Elliptische Kurve/Satz von Mordell-Weil/Schwach/Modulo 2/Textabschnitt

Zu einer (additiv geschriebenen) Gruppe ${}G$ bezeichnet ${}2G$ die Untergruppe derjenigen Elemente, die das Doppelte eines Elementes sind, die also eine Halbierung besitzen. Im Folgenden wird die Restklassengruppe ${}G/2G$ eine wichtige Rolle spielen. Bei der multiplikativen Gruppe eines Körpers ist dies die Restklassengruppe ${}K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$, also die Gruppe der Einheiten modulo der Quadrate.

Definition

Es sei

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${}E$ in Zerlegungsform über einem Körper ${}K$ mit ${}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$. Wir definieren die Abbildung (und entsprechend ${}\varphi _{2},\varphi _{3}$)

$\varphi _{1}\colon E(K)\longrightarrow K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$

durch

${}\varphi _{1}(P)={\begin{cases}1,{\text{ wenn }}P={\mathfrak {O}},\\(\lambda _{1}-\lambda _{2})(\lambda _{1}-\lambda _{3}),{\text{ wenn }}P=(\lambda _{1},0)\,,\\x-\lambda _{1}{\text{ sonst }}(P=(x,y))\,.\end{cases}}\,$

Lemma

Es sei

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${}E$ in Zerlegungsform über einem Körper ${}K$ mit ${}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$.

Dann ist die Abbildung

$\varphi _{1}\colon E(K)\longrightarrow K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$

ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Seien ${}(x_{1},y_{1})$ und ${}(x_{2},y_{2})$ Punkte auf ${}E(K)$ (für den unendlich fernen Punkt sind kleine Sonderüberlegungen nötig). Es sei ${}y=\alpha x+\beta$ eine Gleichung für die Verbindungsgerade zwischen den beiden Punkten bzw. der Tangente. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Kurve sind durch die Bedingung

${}(\alpha x+\beta )^{2}=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})\,$

gegeben. Dies wird durch ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$ und von der ${}x$-Koordinate des dritten Schnittpunktes und des Summenpunktes ${}(x_{3},y_{3})$ erfüllt. Es ist also

${}(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})-(\alpha x+\beta )^{2}=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\,.$

Wenn man darin ${}x=\lambda _{1}$ setzt, so erhält man

${}(\alpha \lambda _{1}+\beta )^{2}=(x_{1}-\lambda _{1})(x_{2}-\lambda _{1})(x_{3}-\lambda _{1})\,,$

also ist

${}x_{3}-\lambda _{1}={\frac {(\alpha \lambda _{1}+\beta )^{2}}{(x_{1}-\lambda _{1})(x_{2}-\lambda _{1})}}=(x_{1}-\lambda _{1})(x_{2}-\lambda _{1})\,$

modulo der Quadrate.

$\Box$

Satz

Es sei

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${}E$ in Zerlegungsform über einem Körper ${}K$ mit ${}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$.

Dann ist ein Punkt ${}(x,y)\in E(K)$ genau dann ein Verdoppelungspunkt auf ${}E(K)$, also von der Form

${}(x,y)=2(z,w)=(z,w)+(z,w)\,$

mit ${}(z,w)\in E(K)$, wenn die drei Elemente ${}x-\lambda _{1},x-\lambda _{2},x-\lambda _{3}$ allesamt Quadrate in ${}K$ sind.

Beweis

Es sei ${}(x,y)$ ein fixierter Punkt der Kurve. Mit der verschobenen Variablen

${}X'=X-x\,$

können wir die Gleichung als

${}Y^{2}=(X'+x-\lambda _{1})(X'+x-\lambda _{2})(X'+x-\lambda _{3})\,$

schreiben mit den neuen Nullstellen ${}\lambda _{i}-x$ der rechten Seite. Die beiden als äquivalent nachzuweisenden Aussagen des Satzes ändern sich bei dieser Transformation nicht. Wir können also annehmen, dass ${}x=0$ ist. Es ist somit zu zeigen, dass ein Punkt der Form ${}(0,y)$ genau dann eine Halbierung auf der elliptischen Kurve besitzt, wenn ${}-\lambda _{1},-\lambda _{2},-\lambda _{3}$ Quadrate in ${}K$ sind.

Unter den Gruppenhomomorphismen ${}\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}$ (siehe Fakt) wird der Punkt ${}(0,y)$ auf ${}(-\lambda _{1},-\lambda _{2},-\lambda _{3})$ abgebildet. Wenn der Punkt eine Halbierung besitzt, so gilt dies auch für den Bildpunkt, und das heißt, dass diese drei Zahlen eine Quadratwurzel besitzen.

Es seien nun umgekehrt ${}-\lambda _{1},-\lambda _{2},-\lambda _{3}$ Quadrate in ${}K$ und zwar sei

${}-\lambda _{i}=\mu _{i}^{2}\,.$

Es ist dann ${}y=\pm \mu _{1}\mu _{2}\mu _{2}$, wir betrachten den positiven Fall, im negativen Fall kann man ein ${}\mu _{i}$ durch ${}-\mu _{i}$ ersetzen. Wir behaupten, dass der Punkt ${}(w,z)$ mit

${}w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,$

und

${}z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,$

ein Halbierungspunkt von ${}(0,y)$ ist. Dass dieser Punkt zur Kurve gehört wird in Aufgabe gezeigt. Für die Gleichung ${}2(z,w)=(0,y)$ siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich, ${}K=Q(R)$ sein Quotientenkörper und sei

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${}E$ in Zerlegungsform über ${}K$ mit ${}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in R$. Es sei ${}p$ ein Primelement von ${}R$, das keines der Elemente ${}\lambda _{1}-\lambda _{2},\,\lambda _{1}-\lambda _{3},\,\lambda _{2}-\lambda _{3}$ teile. Es sei ${}P=(x,y)\in E(K)$ ein Punkt der Kurve. Dann ist die Ordnung von ${}x-\lambda _{j}$ in ${}p$ gerade.

Beweis

Wir schreiben ${}\operatorname {ord} \,(f)$ für die Ordnung eines Elementes ${}f\in K$, ${}f\neq 0$, in ${}p$. Dies ist die Ordnung von ${}f$ im diskreten Bewertungsring ${}R_{(p)}$ bzw. dessen Quotientenkörper (siehe Fakt und Aufgabe). Aufgrund der Kurvengleichung gilt die Ordnungsbeziehung

${}2\operatorname {ord} \,(y)=\operatorname {ord} \,(y^{2})=\operatorname {ord} \,((x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3}))=\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})\,.$

Es sei zuerst ${}\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})<0$. Dann ist

${}\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})=\operatorname {ord} \,(x)=\operatorname {ord} \,(x-\lambda )\,$

für überhaupt alle ${}\lambda \in R$. Somit ist

${}2\operatorname {ord} \,(y)=\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})=3\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})\,,$

also sind die ${}\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{j})$ gerade. Wir können also

${}\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1}),\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2}),\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})\geq 0\,$

annehmen. Aus ${}\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1}),\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2})\geq 1$ würde

${}\operatorname {ord} \,(\lambda _{2}-\lambda _{1})=\operatorname {ord} \,(-(x-\lambda _{2})+(x-\lambda _{1}))\geq 1\,$

folgen im Widerspruch dazu, dass ${}p$ kein Teiler der Differenzen der Nullstellen ist. Also ist ${}\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2}),\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})=0$. Dann ist aber

${}2\operatorname {ord} \,(y)=\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})=\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})\,,$

also hat ${}x-\lambda _{1}$ wieder gerade Ordnung.

$\Box$

Mit der Hilfe von Fakt können wir im Zahlkörperfall das Bild von ${}\varphi _{j}$ in ${}K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$ besser eingrenzen. Hierfür sind zwei Hauptergebnisse zu der algebraischen Zahlentheorie entscheidend, nämlich die Endlichkeit der Klassengruppe und der Dirichletsche Einheitensatz.

Lemma

Es sei

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${}E$ in Zerlegungsform über einem Zahlkörper ${}K$ mit ${}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$.

Dann gibt es einen faktoriellen Bereich ${}R\subseteq K$ mit den folgenden Eigenschaften.

1. Es ist ${}Q(R)=K$.
2. Es ist ${}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in R$.
3. Die Einheitengruppe ${}R^{\times }$ ist endlich erzeugt.
4. Zu jedem Punkt ${}P=(x,y)\in E(K)$ besitzt ${}\varphi _{i}(P)\in K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$ eine Darstellung ${}\varphi _{i}(P)=u$ mit ${}u\in R^{\times }$.

Beweis

Wir starten mit dem Ganzheitsring ${}A$ von ${}K$, sodass (1) direkt erfüllt ist. Nach Fakt ist die Klassengruppe von ${}A$ endlich, deshalb gibt es eine Nenneraufnahme an einem Element ${}f$ derart, dass ${}A_{f}$ faktoriell ist. Durch eine weitere Nenneraufnahme am Hauptnenner der ${}\lambda _{i}$ erreichen wir (2) und durch eine weitere Nenneraufnahme an einem Element erreichen wir, dass die Primteiler von ${}\lambda _{i}-\lambda _{j}$ für ${}i\neq j$ Einheiten im Ring werden. Diese Nenneraufnahme nennen wir ${}R$. Es ist

${}\varphi _{j}(P)=[u\cdot p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{n}^{\alpha _{n}}]\,$

in ${}K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$ mit ${}u\in R^{\times }$ und gewissen Primelementen aus ${}R$ und Exponenten aus ${}\mathbb {Z}$. Nach Fakt sind diese Exponenten aber gerade, also ist (4) erfüllt. Die Eigenschaft (3) folgt aus Fakt in der Version Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${}E$ in Zerlegungsform über einem Zahlkörper ${}K$ mit ${}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$. Dann besitzt die Abbildung

$\varphi =(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3})\colon E(K)\longrightarrow K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}\times K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}\times K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$

mit ${}\varphi _{i}$ wie in Definition folgende Eigenschaften.

1. ${}\varphi$ ist ein Gruppenhomomorphismus.
2. Der Kern von ${}\varphi$ ist ${}2E(K)$.
3. Das Bild von ${}\varphi$ ist endlich.

Beweis

1. Dies folgt aus Fakt.
2. Es sei ${}P\in E(K)$. Bei ${}P={\mathfrak {O}}$ sind beide Seiten der Aussage erfüllt. Es sei also ${}P=(x,y)$. Nach Fakt ist ${}P$ genau dann ein Verdoppelungspunkt auf der Kurve, wenn alle ${}x-\lambda _{i}$ Quadrate in ${}K$ sind. Dies ist bei ${}x\neq \lambda _{i}$ direkt die Behauptung. Bei ${}x=\lambda _{1}$ ist

   ${}\varphi ((\lambda _{1},0))=\left((\lambda _{1}-\lambda _{2})(\lambda _{1}-\lambda _{3}),\,\lambda _{1}-\lambda _{2},\,\lambda _{1}-\lambda _{3}\right)\,$

   und sowohl die Kernbedingung als auch die Halbierungsbedingung aus Fakt sind genau dann erfüllt, wenn ${}\lambda _{1}-\lambda _{2}$ und ${}\lambda _{1}-\lambda _{3}$ Quadrate sind.

3. Nach Fakt wird jedes Element des Bildes von einer endlich erzeugten Gruppe repräsentiert. Da ${}K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$ eine Torsionsgruppe ist, ist das Bild endlich.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ und es sei ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung. Es sei ${}E(L)/2E(L)$ endlich.

Dann ist auch ${}E(K)/2E(K)$ endlich.

Beweis

Wir zeigen, dass der Kern ${}H$ der natürlichen Abbildung

$E(K)/2E(K)\longrightarrow E(L)/2E(L)$

endlich ist, woraus die Behauptung folgt. Es sei ${}\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)}$ die Untergruppe der Torsionselemente zur Ordnung ${}2$, die nach Fakt endlich ist und es sei ${}G$ die Galoisgruppe von ${}L$ über ${}K$. Es sei ${}P\in H$, repräsentiert durch ${}P\in E(K)$. Nach Voraussetzung ist ${}P$ in ${}E(L)$ das Doppelte eines Punktes ${}Q\in E(L)$. Wir wählen zu jedem ${}P$ einen solchen Punkt ${}Q$ und definieren damit die Abbildung

$\theta _{P}\colon G\longrightarrow \operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi ^{*}(Q)-Q,$

wobei wir die zu ${}\varphi$ gehörigen Automorphismen ${}\varphi ^{*}$ auf der Kurve betrachten, siehe Aufgabe. Wir behaupten, dass die Zuordnung

$H\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)}\right)},\,P\longmapsto \theta _{p},$

injektiv ist. Es seien also ${}P,P'\in H$, repräsentiert von ${}P,P'\in E(K)$ und mit Halbierungspunkten ${}Q,Q'\in E(L)$. Die Gleichheit ${}\theta _{P}=\theta _{P'}$ bedeutet

${}\varphi ^{*}(Q)-Q=\varphi ^{*}(Q')-Q'\,$

für alle ${}\varphi \in G$. Dies bedeutet nach Aufgabe

${}\varphi ^{*}(Q'-Q)=Q'-Q\,$

für alle ${}\varphi \in G$. D.h., dass ${}Q'-Q$ invariant unter der Galoisgruppe ist und daher gemäß Aufgabe zu ${}E(K)$ gehört. Also ist

${}P'-P=2Q'-2Q=2(Q'-Q)\,$

und somit ist ${}[P']=[P]$ in ${}E(K)/2E(K)$. Wegen der Endlichkeit der Abbildungsmenge zwischen den endlichen Mengen ${}G$ und ${}\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)}$ ist auch ${}E(K)/2E(K)$ endlich.

$\Box$

Louis Mordell (1888-1972)

Der folgende Satz heißt der schwache Satz von Mordell-Weil.

Satz

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve ${}E$ über einem Zahlkörper ${}K$.

Dann ist ${}E(K)/2E(K)$ endlich.

Beweis

Es sei

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,$

eine kurze Weierstraßgleichung für ${}E$ über ${}K$. Das Polynom ${}x^{3}+ax+b$ besitzt in einer endlichen Galoiserweiterung (siehe Fakt und Fakt) ${}K\subseteq L$ drei Nullstellen. Nach Fakt können wir die Endlichkeit über ${}L$ nachweisen, d.h. wir können davon ausgehen, dass die Gleichung in der Form

${}y^{2}=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})\,$

vorliegt. Den neuen Körper nennen wir wieder ${}K$. Nach Fakt ist

${}E(K)/2E(K)\cong \operatorname {bild} \varphi \,$

endlich.

$\Box$