Kurs:Algebraische Kurven/9/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 1 8 2 2 3 8 10 3 2 2 5 4 4 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der rationale Funktionenkörper zu einem Körper .
  2. Eine Algebra von endlichem Typ.
  3. Ein idempotentes Element in einem kommutativen Ring .
  4. Ein Morphismus zwischen quasiaffinen Varietäten.
  5. Die Multiplizität zu einem Punkt .
  6. Der projektive Abschluss zu einer affinen Varietät .


Lösung

  1. Man nennt den Quotientenkörper zum Polynomring den rationalen Funktionenkörper über .
  2. Eine -Algebra über einem kommutativen Ring heißt von endlichem Typ, wenn sie die Form

    besitzt.

  3. Das Element heißt idempotent, wenn gilt.
  4. Eine stetige Abbildung

    heißt Morphismus, wenn für jede offene Teilmenge und jede algebraische Funktion gilt, dass die zusammengesetzte Funktion

    zu gehört.

  5. Wenn der Nullpunkt ist, was man durch eine lineare Variablentransformation erreichen kann, so sei

    die homogene Zerlegung von mit und , . Dann heißt die Multiplizität der Kurve im Punkt .

  6. Unter dem projektiven Abschluss von versteht man den Zariski-Abschluss von in .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Durchschnitt von endlichen Kurven.
  2. Der Satz über das Verhalten von maximalen Idealen unter Ringhomomorphismen.
  3. Der Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings .


Lösung

  1. Sei ein Körper und seien zwei Polynome ohne gemeinsamen nichtkonstanten Faktor. Dann gibt es nur endlich viele Punkte mit .
  2. Sei ein Körper und seien und zwei -Algebren von endlichem Typ. Es sei ein -Algebrahomomorphismus. Dann ist für jedes [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|maximale Ideal]] aus auch das Urbild ein maximales Ideal.
  3. Sei ein Körper und der Potenzreihenring in einer Variablen. Dann ist ein diskreter Bewertungsring.


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne

in .


Lösung

Es ist


Aufgabe (8 (1+1+1+2+3) Punkte)

Es sei

die Standardparabel und der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius .

  1. Skizziere und .
  2. Erstelle eine Gleichung für .
  3. Bestimme die Schnittpunkte
  4. Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von nach .
  5. Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es geht um die gemeinsame Lösungsmenge der beiden Gleichungen

    und

    Wir ersetzen in der zweiten Gleichung durch und erhalten die Bedingung

    Also ist oder . Dies führt zu den drei Schnittpunkten .

  3. Die Kreisgleichung

    ist äquivalent zu

    bzw. zu

    Somit ist

    Der untere Kreisbogen ist somit der Graph der Funktion

  4. Wir behaupten, dass die Parabel auf oberhalb des unteren Kreisbogens verläuft. Es ist also

    zu zeigen. Dies ist äquivalent zu

    Da beide Terme im angegebenen Intervall positiv sind, ist dies äquivalent zu

    Dies ist äquivalent zu

    bzw. zu

    was wegen erfüllt ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Punkte der Neilschen Parabel

über dem Körper .


Lösung

Wir arbeiten mit der bijektiven Abbildung

Die Bildpunkt unter dieser Abbildung sind


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

  1. Homogenisiere das Polynom

    bezüglich der neuen Variablen .

  2. Dehomogenisiere das Polynom

    bezüglich der Variablen .


Lösung

  1. Die Homogenisierung von

    ist

  2. Die Dehomogenisierung von

    bezüglich der Variablen ist


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es eine rationale Parametrisierung der Hyperbel gibt, aber keine polynomiale Parametrisierung dafür. Erläutere dabei die verwendeten Begriffe.


Lösung

Eine rationale Parametrisierung einer ebenen Kurve ist eine nichtkonstante, durch rationale Polynome auf einer offenen Teilmenge der affinen Geraden gegebene Abbildung . Im Fall der Hyperbel wird eine rationale Parametrisierung am einfachsten gegeben durch

die für definiert ist.

Eine polynomiale Parametrisierung muss auf der ganzen affinen Gerade definiert sein, sie ist also durch zwei nichtkonstante Polynome gegeben. Für eine solche Parametrisierung der Hyperbel muss es also Polynome in einer Variablen mit geben. Die einzigen Einheiten im Polynomring sind aber die Konstanten .


Aufgabe (8 (1+5+2) Punkte)

Wir betrachten das mechanische System, das durch die -Achse und den Kreis mit Radius und Mittelpunkt gegeben ist. Der Koppelungsabstand sei .

  1. Erstelle die Gleichungen, die dieses System beschreiben.
  2. Bestimme, für welche das System in jedem Punkt regulär ist.
  3. Bestimme die kritischen Punkte in Abhängigkeit von . Wie kann man diese Punkte als Eigenschaft des mechanischen Systems erklären?


Lösung

  1. Es sei der Kreispunkt und der Punkt auf der -Achse. Die Gleichungen sind somit

    und

  2. Die Jacobi-Matrix zu

    und

    ist

    Wir müssen (in Abhängigkeit von ) untersuchen, für welche Punkte die durch diese Matrix gegebene lineare Abbildung

    surjektiv ist, also den Rang besitzt. Der Rang ist nur dann nicht , wenn alle Spalten linear abhängig sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn alle -Minoren gleich sind. Dies ist genau in der Nullstellenmenge der drei Polynome (der gemeinsame Faktor ist schon rausgezogen)

    der Fall. Wenn

    ist, so muss und sein. Dies ist aber kein Punkt des Systems. Also muss

    sein. Wenn ist, so muss sein, doch dies erfüllt nicht die erste Gleichung des Systems. Also ist . Dann ergeben die Gleichungen des Systems und . Die erste Gleichung erzwingt

    und somit muss

    sein. Das bedeutet, dass genau bei das System in jedem Punkt regulär ist.

  3. Bei

    ist aufgrund der Überlegungen im vorhergehenden Abschnitt der einzige kritische Punkt, und dies ist überhaupt der einzige Punkt des Systems, was die Singularität erklärt.

    Bei

    ist aufgrund der Überlegungen im vorhergehenden Abschnitt der einzige kritische Punkt des Systems. Es liegt ein Kreuzungspunkt vor, da sich in diesem Punkt die Stange in vier Richtungen bewegen kann, nämlich beide Koordinaten ins Positive, beide ins Negative, oder gemischt.


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Hilbertschen Basissatz.


Lösung

Sei ein Ideal im Polynomring . Zu definieren wir ein Ideal in durch

Das Menge besteht also aus allen Leitkoeffizienten von Polynomen vom Grad aus . Es handelt sich dabei offensichtlich um Ideale in (wobei wir hier als Leitkoeffizient zulassen). Ferner ist , da man ja ein Polynom vom Grad mit Leitkoeffizient mit der Variablen multiplizieren kann, um ein Polynom vom Grad zu erhalten, das wieder als Leitkoeffizienten besitzt. Da noethersch ist, muss diese aufsteigende Idealkette stationär werden; sei so, dass ist.

Zu jedem sei nun ein endliches Erzeugendensystem, und es seien

zugehörige Polynome aus (die es nach Definition der geben muss).

Wir behaupten, dass von allen erzeugt wird. Dazu beweisen wir für jedes durch Induktion über den Grad von , dass es als Linearkombination mit diesen darstellbar ist. Für konstant, also , ist dies klar. Sei nun der Grad von gleich und die Aussage sei für kleineren Grad bewiesen. Wir schreiben

Es ist und damit kann man als -Linearkombination der , schreiben. Bei kann man sogar als -Linearkombination der , schreiben, sagen wir . Dann ist und hat einen kleineren Grad, so dass man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei ist

Damit gehört

ebenfalls zu und hat einen kleineren Grad, so dass man wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe zu jedem einen kommutativen Ring und ein Element , , an, für das und gilt.


Lösung

Wir betrachten den Restklassenring

und darin die Restklasse zu , die wir mit bezeichnen. Das Element ist nicht , da im Polynomring aus Gradgründen nicht ein Vielfaches von mit sein kann. In diesem Ring gilt und daher ist überhaupt für jedes Element , also insbesondere für . Ferner ist , da in der Restklassenbildung das gesamte Ideale zu gemacht wird.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring reduziert ist.


Lösung

Sei ein Radikal und nilpotent. Dann ist in . Zurückübersetzt nach bedeutet dies . Da ein Radikal vorliegt, ist und damit im Restklassenring. Also ist dieser reduziert.

Sei umgekehrt ein Ideal

mit reduziertem Restklassenring gegeben. Sei . Dann ist die Restklasse von gleich . Wegen der Reduziertheit ist bereits . Dies bedeutet , also ist das Ideal ein Radikal.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass man den Koordinatenring zum Standardkegel über als einen Monoidring realisieren kann.


Lösung Standardkegel/C/Monoidring/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.


Lösung

Zunächst ist ein noetherscher lokaler Ring, der aufgrund von Lemma 22.12 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) ein Integritätsbereich ist. Daher sind die einzigen Primideale das Nullideal und das maximale Ideal . Wir werden zeigen, dass das maximale Ideal ein Hauptideal ist.

Wir können annehmen, dass der Nullpunkt ist, und schreiben als

mit . Da glatt ist, liegt eine solche Gestalt vor. Durch eine Variablentransformation können wir erreichen, dass ist. Wir können in die isoliert stehenden Potenzen von (die Monome, wo kein vorkommt) zusammenfassen und bei den anderen ausklammern. Dann lässt sich die Gleichung als

schreiben, wobei ist. Es ist eine Einheit in und erst recht im lokalen Ring der Kurve im Nullpunkt. Daher gilt in die Beziehung

Also wird das maximale Ideal im lokalen Ring von allein erzeugt, so dass nach Satz 21.8 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) ein diskreter Bewertungring vorliegt.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

eine nicht-konstante Potenzreihenlösung im Nullpunkt bis zur fünften Ordnung.


Lösung

Wir setzen an (und ) und berechnen sukzessive die Koeffizienten durch Vergleich der Koeffizienten für . Da die Lösung durch den Nullpunkt gehen soll, muss sein.

Die Anfangsglieder der Potenzreihe sind also


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass unter der Kegelabbildung

die Beziehung

für jedes homogene Ideal gilt. Folgere daraus, dass stetig in der Zariski-Topologie ist.


Lösung

Die Kegelabbildung schickt einen Punkt mit den Koordinaten

auf den projektiven Punkt mit den homogenen Koordinaten

Da für ein homogenes Ideal die Beziehung

im projektiven Raum und entsprechend

im affinen Raum gilt, genügt es, die Aussage für ein homogenes Polynom zu zeigen. Diese ergibt sich aus

Dies bedeutet, dass unter der Kegelabbildung Urbilder abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sind, was die Stetigkeit besagt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper. Bestimme den globalen Schnittring

Was folgt daraus für einen Morphismus ?


Lösung Die projektive Gerade/Globaler Schnittring/Aufgabe/Lösung