Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 28/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Kompakter Raum/Abgeschlossene Teilmenge/Kompakt/Aufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine projektive Varietät über ${}{\mathbb {C} }$ in der natürlichen Topologie kompakt ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}Y$ eine projektive Varietät über ${}{\mathbb {C} }$, die zugleich eine affine Varietät sei. Zeige, dass ${}Y$ eine endliche Punktmenge ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass eine ebene projektive Kurve mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die ebene projektive Kurve

${}V_{+}{\left(X^{4}+Y^{3}Z+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

glatt ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die ebene projektive Kurve

${}V_{+}{\left(X^{4}+YZ^{3}+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

glatt ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine ebene projektive Kurve

${}V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ genau dann glatt ist, wenn die partiellen Ableitungen

$\left({\frac {\partial F}{\partial X}},\,{\frac {\partial F}{\partial Y}},\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\right)$

in keinem Punkt der Kurve simultan gleich ${}0$ sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Bestimme den globalen Schnittring

$\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}\right)}.$

Was folgt daraus für einen Morphismus ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man definiere und charakterisiere, wann eine irreduzible quasiprojektive Varietät normal ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Definiere zu jedem ${}n\in \mathbb {Z}$ das Potenzieren ${}x\mapsto x^{n}$ als Morphismus der projektiven Gerade auf sich selbst. Wie sehen die Fasern unter diesem Morphismus aus?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}d$ und sei

${}D_{+}(f)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,$

die zugehörige offene Teilmenge des projektiven Raumes. Zeige, dass zu jedem homogenen Polynom ${}h\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ vom Grad ${}e$ die rationale Funktion ${}{\frac {h}{f^{n}}}$ unter der Bedingung ${}e=nd$ eine algebraische Funktion

${\frac {h}{f^{n}}}\colon D_{+}(f)\longrightarrow K$

definiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige durch ein Beispiel, dass die Kegelabbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

nicht abgeschlossen sein muss.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Kegelabbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

ein Morphismus von quasiprojektiven Varietäten ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}X$ und ${}Y$ quasiprojektive Varietäten und sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung. Es sei ${}Y=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann ein Morphismus ist, wenn die Einschränkungen ${}\varphi _{i}:\varphi ^{-1}(U_{i})\rightarrow U_{i}$ für jedes ${}i$ Morphismen sind

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ Punkte im projektiven Raum über einem Körper ${}K$. Zeige, dass es einen Automorphismus ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ mit ${}\varphi (P)=Q$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der zugehörige projektive Raum. Es sei ${}\varphi \colon K^{n+1}\rightarrow K^{n+1}$ eine bijektive lineare Abbildung.

1. Zeige, dass ${}\varphi$ einen Automorphismus

   $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \varphi \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$

   induziert.

2. Bestimme das Urbild von ${}D_{+}(X_{i})$ in der in (1) beschriebenen Situation. Wie sieht der Morphismus für diese affinen Mengen aus?
3. Zeige, dass ${}\varphi _{1}$ und ${}\varphi _{2}$ genau dann den gleichen Automorphismus auf dem projektiven Raum induzieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ${}\neq 0$ ineinander überführbar sind.
4. Induziert jede lineare Abbildung ${}\varphi \colon K^{n+1}\rightarrow K^{n+1}$ einen Morphismus ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$?

Unter einem solchen Automorphismus wird jede projektive Varietät ${}V\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ isomorph auf sein Bild abgebildet, die homogenen Gleichungen transformieren sich entsprechend der affinen Situation. Dadurch kann man häufig die beschreibenden Gleichungen einer Situation vereinfachen, man spicht von einem projektiv-linearen Koordinatenwechsel. Die vorstehende Aufgabe gibt Anlass zur folgenden Definition.

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Die Restklassengruppe

$\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}/{\left(K^{\times }\cdot \operatorname {Id} \cap \operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}\right)}$

heißt projektive spezielle lineare Gruppe. Sie wird mit

$\operatorname {PSL} _{n}\!{\left(K\right)}$

bezeichnet.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(s,t)\longmapsto (t,s).$

Aufgabe Aufgabe 28.19 ändern

Bestimme den projektiven Abschluss der Hyperbel

${}V(XY-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den projektiven Abschluss der Parabel

${}V{\left(Y-X^{2}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}C\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ eine glatte Quadrik. Zeige, dass auch der projektive Abschluss

${}{\tilde {C}}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

glatt ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom in einer Variablen über einem Körper ${}K$ und sei ${}V(Y-F)\subseteq {\mathbb {A} }_{}^{2}$ der zugehörige Graph, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss ${}{\tilde {C}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ des Graphen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}F,G\in K[X],\,G\neq 0$, Polynome in einer Variablen über einem Körper ${}K$ und sei ${}F/G$ die zugehörige rationale Funktion. Es sei ${}V\subseteq {\mathbb {A} }_{}^{2}$ der Graph zu dieser rationalen Funktion, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss ${}{\tilde {C}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ des Graphen. Wo finden sich „Asymptoten“ im projektiven Abschluss wieder?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}C\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ eine ebene affine Kurve. Zeige, dass der projektive Abschluss

${}{\tilde {C}}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

zusätzliche Punkte enthält.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ist die ebene projektive Kurve ${}V_{+}{\left(X^{4}+Z^{3}Y+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ isomorph zum projektiven Abschluss einer monomialen Kurve?

Aufgabe Aufgabe 28.26 ändern

Es sei ${}(H)\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Hauptideal. Zeige, dass die Homogenisierung des Ideals ${}(H)$ gleich dem von der Homogenisierung von ${}H$ erzeugten Hauptideal ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den projektiven Abschluss der durch

$V{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-2X{\left(X^{2}+Y^{2}\right)}-Y^{2}\right)}$

gegebenen Kardioide über den komplexen Zahlen und insbesondere die „Punkte im Unendlichen“.

Aufgabe * Aufgabe 28.28 ändern

Betrachte die affine Nullstellenmenge

${}V:=V{\left(X^{4}+Y^{2}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}\,$

über ${}\mathbb {R}$.

1. Bestimme die Punkte von ${}V$ und den projektiven Abschluss von ${}V$.
2. Zeige, dass der projektive Abschluss von ${}V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von ${}X^{4}+Y^{2}$ übereinstimmt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Betrachte die affine Nullstellenmenge

${}V:=V{\left(X^{2}+Y^{2}+1\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

über dem Körper ${}K=\mathbb {Z} /(2)$ mit zwei Elementen.

1. Bestimme die Punkte von ${}V$.
2. Bestimme den projektiven Abschluss von ${}V$.
3. Zeige, dass der projektive Abschluss von ${}V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von ${}X^{2}+Y^{2}+1$ übereinstimmt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper und ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affine Varietät. Zeige, dass der projektive Abschluss von ${}V$ mit ${}V$ übereinstimmt.

Die Lemniskate von Bernoulli

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die durch ${}V{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-X^{2}+Y^{2}\right)}$ gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$. Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 28.32 ändern

Es seien ${}m+1$ homogene Polynome ${}F_{0},\ldots ,F_{m}$ in ${}n+1$ Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad ${}d$ besitzen. Zeige, dass es eine offene Menge ${}U\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ gibt, auf der die Polynome einen Morphismus

${\mathbb {P} }_{K}^{n}\supseteq U\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{m}$

definieren.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für die Kegelabbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

den Zariski-Abschluss im ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ des Bildes einer abgeschlossenen Menge ${}V({\mathfrak {a}})\cap {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ eine irreduzible quasiprojekive Varietät mit Funktionenkörper ${}L=K(X)$. Es seien ${}U$ und ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Teilmengen mit ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$. Zeige, dass

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})=\bigcap _{i\in I}\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}})\,$

ist, wobei der Durchschnitt in ${}L$ genommen wird.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum über ${}K$. Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen algebraischen Funktionen sind, d.h. es gilt

${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{n},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=K\,.$

Bemerkung: Diese Aussage gilt für jede zusammenhängende projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.

Die Tschirnhausen Kubik

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für die durch ${}V{\left(X^{3}+3X^{2}-Y^{2}\right)}$ gegebene Tschirnhausen Kubik die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für das durch ${}V{\left(X^{3}+Y^{3}-3XY\right)}$ definierte Kartesische Blatt die unendlich fernen Punkte in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.