Riemannsche Fläche/Polynom/Nullstellengebilde/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine riemannsche Fläche, seien holomorphe Funktionen auf und sei das durch diese Koeffizientenfunktionen definierte Polynom aus . Dann nennt man

das Nullstellengebilde zu .

Diese Definition ist so zu verstehen: Zu ist

es wird also in die holomorphen Koeffizientenfunktionen eingesetzt und wird in die Variable des Polynoms eingesetzt. Im Fall, dass oder eine offene Menge davon ist und dass die selbst Polynome in sind, ist ein Polynom in zwei Variablen über und es wird das Paar in die beiden Variablen eingesetzt.



Lemma  

Es sei eine riemannsche Fläche, seien holomorphe Funktionen auf und sei das Nullstellengebilde zu . Es sei die Projektion auf . Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Die Faser zu ist die Menge der Nullstellen des komplexen Polynoms .
  2. Die Projektion

    ist surjektiv.

  3. Zu jedem besteht aus höchstens Punkten.
  4. Die Menge der Punkte , für die aus weniger als Punkten besteht, ist eine diskrete Teilmenge von .

Beweis  

  1. (1) ist klar, da man den Einsetzungsprozess in zwei Schritte aufteilen kann.
  2. (2) folgt aus (1) und dem Fundamentalsatz der Algebra.
  3. (3) folgt aus (1) und Fakt.
  4. (4) folgt aus der Resultantentheorie, insbesondere Fakt angewendet auf und . Da die Koeffizientenfunktionen holomorph sind, ist die Resultante eine holomorphe Funktion auf . Außerhalb deren Nullstellenmenge hat keine mehrfache Nullstelle. Die Nullstellenmenge einer holomorphen Funktion ist diskret.



Definition  

Es sei eine riemannsche Fläche, seien holomorphe Funktionen auf und sei das Nullstellengebilde zu . Es sei die Projektion auf . Dann nennt man

das unverzweigte Nullstellengebilde zu .


Definition  

Es sei eine riemannsche Fläche, seien holomorphe Funktionen auf und sei das Nullstellengebilde zu . Es sei die Projektion auf . Dann nennt man

das glatte Nullstellengebilde zu . Hierbei bezeichnet einen lokalen Parameter in einer Umgebung von .



Lemma  

Es sei eine riemannsche Fläche, seien holomorphe Funktionen auf und es sei das glatte Nullstellengebilde zum Polynom .

Dann ist eine riemannsche Fläche, die erste Projektion ist eine holomorphe Abbildung und die zweite Projektion ist eine holomorphe Funktion.

Beweis  

Wir betrachten die Abbildung

Wenn man lokal durch eine Karte mit dem offenen Kartenbild beschreibt, so liegt eine komplex-differenzierbare Abbildung

in den komplexen Variablen und vor, wobei einen lokalen Parameter von bezeichne. Das Nullstellengebilde ist die Faser von über dem Nullpunkt . Die beiden partiellen Ableitungen von sind

und

Ein Punkt ist genau dann ein regulärer Punkt für , wenn zumindest eine der beiden partiellen Ableitungen in diesem Punkt nicht verschwindet. Deshalb ist das glatte Nullstellengebilde nach Definition die Menge der regulären Punkte zu . Der Satz über implizite Abbildungen zeigt, dass die Faser lokal in jedem regulären Punkt homöomorph zu einer offenen Teilmenge von ist, und dass diese Homöomorphismen durch komplex-differenzierbare Abbildungen nach gegeben sind. Somit liegt auf die Struktur einer eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit vor, also eine riemannsche Fläche. Die Holomorphie der beiden Abbildungen ergibt sich ebenfalls aus dem Satz über implizite Abbildungen.




Lemma  

Es sei eine riemannsche Fläche, seien holomorphe Funktionen auf .

Dann ist das unverzweigte Nullstellengebilde eine offene Teilmenge des glatten Nullstellengebildes zum Polynom .

Beweis  

In den Punktes des unverzweigten Nullstellengebildes haben und (Ableitung nach ) keine gemeinsame Nullstellenmenge. D.h. hat in diesen Punkten keine Nullstelle und daher handelt es sich insbesondere um einen glatten Punkt.




Lemma  

Es sei eine riemannsche Fläche, seien holomorphe Funktionen auf und sei das unverzweigte Nullstellengebilde zum Polynom .

Dann ist die Abbildung

eine Überlagerung. Mit liegt eine endliche Überlagerung mit Blätterzahl

vor und ist eine riemannsche Fläche.

Beweis  



Beispiel  

Wir betrachten die holomorphe Funktion auf und und dazu das Polynom . Das Nullstellengebilde

steht ist überall glatt und steht direkt in einer Bijektion

die biholomorph wird, wenn im Sinne von Fakt als eine riemannsche Fläche aufgefasst wird. Die Umkehrabbildung ist die Projektion auf . Das unverzweigte Nullstellengebilde ist .



Beispiel  

Wir betrachten die holomorphe Funktion auf und dazu das Polynom

Das Nullstellengebilde

ist die Vereinigung von zwei komplexen Ebenen, die sich im singulären Punkt kreuzen, es liegt das komplexe Achsenkreuz vor. Das glatte Nullstellengebilde ist

die disjunkte Vereinigung von zwei punktierten komplexen Zahlgeraden und insbesondere nicht zusammenhängend. Dies ist auch das unverzweigte Nullstellengebilde.



Beispiel  

Cusp.svg

Wir betrachten die holomorphe Funktion auf und dazu das Polynom

Das Nullstellengebilde

nennt man die Neilsche Parabel. Die partiellen Ableitungen sind bzw. , somit ist der einzige singuläre Punkt und das glatte Nullstellengebilde ist . Zu gibt es oberhalb von die beiden Punkte und daher stimmt das glatte Nullstellengebilde mit dem unverzweigten Nullstellengebilde überein.


Wir werden später sehen, dass man das glatte Nullstellengebilde über die singulären Punkte des Nullstellengebildes zu einer größeren riemannschen Fläche mit einer surjektiven holomorphen Abbildung nach erweitern kann. Im Beispiel der Neilschen Parabel wird dies durch die Abbildung

geleistet, die bijektiv ist und auf dem glatten Ort biholomorph. Im Beispiel des Achsenkreuzes wird es durch die disjunkte Vereinigung von zwei komplexen Geraden geleistet, die auf die beiden Achsen abbilden und sich im Ursprung vereinigen.