- Unter dem uneigentlichen Integral zu versteht man den
Grenzwert
-
falls dieser existiert.
- Eine Abbildung heißt Metrik, wenn für alle
die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- (Definitheit),
- (Symmetrie), und
- (Dreiecksungleichung).
- Die Abbildung heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle mit ist .
- Unter der Kurvenlänge von versteht man
-
- Das Wegintegral ist
-
- Eine
Differentialgleichung
der Form
-
wobei
-
eine
Matrix
mit Einträgen ist, heißt homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
- Unter der Richtungsableitung von in in Richtung versteht man den
Grenzwert
-
falls dieser existiert.
- Die Abbildung heißt total differenzierbar in , wenn es eine
-
lineare Abbildung
mit der Eigenschaft
-
gibt, wobei
eine in
stetige Abbildung
mit ist und die Gleichung für alle mit gilt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Banachsche Fixpunktsatz.
- Die
Formel für die Länge
einer Kurve
-
- Das
Lösungsverfahren
für ein durch ein Zentralfeld
-
gegebenes Anfangswertproblem.
- Die
Kettenregel
für total differenzierbare Abbildungen.
- Es sei ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und
-
eine stark kontrahierende Abbildung. Dann besitzt genau einen Fixpunkt.
- Es sei ein kompaktes Intervall und
-
eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt
-
- Zu und einer Lösung
-
der eindimensionalen Differentialgleichung
-
ist
-
eine
Lösung des Anfangswertproblems
-
- Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume, und offene Mengen, und
und
Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass in und in total differenzierbar ist. Dann ist
in differenzierbar mit dem totalen Differential
-
Aufgabe * (6 (3+1+2) Punkte)
Es sei eine nichtleere Menge, und das -fache Produkt der Menge mit sich selbst.
a) Zeige, dass auf durch
-
eine
Metrik
definiert wird.
b) Bestimme zu und den Abstand .
c) Liste für und alle Elemente aus der offenen Kugel auf.
a) Die Anzahl ist stets eine nichtnegative Zahl. Zwei Tupel sind genau dann gleich, wenn jede ihrer Komponenten übereinstimmt. Dies ist genau dann der Fall, wenn ist. Da die (Un-)gleichheit symmetrisch ist, ist . Zum Beweis der Dreiecksungleichung seien vorgegeben. Wenn und in der -ten Komponente nicht übereinstimmen, so ist oder . Es ist also
-
und daher
b) Die beiden Tupel
und
unterscheiden sich an der ersten und der vierten Stelle, also ist der Abstand .
c) Die Werte der Metrik sind ganzzahlig, und in der offenen Ballumgebung mit Radius liegen die Elemente, die vom Mittelpunkt einen Abstand haben. Der Abstand zum Mittelpunkt muss also
oder
sein. Die Elemente darin sind daher
-
Wir zeigen, dass das Komplement offen ist. Es sei also
ein Punkt mit
-
und sei
-
Wegen der
Stetigkeit
von und gibt es mit den Eigenschaften:
Wenn , dann
und
Wenn , dann .
Dies gilt dann auch für
-
Daher gelten für die Abschätzungen
d.h. diese offene Ballumgebung gehört vollständig zum Komplement.
Beweise den Banachschen Fixpunktsatz.
Es sei
, ,
ein Kontraktionsfaktor, d.h. es gelte
-
für alle
. Wenn
Fixpunkte sind, so folgt aus
-
sofort
und somit
,
es kann also maximal einen Fixpunkt geben.
Es sei nun
ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch
-
rekursiv definierte
Folge
in . Wir setzen
-
Dann gilt für jedes
die Beziehung
-
Daher gilt aufgrund der
Dreiecksungleichung
und der
geometrischen Reihe
für
die Beziehung
Zu einem gegebenen
wählt man mit
-
Dies zeigt, dass eine
Cauchy-Folge
vorliegt, die aufgrund der
Vollständigkeit
gegen ein
konvergiert.
Wir zeigen, dass dieses ein Fixpunkt ist. Die Bildfolge konvergiert gegen , da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, so dass der Grenzwert sein muss.
Beschreibe
(ohne weitere Begründung)
den Lauf des Sekundenzeigers einer Uhr als eine differenzierbare Kurve auf dem Einheitskreis
(der Zeiger soll also im Zeitintervall eine Runde im Uhrzeigersinn drehen und zum Zeitpunkt „oben“ starten).
Die Bewegung des Sekundenzeigers wird durch
-
beschrieben.
Die Funktion ist wegen streng wachsend und insbesondere injektiv, und definiert aufgrund des Zwischenwertsatzes eine Bijektion zwischen und . Die Umkehrfunktion ist ebenfalls stetig differenzierbar mit
-
In dieser Situation können wir die Längenformel für den Graphen anwenden und erhalten mit der Substitution
(und )
Bestimme die
Länge
der durch
-
gegebenen Schraubenlinie für zwischen
und ,
wobei
.
Es ist
Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld
-
längs des Weges
-
Es ist
Bestimme die Lösung des
Anfangswertproblems
für das
Zentralfeld
-
mit
.
Es handelt sich um ein Zentralfeld, das auf die eindimensionale Differentialgleichung
-
mit führt. Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Es ist
-
und somit
-
Also ist
-
und wegen der Anfangsbedingung muss sein, also ist
-
Die Lösung für das Zentralfeld ist somit
-
Dies folgt direkt aus
Löse das
lineare Anfangswertproblem
-
Aus der zweiten Zeile folgt sofort
-
wobei die Anfangsbedingung
durch
erfüllt wird. Für ergibt sich daraus die inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen,
-
Die zugehörige homogene lineare Gleichung besitzt die Lösungen . Mittels Variation der Konstanten, also dem Ansatz
-
ergibt sich die Bedingung
-
Also ist
mit einer Konstanten
.
Aus
-
folgt
.
Die Lösung ist also
-
Skizziere den Graphen der Funktion
-
Betrag der Summe/Skizze/Aufgabe/Lösung
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
-
in jedem Punkt.
Die partiellen Ableitungen sind
-
-
-
-
-
und
-
Somit ist die Jacobi-Matrix in einem Punkt gleich
-
Zeige für Polynomfunktionen
-
direkt, dass
-
gilt.
Da partielle Ableitungen mit Addition und Skalarmultiplikation verträglich sind, und da ein Polynom eine Summe aus Monomen, multipiziert mit Konstanten ist, genügt es, die Aussage für Monome
-
zu zeigen. Bei ist die Aussage richtig, so dass wir annehmen. Es ist
-
Wenn ist, so ist dies , und in diesem Fall sind auch
und
die Nullfunktion, also gleich. Dies ist auch bei der Fall. Es seien also . Dann ist
Dies ist auch das Ergebnis in der umgekehrten Reihenfolge.
Bestätige die Kettenregel für für die beiden differenzierbaren Abbildungen
-
und
-
Die zusammengesetzte Abbildung ist durch
gegeben, ihre Ableitung ist
-
Die Jacobi-Matrix zu ist
-
und die Jacobi-Matrix zu ist
-
Daher ist die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt gleich
-
Das zu bildende Matrixprodukt dieser beiden Matrizen ist
Dies stimmt natürlich mit der direkt bestimmten Ableitung überein.
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