die beiden Einschränkungen von auf und auf Überlagerungen sind.



Es sei eine Überlagerung von topologischen Räumen und und sei eine Teilmenge, die sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Zeige, dass dann auch

eine Überlagerung ist.



Aufgabe Aufgabe 6.11 ändern

Zeige, dass ein lokaler Homöomorphismus eine offene Abbildung ist.



Es sei eine offene Teilmenge eines topologischen Raumes . Zeige, dass die Inklusion genau dann eine Überlagerung ist, wenn abgeschlossen ist.



Zeige, dass die punktierte komplexe Ebene und die punktierte offene Kreisscheibe nicht biholomorph zueinander sind.



Zeige, dass es bei einer Überlagerung zu jedem Punkt eine offene Umgebung und einen stetigen Schnitt zu gibt.



Aufgabe Aufgabe 6.15 ändern

Es sei ein lokaler Homöomorphismus zwischen den topologischen Räumen und , wobei ein Hausdorffraum sei. Zeige, dass es dann zu einem stetigen Weg höchstens eine stetige Liftung

gibt.



Aufgabe Aufgabe 6.16 ändern

Es sei und jeweils eine reelle Gerade, und diese werden entlang der punktierten Geraden und miteinander verklebt. Ist der entstehende Raum Hausdorffsch?



Es sei der in Aufgabe 6.16 konstruierte topologische Raum und sei die natürliche Abbildung. Zeige, dass diese Abbildung ein lokaler Homöomorphismus ist und dass die Liftung von stetigen Wegen aber nicht eindeutig ist.



Es sei die Vereinigung der halboffenen Verbindungsstrecken zu zwischen dem Punkt und dem Punkt . Es sei versehen mit der induzierten Topologie und sei die Projektion auf die erste Komponente.

  1. Zeige, dass ein lokaler Homöomorphismus ist.
  2. Es sei

    der identische Weg. Zeige, dass die Einschränkung für jedes eine stetige Liftung besitzt, aber nicht selbst.



Es sei die Vereinigung der Verbindungsstrecken zu zwischen dem Punkt und dem Punkt . Es sei versehen mit der induzierten Topologie und sei die Projektion auf die erste Komponente. Es sei

der identische Weg. Zeige, dass die Einschränkung für jedes eine stetige Liftung besitzt, aber nicht selbst.



Aufgabe Aufgabe 6.20 ändern

Es sei ein Hausdorffraum und sei

eine stetige Abbildung. Zeige, dass die Menge der Fixpunkte von abgeschlossen ist.



Es sei der in Aufgabe 6.16 konstruierte topologische Raum. Beschreibe einen Homöomorphismus , dessen Fixpunktmenge nicht abgeschlossen ist.



Es sei eine Überlagerung zwischen den topologischen Räumen und . Es sei eine Decktransformation. Zeige, dass zu einer Teilmenge auch eine Decktransformation der Überlagerung ist.



Es sei ein zusammenhängender topologischer Raum und ein diskreter topologischer Raum. Bestimme die Decktransformationsgruppe zur trivialen Überlagerung .



Es sei eine Überlagerung zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten. Zeige, dass eine Decktransformation

holomorph ist.



Es sei eine holomorphe Überlagerung zwischen den komplexen Mannigfaltigkeiten und .

  1. Zeige, dass zu einer holomorphen Funktion die nach zurückgezogene Funktion

    die Eigenschaft besitzt, dass für jede Decktransformation die Gleichheit

    gilt.

  2. Die Überlagerung sei nun normal. Es sei

    eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft, dass für jede Decktransformation die Identität gilt. Zeige, dass es eine holomorphe Funktion mit gibt.



Es sei der in Aufgabe 6.16 konstruierte topologische Raum und sei die natürliche Abbildung. Zeige, dass diese Abbildung stetig, surjektiv, endlich und ein lokaler Homöomorphismus ist, aber keine Überlagerung. Welche Voraussetzung von Satz 6.19 ist verletzt?