Kurs:Analysis/Teil I/50/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 4 3 4 3 1 5 3 7 8 4 3 4 2 3 2 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper .
  2. Die bestimmte Divergenz gegen einer Folge in einem angeordneten Körper .
  3. Der Realteil einer komplexen Zahl .
  4. Das Maximum der Funktion

    wird im Punkt angenommen.

  5. Die komplexe Exponentialfunktion.
  6. Eine Stammfunktion zu einer Funktion .


Lösung

  1. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.

  2. Die Folge heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein gibt mit
  3. Zu einer komplexen Zahl nennt man den Realteil von .
  4. Man sagt, dass in das Maximum annimmt, wenn
  5. Die Abbildung

    heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

  6. Eine Funktion heißt Stammfunktion zu , wenn auf differenzierbar ist und für alle gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .
  2. Der Satz über das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe
  3. Die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.


Lösung

  1. Es seien zwei Polynome mit . Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome mit
  2. Die Potenzreihe sei für eine komplexe Zahl , , konvergent. Dann ist für jeden reellen Radius  mit die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.
  3. Es sei ein reelles Intervall und sei

    eine stetige Funktion. Es sei

    stetig differenzierbar. Dann gilt


Aufgabe (2 Punkte)

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. ) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.


Lösung

Es benötigt

Minuten. Ein Jahr besteht aus

Minuten. Der benötigte Zeitraum ist somit

Jahre.


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

  1. Es sei die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

    die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

  2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ?
  3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge aller Einzelkinder und auf die Menge aller Mütter einschränkt?
  4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.


Lösung

  1. Die Abbildung ist nicht injektiv, da Geschwister die gleiche Mutter haben, und nicht surjektiv, da nicht jeder Mensch ein Mutter ist.
  2. Die Abbildung ordnet jedem Menschen seine Urgroßmutter in der mütterlichen Stammlinie zu.
  3. Die Abbildung ist jetzt injektiv, da verschiedene Einzelkinder verschiedene Mütter haben. Sie ist nicht surjektiv, da es Mütter gibt, die mehr als ein Kind haben.
  4. Evolutionsbiologisch: Da sich die Menschheit evolutionär aus nichtmenschlichen Vorfahren entwickelt hat, muss es in der Folge , , einen Übergang von Mensch zu Nichtmensch geben, also ein derart, dass schon ein Mensch ist, aber noch nicht. Für ist dann die Abbildung nicht definiert. Relgiös: Adam und Eva haben keine Mutter, obwohl sie Menschen sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und seien Elemente aus . Zeige


Lösung

Es ist

wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass Quadrate positiv und daher ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.


Lösung

Es sei beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Zu gegebenem sei derart, dass

Für ist dann

da ja ist. Es sei der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre für ein , so wäre

(oder ), doch wegen der Konvergenz der Folge gegen würden dann auch die Folgenglieder für hinreichend groß echt unterhalb von und damit von liegen, im Widerspruch zu . Also ist . Würden zwei Zahlen zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre

für alle im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen konvergieren.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine quadratische Gleichung über einem Körper , und es sei eine Lösung davon. Zeige, dass auch eine Lösung der Gleichung ist.


Lösung

Wir behaupten, dass das Polynom die Faktorzerlegung

besitzt. Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert, so stimmt der konstante Koeffizient und der Leitkoeffizient mit den Koeffizienten der linken Seite überein. Der lineare Koeffizient ist

so dass hier auch Überstimmung vorliegt. Wenn man nun rechts einsetzt, kommt offenbar raus, es liegt also eine Lösung vor.


Aufgabe (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.


Lösung

Der Abstand der beiden Punkte ist

Die Kreisgleichung ist somit


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien positive reelle Zahlen und es gelte

Zeige, dass es positive rationale Zahlen mit

gibt.


Lösung

Es sei eine rationale echt fallende Folge (bei ; bei wählen wir eine rationale echt wachsende positive Folge), die gegen konvergiert. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion zur Basis konvergiert auch gegen . In jedem Fall ist dies eine (bei ) echt fallende Folge. Wegen der Konvergenz gibt es ein rationales mit

Die Funktion

ist als Hintereinanderschaltung einer Potenz und einer Wurzel nach [[Polynomfunktion/R/Stetig/Fakt|Kurs:Analysis/Polynomfunktion/K/Stetig/Fakt/Faktreferenznummer (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]] und Satz 13.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ebenfalls stetig. Somit gilt für eine rationale Folge , die gegen konvergiert, dass auch gegen konvergiert. Wir wählen die Folge echt fallend, so dass auch echt fallend ist. Für hinreichend groß ist dann

und wir können wählen.


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

  1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

    mit , für die die einzige Lösung ist.

  2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

    mit , für die eine Lösung ist.


Lösung

Für jede ganze Zahl ist generell

Dies führt zu einer quadratischen Gleichung mit und . Wenn man darin gleich setzt, ergibt sich wegen dem ersten Faktor. Somit sind unendlich viele quadratische Gleichungen mit Koeffizienten aus gefunden, die als Lösung besitzen. Wenn man

setzt, so erhält man die quadratische Gleichung

Für diese ist nur eine Lösung.


Aufgabe (7 (1+1+1+3+1) Punkte)

Wir betrachten für die Funktionenfolge auf mit

  1. Berechne die Funktionswerte für

    und für .

  2. Skizziere die Funktionen und auf dem Intervall .
  3. Begründe, dass die nicht stetig sind.
  4. Zeige, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?
  5. Zeige, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.


Lösung

  1. Es ist , , .
  2. Da ganzzahlig ist, bestht das Bild stets nur aus rationalen Zahlen und daher können die Funktionen nicht stetig sein (Zwischenwertsatz).
  3. Es gelten die Abschätzungen

    Daher gilt

    Für jedes zeigt nun das Quetschkriterium, dass

    gegen konvergiert. Die Grenzfunktion ist also die Identität.

  4. Die Abschätzung aus Teil (4) zeigt direkt, dass auch gleichmäßige Konvergenz vorliegt.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion


Lösung

Nach dem Zwischenwertsatz wissen wir, dass das Bild ein Intervall ist.

Wir zeigen zunächst, dass (nach oben und nach unten) beschränkt ist. Wir nehmen dazu an, dass nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge in mit . Nach Satz 7.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) besitzt eine konvergente Teilfolge. Da abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu . Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, so dass sie nach Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.

Es sei nun das Supremum von . Es gibt eine Folge in , die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von gibt es eine Folge mit . Für diese Folge gibt es wieder nach Satz 7.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) eine konvergente Teilfolge. Es sei der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit und daher .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Sinusfunktion

nur reelle Nullstellen besitzt.


Lösung

Nach Satz 15.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist

Die Bedingung führt also auf

Nach Satz 15.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) sind diese beiden Zahlen invers zueinander, es muss also

sein, was auf führt. Es ist also

zu untersuchen. Mit

führt dies mit Satz 15.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (1) auf die Bedingung

Dies erfordert einerseits und andererseits

also nach Korollar 15.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) . Also muss

reell sein.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz von Rolle.


Lösung

Wenn konstant ist, so ist die Aussage richtig. Es sei also nicht konstant. Dann gibt es ein mit . Sagen wir, dass größer als dieser Wert ist. Aufgrund von Satz 13.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gibt es ein , wo die Funktion ihr Maximum annimmt, und dieser Punkt kann kein Randpunkt sein. Für dieses ist dann nach Satz 19.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen der -Achse und dem Graphen des Kosinus hyperbolicus oberhalb des Intervalls eingeschlossen wird.


Lösung

Eine Stammfunktion des Kosinus hyperbolicus

ist

Somit ist der Flächeninhalt gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige mit Hilfe der harmonischen Reihe, dass es für das bestimmte Integral keine von unabhängige obere Schranke gibt.


Lösung

Für mit ist . Deshalb ist auf (mit ) diejenige Funktion, die auf dem ganzzahligen Intervall den Wert besitzt, eine untere Treppenfunktion zu . Das zugehörige Treppenintegral hat den Wert

und damit ist diese Summe ein unteres Treppenintegral von auf . Jede obere Schranke zu liegt oberhalb dieses Treppenintegrals. Da die harmonische Reihe divergiert, gibt es keine gemeinsame Schranke unabhängig von .


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form

mit , (mit Funktionen ) durch den Ansatz

auf eine inhomogene lineare Differentialgleichung für transformiert werden kann.


Lösung

Es ist