Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 57/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Höhenlinien und das Gradientenfeld zur Funktion


BodyMassIndex.png

Aufgabe Referenznummer erstellen

Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die Abbildung

berechnet, wobei für die Masse und für die Länge eines Menschen (oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes) steht (in den Einheiten Kilogramm und Meter).

  1. Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär?
  2. Skizziere das zugehörige Gradientenfeld.
  3. Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem Gradienten dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
  4. Wie lassen sich die Fasern dieser Abbildung als Graphen von Funktionen beschreiben?
  5. Berechne die Hesse-Matrix von und bestimme ihren Typ in jedem Punkt.
  6. Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
  7. Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, Produktabbildung und Hintereinanderschaltung.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion und ein kritischer Punkt zu . Wie sieht die Lösung des Anfangswertproblems

zum zugehörigen Gradientenfeld aus?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem

mit () zum Gradientenfeld zur Funktion


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem

mit () zum Gradientenfeld zur Funktion


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne die ersten drei Iterationen der Picard-Lindelöf-Iteration zum Anfangswertproblem

zu


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Sei

ein Gradientenfeld und sei

( ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gelte für alle . Zeige, dass injektiv ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion und

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung, die eine Faser zu zu zwei verschiedenen Zeitpunkten trifft. Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion und

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei ein Zeitpunkt mit

a) Es sei zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass konstant ist.

b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) nicht konstant sein muss.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Vergleiche Lemma 47.10 und Lemma 57.5.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

versehen mit der durch die Supremumsnorm gegebene Metrik. Zeige, dass die Ableitung

keine starke Kontraktion ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

ein stetiges Vektorfeld, wobei die -te Komponente nur von der -ten Variabeln abhängen möge. Es sei

ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral nur von und abhängt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

eine Linearform. Bestimme das zugehörige Gradientenfeld und die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung, die zum Gradientenfeld der Funktion

gehört.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Welche linearen Vektorfelder

sind Gradientenfelder? Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei offen. Zeige, dass genau dann zusammenhängend ist, wenn man je zwei Punkte durch einen stetig differenzierbaren Weg verbinden kann.

Tipp: Man denke an den Beweis von Satz 35.13.



Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Fertige eine Illustration zu Beispiel 57.6 an.


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