Kurs:Analysis/Teil I/40/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	1	1	3	2	5	3	1	2	3	4	6	9	4	2	4	3	5	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine surjektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

2. Die Fakultät einer natürlichen Zahl ${}n$.
3. Der Betrag eines Elementes ${}x$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
4. Eine rationale Funktion über einem Körper ${}K$.
5. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

6. Eine ortsunabhängige gewöhnliche Differentialgleichung

   $y'=f(t,y).$

Lösung

1. Die Abbildung ${}f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit ${}f(x)=y$ gibt.
2. Unter der Fakultät von ${}n$ versteht man die Zahl

   ${}n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,.$

3. Der Betrag von ${}x$ ist folgendermaßen definiert.

   $\vert {x}\vert ={\begin{cases}x{\text{ falls }}x\geq 0\\-x{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}$

4. Zu zwei Polynomen ${}P,Q\in K[X]$, ${}Q\neq 0$, heißt die Funktion

   $D\longrightarrow K,\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$

   wobei ${}D\subseteq K$ das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.

5. Die Ableitungsfunktion ist die Abbildung

   $f'\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f'(x),$

   die jedem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ die Ableitung von ${}f$ an der Stelle ${}x$ zuordnet.

6. Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion ${}f$ nicht von ${}y$ abhängt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Quotientenregel für konvergente Folgen.
2. Die Konvergenzaussage für die geometrische Reihe in ${}{\mathbb {C} }$.
3. Die Produktregel für differenzierbare Funktionen

   $f,g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in einem Punkt

   ${}a\in {\mathbb {K} }$.

Lösung

1. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper mit dem Grenzwert ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$, Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$

2. Für alle komplexen Zahlen ${}z$ mit ${}{|z|}<1$ konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt

   ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$

3. Es seien ${}f$ und ${}g$ in ${}a$ differenzierbar. Dann ist das Produkt ${}f\cdot g$ differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Beurteile die Snookerweisheit „Ein Snookerspiel kann man in der ersten Session nicht gewinnen, aber verlieren“ vom logischen Standpunkt aus.

Lösung

Es spielen zwei Spieler gegeneinander, der eine gewinnt genau dann, wenn der andere verliert. Wenn einer also in der ersten Session verlieren kann, so kann auch einer (nämlich der andere) in der ersten Session gewinnen. Die Weisheit ist also unlogisch.

Aufgabe (1 Punkt)

Winnetou und Old Shatterhand liegen nachts am Strand des Rio Pecos und halten ihre vom harten Tagesritt müden Füße in den Fluss. Dabei schauen sie in den Himmel und zählen Sternschnuppen. Winnetou sieht ${}117$ und Old Shatterhand sieht ${}94$ Sternschnuppen. Old Shatterhand sieht von den von Winnetou gesichteten Sternschnuppen ${}39$ nicht. Wie viele der Sternschnuppen, die von Old Shatterhand gesichtet wurden, sieht Winnetou nicht?

Lösung

Es gibt

${}117-39=78\,$

Sternschnuppen, die beide sehen. Daher sieht Winnetou von den von Old Shatterhand gesehenen Sternschnuppen

${}94-78=16\,$

nicht.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${}K$.

Lösung

 Nehmen wir an, dass ${}a$ und ${}b$ beide von ${}0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente ${}a^{-1}$ und ${}b^{-1}$ und daher ist ${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1$. Andererseits ist aber nach Voraussetzung ${}ab=0$ und daher ist nach [[Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (1)]]

${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0{\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0\,,$

 sodass sich der Widerspruch

${}0=1$ ergibt.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

${}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,$

in ${}\mathbb {N}$ auch Lösungen ${}a\neq b$ besitzt.

Lösung

Beispielsweise ist

${}{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {3+2}{30}}={\frac {5}{30}}={\frac {1}{6}}={\frac {2}{12}}\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Auf dem kürzlich entdeckten Planeten Trigeno lebt eine rechenbegabte Spezies. Sie verwenden wie wir die rationalen Zahlen mit „unserer“ Addition und Multiplikation. Sie verwenden ferner eine Art „Ordnung“ auf den rationalen Zahlen, die sie mit ${}\succeq$ bezeichnen. Diese trigenometrische Ordnung stimmt mit unserer Ordnung überein, wenn beide Zahlen ${}\neq 0$ sind. Dagegen gilt bei ihnen

${}0\succeq x\,$

für jede rationale Zahl ${}x$. Die renommierte Ethnomathematikerin Dr. Eisenbeis vermutet, dass dies damit in Zusammenhang steht, dass sie die ${}0$ als heilig verehren.

Zeige, dass ${}\succeq$ die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. Für je zwei Elemente ${}a,b\in \mathbb {Q}$ gilt entweder ${}a\succ b$ oder ${}a=b$ oder ${}b\succ a$.
2. Aus ${}a\succeq b$ und ${}b\succeq c$ folgt ${}a\succeq c$ (für beliebige ${}a,b,c\in \mathbb {Q}$).
3. Aus ${}a\succeq 0$ und ${}b\succeq 0$ folgt ${}a+b\succeq 0$.
4. Aus ${}a\succeq 0$ und ${}b\succeq 0$ folgt ${}ab\succeq 0$.

Welche Eigenschaft eines angeordneten Körpers erfüllt ${}(\mathbb {Q} ,\succeq )$ nicht?

Lösung

Sämtliche Eigenschaften gelten, wenn jeweils die ${}0$ nicht vorkommt, da dann ${}\succeq$ mit ${}\geq$ übereinstimmt und von ${}(\mathbb {Q} ,\geq )$ diese Eigenschaften bekannt sind. Wir müssen also jeweils nur Situationen betrachten, wo ${}0$ vorkommt.

1. Bei ${}0\neq a$ gilt ${}0\succ a$, deshalb gilt die Eigenschaft.
2. Wenn ${}a=0$ ist wegen ${}0\succ c$ die Aussage klar. Wenn ${}c=0$ ist, so ist auch ${}b=0$ und in diesem Fall ist auch ${}a=0$.
3. Die Voraussetzung gilt nur bei

   ${}a=b=0\,,$

   in diesem Fall ist aber auch ${}a+b=0$.

4. Ebenso.

Es gilt nicht die Eigenschaft

Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$. Andernfalls würde wegen ${}0\succ 1$ auch

${}0+1=1\succ 2=1+1\,$

gelten, was aber nicht gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,$

erfüllen.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}&={\frac {n!}{(n-k)!k!}}+{\frac {n!}{(n-(k-1))!(k-1)!}}\\&={\frac {n!}{(n-k)!k!}}+{\frac {n!}{(n+1-k)!(k-1)!}}\\&={\frac {(n+1-k)\cdot n!}{(n+1-k)!k!}}+{\frac {k\cdot n!}{(n+1-k)!k!}}\\&={\frac {(n+1-k+k)\cdot n!}{(n+1-k)!k!}}\\&={\frac {(n+1)!}{(n+1-k)!k!}}\\&={\binom {n+1}{k}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Berechne die Gaußklammer

$\left\lfloor {\frac {487}{23}}\right\rfloor .$

Lösung

Es ist

${}487=23\cdot 21+4\,,$

also ist

${}\left\lfloor {\frac {487}{23}}\right\rfloor =21\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln ${}{\sqrt {n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.

Lösung

Dies geht mit der Spirale des Theodorus. Wenn man die (bereits konstruierte) Quadratwurzel ${}{\sqrt {n}}$ als eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks nimmt mit einer zweiten Kathete der Länge ${}1$, so erhält man eine Hypotenuse der Länge ${}{\sqrt {n+1}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=3$.

Lösung

Das Heron-Verfahren ergibt der Reihe nach

${}x_{1}:={\frac {3+{\frac {5}{3}}}{2}}={\frac {7}{3}}\,,$

${}{\begin{aligned}x_{2}&:={\frac {{\frac {7}{3}}+{\frac {5}{\,\,{\frac {7}{3}}\,\,}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {7}{3}}+{\frac {15}{7}}}{2}}\\&={\frac {\,\,{\frac {49+45}{21}}\,\,}{2}}\\&={\frac {47}{21}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}x_{3}&:={\frac {{\frac {47}{21}}+{\frac {5}{\,\,{\frac {47}{21}}\,\,}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {47}{21}}+{\frac {105}{47}}}{2}}\\&={\frac {\,\,{\frac {2209+2205}{987}}\,\,}{2}}\\&={\frac {2207}{987}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ ist, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Lösung

Wenn ${}P$ ein Vielfaches von ${}X-a$ ist, so kann man

${}P=(X-a)Q\,$

mit einem weiteren Polynom ${}Q$ schreiben. Einsetzen ergibt

${}P(a)=(a-a)Q(a)=0\,.$

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

${}P=(X-a)Q+R\,,$

wobei ${}R=0$ oder aber den Grad ${}0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

${}P(a)=R\,.$

Wenn also ${}P(a)=0$ ist, so muss der Rest ${}R=0$ sein, und das bedeutet, dass ${}P=(X-a)Q$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.

Lösung

Wir beschränken uns auf die Situation ${}f(a)\leq u\leq f(b)$ und zeigen die Existenz von einem solchen ${}c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man ${}a_{0}:=a$ und ${}b_{0}:=b$, betrachtet die Intervallmitte ${}c_{0}:={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$ und berechnet

$f(c_{0}).$

Bei ${}f{\left(c_{0}\right)}\leq u$ setzt man

$a_{1}:=c_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=b_{0}$

und bei ${}f{\left(c_{0}\right)}>u$ setzt man

$a_{1}:=a_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=c_{0}.$

In jedem Fall hat das neue Intervall ${}[a_{1},b_{1}]$ die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung ${}f{\left(a_{1}\right)}\leq u\leq f{\left(b_{1}\right)}$ erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei ${}c$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß Satz 7.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(a_{n}\right)}\leq u$ und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert ${}c$, also ${}f{\left(c\right)}\leq u$. Für die oberen Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(b_{n}\right)}\geq u$ und das überträgt sich ebenfalls auf ${}c$, also ${}f(c)\geq u$.  Also ist ${}f(c)=u$.

Aufgabe (9 (1+2+3+3) Punkte)

In der folgenden Aufgabe sollen Personen in der Ebene so platziert werden, dass je zwei Personen zueinander einen Abstand von zumindest ${}2$ haben (alle Angaben beziehen sich auf Meter). Die Personen bzw. ihre Platzierung sind dabei durch einen Punkt gegeben.

1. Zeige, dass man auf einem quadratischen ${}10\times 10$-Platz ${}36$ Leute platzieren kann (Randpunkte sind erlaubt).
2. Was ist falsch am folgenden Argument: „Auf einem ${}10\times 10$-Platz kann man höchstens ${}33$ Leute platzieren. Zu jeder Person gehört nämlich ein Umkreis mit Radius ${}1$, und zu verschiedenen Personen sind diese Kreise zueinander disjunkt. Zu jeder Person gehört also eine Fläche mit Flächeninhalt ${}\pi \cdot 1^{2}=\pi$. Diese Flächen liegen ganz in der Gesamtfläche der Größe ${}10\cdot 10=100$. Wegen

   ${}32\cdot \pi \geq 32\cdot 3,14=100,48>100\,$

   ist dies nicht möglich.“

3. Zeige, dass man auf einem ${}10\times 10$-Platz definitiv nicht ${}46$ Leute platzieren kann.
4. Zeige, dass man auf einem ${}10\times 10,5$-Platz ${}39$ Leute platzieren kann.

Lösung

1. Wir platzieren die Leute auf den Positionen

   $(2i,2j),0\leq i,j\leq 5,$

   das sind ${}6\cdot 6=36$ Leute.

2. Für Leute, die am Rand platziert sind, muss nicht der volle Umkreis innerhalb der vorgegebenen Fläche liegen.
3. Zu jeder Person gehört ein Umkreis mit Radius ${}1$, und zu verschiedenen Personen sind diese Kreise zueinander disjunkt. Zu jeder Person gehört also eine Fläche mit Flächeninhalt ${}\pi \cdot 1^{2}=\pi$. Diese Flächen liegen zwar nicht ganz in der Gesamtfläche der Größe ${}10\cdot 10=100$, da der Mittelpunkt aber zu der quadratischen ${}10\times 10$-Fläche gehört, gibt es an den Rändern höchstens einen Überstand von ${}1$. D.h. dass diese Kreise ganz in der umgebenden ${}12\times 12$-Fläche liegt. Wegen

   ${}46\cdot \pi \geq 46\cdot 3,14=144,44>144=12^{2}\,$

   ist dies für ${}46$ Personen nicht möglich.

4. Wir platzieren die Leute auf den Punkten eines Rasters, das aus gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge ${}2$ aufgebaut ist. Die Höhe eines solchen gleichseitigen Dreieckes ist nach dem Satz von Pythagoras gleich ${}{\sqrt {3}}$. Wegen

   ${}36\cdot 3=108<110,25=10,5^{2}\,$

   ist

   ${}6{\sqrt {3}}\leq 10,5\,,$

   daher kann man auf dem etwas größeren Rechteck nun sieben Zeilen platzieren (die erste Zeile sei der untere Rand des Rechtecks). Auf den Zeilen haben abwechselnd ${}6$ bzw. ${}5$ Leute Platz, dies ergibt ${}6+5+6+5+6+5+6=39$ Leute.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Regel von l'Hospital.

Lösung

Zur Ermittlung des Grenzwertes benutzen wir das Folgenkriterium. Da ${}g'$ im Intervall keine Nullstelle besitzt und ${}g(a)=0$ ist, besitzt auch ${}g$ nach Satz 19.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) außer ${}a$ keine Nullstelle. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}I\setminus \{a\}$, die gegen ${}a$ konvergiert. Zu jedem ${}x_{n}$ gibt es nach Satz 19.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), angewandt auf ${}I_{n}:=[x_{n},a]$ bzw. ${}[a,x_{n}]$, ein ${}c_{n}$ (im Innern von ${}I_{n}$) mit

${}{\frac {f(x_{n})-f(a)}{g(x_{n})-g(a)}}={\frac {f'(c_{n})}{g'(c_{n})}}\,.$

Die Folge ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert ebenfalls gegen ${}a$, sodass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen ${}{\frac {f'(a)}{g'(a)}}=w$ konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen ${}w$, und wegen ${}f(a)=g(a)=0$ bedeutet das, dass ${}{\frac {f(x_{n})}{g(x_{n})}}$ gegen ${}w$ konvergiert.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien

$g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

differenzierbare Funktionen und

${}f(x):={\frac {g(x)}{h(x)^{n}}}\,$

mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass man die Ableitung von ${}f$ als einen Bruch mit ${}h(x)^{n+1}$ im Nenner schreiben kann.

Lösung

Nach der Quotientenregel ist

${}{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)h(x)^{n}-g(x)(h(x)^{n})'}{h(x)^{2n}}}\\&={\frac {g'(x)h(x)^{n}-ng(x)h(x)^{n-1}h'(x)}{h(x)^{2n}}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-ng(x)h'(x)}{h(x)^{n+1}}},\end{aligned}}$

wobei wir im letzten Schritt mit ${}h(x)^{n-1}$ gekürzt haben.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}f(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$

ein normiertes Polynom vom Grad ${}4$. Charakterisiere durch eine Bedingung an die Koeffizienten ${}a,b,c,d$ die Eigenschaft, dass ${}f$ Wendepunkte besitzt.

Lösung

Die relevanten Ableitungen sind

${}f'(x)=4x^{3}+3ax^{2}+2bx+c\,$

und

${}f^{\prime \prime }(x)=12x^{2}+6ax+2b\,.$

Die Frage ist äquivalent dazu, ob die zweite Ableitung zwei Nullstellen besitzt, da dann ${}f'$ von wachsend nach fallend nach wachsend wechselt (bei nur einer Nullstelle ist ${}f^{\prime \prime }$ nie negativ und ${}f'$ ist überall wachsend). Die Existenz von Lösungen der quadratische Gleichung

${}12x^{2}+6ax+2b=0\,$

hängt nach Satz 49.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) davon ab, ob ${}{\sqrt {36a^{2}-4\cdot 12\cdot 2b}}$ reell existiert, was genau dann der Fall ist, wenn

${}36a^{2}-96b\geq 0\,$

bzw.

${}a^{2}\geq {\frac {24}{9}}b\,$

ist. Die Existenz von zwei Lösungen ist dabei zu ${}>$ äquivalent. Das Polynom besitzt also genau dann (und zwar genau zwei) Wendepunkte, wenn

${}a^{2}>{\frac {24}{9}}b\,$

ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion zur Funktion (${}x\neq 7$)

${}f(x)={\frac {x^{2}+3x+4}{x-7}}\,.$

Lösung

Wir schreiben

${}{\begin{aligned}f(x)&={\frac {x^{2}+3x+4}{x-7}}\\&={\frac {(x-7+7)^{2}+3(x-7+7)+4}{x-7}}\\&={\frac {(x-7)^{2}+14(x-7)+49+3(x-7)+21+4}{x-7}}\\&={\frac {(x-7)^{2}+17(x-7)+74}{x-7}}\\&=x-7+17+{\frac {74}{x-7}}.\end{aligned}}$

Eine Stammfunktion davon ist

${\frac {x^{2}}{2}}+10x+74\ln \vert {x-7}\vert .$

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.

Lösung

Da ${}a(t)$ keine Nullstelle besitzt, kann man jede Funktion

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

als

${}y(t)=c(t)a(t)\,$

mit einer unbekannten (differenzierbaren) Funktion ${}c(t)$ ansetzen. Dabei ist (für eine differenzierbare Funktion ${}y$)

${}y'(t)=c'(t)a(t)+c(t)a'(t)\,.$

Daher kann man die Lösungsbedingung

${}y'(t)=g(t)y(t)+h(t)\,$

als

${}c'(t)a(t)+c(t)a'(t)=g(t)c(t)a(t)+h(t)\,$

schreiben, und diese gilt wegen ${}a'(t)=g(t)a(t)$ genau dann, wenn

${}c'(t)a(t)=h(t)\,$

bzw.

${}c'(t)={\frac {h(t)}{a(t)}}\,$

gilt. D.h. ${}c(t)$ muss eine Stammfunktion zu ${}{\frac {h(t)}{a(t)}}$ sein.