Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T4/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das uneigentliche Integral zu einer stetigen Funktion
  2. Eine Metrik auf einer Menge .
  3. Eine gleichmäßig stetige Abbildung

    zwischen den metrischen Räumen und .

  4. Die Kurvenlänge einer Kurve
  5. Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld

    und einer stetig differenzierbaren Kurve

  6. Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ).
  7. Die Richtungsableitung einer Abbildung

    in einem Punkt in Richtung eines Vektors .

  8. Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung

    in einem Punkt .

Lösung

  1. Unter dem uneigentlichen Integral zu versteht man den Grenzwert

    falls dieser existiert.

  2. Eine Abbildung heißt Metrik, wenn für alle die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
    1. (Definitheit),
    2. (Symmetrie), und
    3. (Dreiecksungleichung).
  3. Die Abbildung heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle mit ist .
  4. Unter der Kurvenlänge von versteht man
  5. Das Wegintegral ist
  6. Eine Differentialgleichung der Form

    wobei

    eine Matrix mit Einträgen ist, heißt homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

  7. Unter der Richtungsableitung von in in Richtung versteht man den Grenzwert

    falls dieser existiert.

  8. Die Abbildung heißt total differenzierbar in , wenn es eine -lineare Abbildung mit der Eigenschaft

    gibt, wobei eine in stetige Abbildung mit ist und die Gleichung für alle mit gilt.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Banachsche Fixpunktsatz.
  2. Die Formel für die Länge einer Kurve
  3. Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld
    gegebenes Anfangswertproblem.
  4. Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.

Lösung

  1. Es sei ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und

    eine stark kontrahierende Abbildung. Dann besitzt genau einen

    Fixpunkt.
  2. Es sei ein kompaktes Intervall und

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt

  3. Zu und einer Lösung

    der eindimensionalen Differentialgleichung

    ist

    eine Lösung des Anfangswertproblems

  4. Seien und endlichdimensionale -Vektorräume, und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass in und in total differenzierbar ist. Dann ist in differenzierbar mit dem totalen Differential


 

Aufgabe * (6 (3+1+2) Punkte)

Es sei eine nichtleere Menge, und das -fache Produkt der Menge mit sich selbst.

a) Zeige, dass auf durch

eine Metrik definiert wird.

b) Bestimme zu und den Abstand .

c) Liste für und alle Elemente aus der offenen Kugel auf.

Lösung

a) Die Anzahl ist stets eine nichtnegative Zahl. Zwei Tupel sind genau dann gleich, wenn jede ihrer Komponenten übereinstimmt. Dies ist genau dann der Fall, wenn ist. Da die (Un-)gleichheit symmetrisch ist, ist . Zum Beweis der Dreiecksungleichung seien vorgegeben. Wenn und in der -ten Komponente nicht übereinstimmen, so ist oder . Es ist also

und daher

b) Die beiden Tupel und unterscheiden sich an der ersten und der vierten Stelle, also ist der Abstand .

c) Die Werte der Metrik sind ganzzahlig, und in der offenen Ballumgebung mit Radius liegen die Elemente, die vom Mittelpunkt einen Abstand haben. Der Abstand zum Mittelpunkt muss also oder sein. Die Elemente darin sind daher


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien und metrische Räume und es seien

zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge

abgeschlossen in ist.

Lösung

Wir zeigen, dass das Komplement offen ist. Sei also ein Punkt mit

und sei

Wegen der Stetigkeit von und gibt es mit den Eigenschaften:

Wenn , dann

und

Wenn , dann .

Dies gilt dann auch für

Daher gelten für die Abschätzungen

d.h. diese offene Ballumgebung gehört vollständig zum Komplement.


 

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Banachschen Fixpunktsatz.

Lösung

Es sei , , ein Kontraktionsfaktor, d.h. es gelte

für alle . Wenn Fixpunkte sind, so folgt aus

sofort und somit , es kann also maximal einen Fixpunkt geben.
Sei nun ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch

rekursiv definierte Folge in . Wir setzen . Dann gilt für jedes die Beziehung

Daher gilt aufgrund der Dreiecksungleichung und der geometrischen Reihe für die Beziehung

Zu einem gegebenen wählt man mit . Dies zeigt, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, die aufgrund der Vollständigkeit gegen ein konvergiert.
Wir zeigen, dass dieses ein Fixpunkt ist. Die Bildfolge konvergiert gegen , da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, so dass der Grenzwert sein muss.


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Beschreibe (ohne weitere Begründung) den Lauf des Sekundenzeigers einer Uhr als eine differenzierbare Kurve auf dem Einheitskreis (der Zeiger soll also im Zeitintervall eine Runde im Uhrzeigersinn drehen und zum Zeitpunkt „oben“ starten).

Lösung

Die Bewegung des Sekundenzeigers wird durch

beschrieben.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion mit für . Zeige (die anschaulich klare Aussage), dass die Bogenlänge des Graphen von über mit der Bogenlänge des Graphen der Umkehrfunktion über übereinstimmt.

Lösung

Die Funktion ist wegen streng wachsend und insbesondere injektiv, und definiert aufgrund des Zwischenwertsatzes eine Bijektion zwischen und . Die Umkehrfunktion ist ebenfalls stetig differenzierbar mit

In dieser Situation können wir die Längenformel für den Graphen anwenden und erhalten mit der Substitution (und )


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Länge der durch

gegebenen Schraubenlinie für zwischen und , wobei .

Lösung

Es ist


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld

längs des Weges

Lösung

Es ist


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .

Lösung

Es handelt sich um ein Zentralfeld, das auf die eindimensionale Differentialgleichung

mit führt. Dies ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Es ist

und somit

Also ist

und wegen der Anfangsbedingung muss sein, also ist

Die Lösung für das Zentralfeld ist somit


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

mit

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ein Eigenvektor zu zum Eigenwert . Zeige, dass die Abbildung

() eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems ist.

Lösung

Dies folgt direkt aus


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem

Lösung

Aus der zweiten Zeile folgt sofort

wobei die Anfangsbedingung durch erfüllt wird. Für ergibt sich daraus die inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen,

Die zugehörige homogene lineare Gleichung besitzt die Lösungen . Mittels Variation der Konstanten, also dem Ansatz , ergibt sich die Bedingung

Also ist mit einer Konstanten . Aus

folgt . Die Lösung ist also


 

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere den Graphen der Funktion

Lösung

Betrag der Summe/Skizze/Aufgabe/Lösung

 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

in jedem Punkt.

Lösung

Die partiellen Ableitungen sind

und

Somit ist die Jacobi-Matrix in einem Punkt gleich


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige für Polynomfunktionen

direkt, dass

gilt.

Lösung

Da partielle Ableitungen mit Addition und Skalarmultiplikation verträglich sind, und da ein Polynom eine Summe aus Monomen, multipiziert mit Konstanten ist, genügt es, die Aussage für Monome

zu zeigen. Bei ist die Aussage richtig, so dass wir annehmen. Es ist

Wenn ist, so ist dies , und in diesem Fall sind auch und die Nullfunktion, also gleich. Dies ist auch bei der Fall. Seien also . Dann ist

Dies ist auch das Ergebnis in der umgekehrten Reihenfolge.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestätige die Kettenregel für für die beiden differenzierbaren Abbildungen

und

Lösung

Die zusammengesetzte Abbildung ist durch

gegeben, ihre Ableitung ist

Die Jacobi-Matrix zu ist

und die Jacobi-Matrix zu ist

Daher ist die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt gleich

Das zu bildende Matrixprodukt dieser beiden Matrizen ist

Dies stimmt natürlich mit der direkt bestimmten Ableitung überein.


 

Zur pdf-Version der Testklausur

Zur pdf-Version der Lösungen