Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 34/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass die Inklusion stetig ist.
Es sei ein metrischer Raum und seien reelle Zahlen. Es seien
und
stetige Abbildungen mit . Zeige, dass dann die Abbildung
ebenfalls stetig ist.
Es sei ein metrischer Raum und sei
eine stetige Funktion. Es sei ein Punkt mit Zeige, dass dann auch für alle aus einer offenen Ballumgebung von gilt.
Es seien metrische Räume und seien
Abbildungen. Es sei stetig in und es sei stetig in . Zeige, dass die Hintereinanderschaltung
Es sei ein Untervektorraum im euklidischen Raum . Zeige, dass abgeschlossen im ist.
Es seien und metrische Räume und es seien
zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge
abgeschlossen in ist.
Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung
Zeige, dass eine Bijektion zwischen und dem Einheitskreis definiert, die stetig ist, deren Umkehrabbildung aber nicht stetig ist.
Es sei mit der euklidischen Metrik und mit der diskreten Metrik. Es sei
die Identität. Zeige, dass stetig ist, die Umkehrabbildung aber nicht.
Zeige, dass das offene Einheitsintervall und das abgeschlossene Einheitsintervall nicht homöomorph sind.
Stifte eine Homöomorphie zwischen der abgeschlossenen Kreisscheibe und dem abgeschlossenen Quadrat.
Es sei ein halboffenes Intervall. Kann man in zwei disjunkte Unterräume derart zerlegen, dass und untereinander homöomorph sind?
Es sei
eine Polynomfunktion und eine Basis von mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen . Zeige, dass auch eine Polynomfunktion in diesen Koordinaten ist.
Es sei
eine Abbildung, die in jeder Komponente polynomial sei und sei
eine polynomiale Funktion. Zeige, dass dann auch die Hintereinanderschaltung eine polynomiale Funktion ist.
Es sei und sei die Menge der reellen invertierbaren -Matrizen. Zeige, dass die Abbildung
stetig ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Im Nullpunkt befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch bestimmte Ebene sei die Netzhaut (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung
die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung stetig, ist sie linear?
Aufgabe (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Ein Billardtisch sei cm breit und cm lang, die Kugeln haben einen Radius von cm und die Ecklöcher seien ein Viertelkreis[1] mit Radius cm um einen Eckpunkt. An den Tisch sei ein Koordinatensystem angelegt, das parallel zu den Tischseiten verläuft und bei dem die linke untere Ecke der Nullpunkt sei.
Berechne für die linke untere Ecke die Koordinaten der beiden Punkte des Lochrandes, durch die der Mittelpunkt einer Kugel hindurch muss, wenn sie eingelocht werden soll. Wie lang ist der Abstand zwischen diesen beiden Punkten, wie lang ist die Lochberandung zwischen diesen Punkten?
Eine Kugel soll nun direkt (ohne Verwendung von Bande oder anderen Kugeln) in dieses Loch versenkt werden, wobei der Queuestoß stets in Richtung der Kugelmitte und an deren „Äquator“ durchgeführt wird. Welche Winkeltoleranz zum Versenken der Kugel liegt vor, wenn der Kugelmittelpunkt die folgende Position besitzt:
a) (63.5, 63.5)
b) (100, 100)
c) (63.5, 192,5)
d) (63.5, 10)
Welche Länge hat das zugehörige Kreissegment auf der Kugel?
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe eine Homöomorphie zwischen und an.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein offenes Intervall. Kann man in zwei disjunkte Unterräume derart zerlegen, dass und untereinander homöomorph sind?
Aufgabe (10 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein abgeschlossenes Intervall. Kann man in zwei disjunkte Unterräume derart zerlegen, dass und untereinander homöomorph sind?
- Fußnoten
- ↑ Diese Aufgabe ergibt auch Sinn, wenn die Löcher volle Kreise um die Eckpunkte sind, hat aber ein anderes Ergebnis.
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