Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Vorlesung 42/kontrolle

Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten - Lösungsverfahren

Es sei eine homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gegeben, d.h.

{}v'=Mv\,

mit einer konstanten Matrix

M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}a_{ij}\in {\mathbb {K} }.

Wir lassen hier also auch den Fall zu, dass die Einträge komplexe Zahlen sind. Beim Auffinden der Lösungen zu einer reellen Matrix ist es nämlich hilfreich, die reellen Zahlen als komplexe Zahlen aufzufassen, um dort Umformungen durchzuführen, die im Reellen nicht möglich sind. Die Lösungen werden aber nach wie vor auf reellen Intervallen definiert sein.

Ausgeschrieben liegt also das Differentialgleichungssystem

{}{\begin{pmatrix}v'_{1}\\\vdots \\v'_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}v_{1}+\cdots +a_{1n}v_{n}\\\vdots \\a_{n1}v_{1}+\cdots +a_{nn}v_{n}\end{pmatrix}}\,

vor. Solche Systeme lassen sich mit Hilfe der linearen Algebra auf eine Folge von inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen zurückführen und damit sukzessive lösen. Das folgende einfache Lemma gibt bereits einen deutlichen Hinweis dadrauf, dass lineare Eigenschaften der Matrix ${}M$ eng mit den Lösungen des Differentialgleichungssystems zusammenhängen.

Lemma Lemma 42.1 ändern

Es sei

{}v'=Mv\,

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ${}u\in {\mathbb {K} }^{n}$ ein Eigenvektor zu ${}M$ zum Eigenwert ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ .

Dann ist die Abbildung

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto ce^{\lambda t}u=c{\begin{pmatrix}e^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\e^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}},$

( ${}c\in {\mathbb {K} }$ ) eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems.

Beweis

Dies folgt direkt aus

{}{\begin{aligned}v'(t)&={\begin{pmatrix}ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}'\\&={\begin{pmatrix}(ce^{\lambda t}u_{1})'\\\vdots \\(ce^{\lambda t}u_{n})'\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\lambda ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\\lambda ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda ce^{\lambda t}{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\\&=M{\left(ce^{\lambda t}{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\right)}\\&=M{\begin{pmatrix}ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

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Definition Referenznummer erstellen

Es sei

{}v'=Mv\,

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom

{}\chi _{M}=\det {\left(tE_{n}-M\right)}\,

auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind nach Satz Anhang A.3 Eigenwerte von ${}M$ und liefern somit nach Lemma 42.1 Lösungen des Differentialgleichungssystems.

Bemerkung Referenznummer erstellen

Es sei

{}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0\,

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten und es sei

{}v'=Mv\,

das zugehörige System von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, also mit der Matrix

{}M={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &\ldots &0\\0&0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &\ldots &0&1&0\\0&0&\ldots &\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}\,.

Das zu dieser Matrix gehörige charakteristische Polynom ist nach Aufgabe 42.10 gleich

X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}.

D.h. man kann dieses Polynom direkt aus der eingangs gegebenen Differentialgleichung höherer Ordnung ablesen.

Beispiel Referenznummer erstellen

Zu einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

{}y^{\prime \prime }+a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0\,

ist das charakteristische Polynom gleich

t^{2}+a_{1}t+a_{0}.

Dessen Nullstellen sind einfach zu bestimmen, es ist

{}t_{1,2}=-{\frac {a_{1}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}\,.

Nun untersuchen wir systematisch, wie man Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten löst.

Lemma Lemma 42.5 ändern

Es sei

{}v'=Mv\,

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, es sei ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine invertierbare Matrix und es sei

{}N=BMB^{-1}\,.

Dann ist

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto v(t),$

genau dann eine Lösung von ${}v'=Mv$ , wenn ${}w=Bv$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}w'=Nw$ ist.

Beweis

Es sei vorausgesetzt, dass

{}v'=Mv\,

ist. Dann gelten für ${}w=Bv$ mit ${}B=(b_{ij})_{ij}$ die Gleichungen

{}{\begin{aligned}w'(t)&={\begin{pmatrix}w_{1}'(t)\\\vdots \\w_{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}(b_{11}v_{1}(t)+\cdots +b_{1n}v_{n}(t))'\\\vdots \\(b_{n1}v_{1}(t)+\cdots +b_{nn}v_{n}(t))'\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}b_{11}v'_{1}(t)+\cdots +b_{1n}v'_{n}(t)\\\vdots \\b_{n1}v'_{1}(t)+\cdots +b_{nn}v'_{n}(t)\end{pmatrix}}\\&=B{\begin{pmatrix}v_{1}'(t)\\\vdots \\v_{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&=BM{\begin{pmatrix}v_{1}(t)\\\vdots \\v_{n}(t)\end{pmatrix}}\\&=BMB^{-1}{\begin{pmatrix}w_{1}(t)\\\vdots \\w_{n}(t)\end{pmatrix}},\end{aligned}}

sodass ${}w$ die Differentialgleichung

{}w'=Nw\,

löst. Die inverse Transformation zeigt, dass zu einer Lösung von ${}w'=Nw$ die Abbildung ${}B^{-1}w$ eine Lösung für ${}v'=Mv$ ist.

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Satz Satz 42.6 ändern

Es sei

{}v'=Mv\,

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Dann gibt es eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem

$w'=Nw{\text{ mit }}N=BMB^{-1}$

obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form

${}{\begin{pmatrix}w'_{1}\\w'_{2}\\\vdots \\w'_{n-1}\\w_{n}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1n}\\0&c_{22}&\cdots &c_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&c_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n-1}\\w_{n}\end{pmatrix}}\,$

(mit ${}c_{ij}\in {\mathbb {C} }$ ) ist.

Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem Lösungsverfahren für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen ${}v_{i}(t_{0})=a_{i}$ für ${}i=1,\ldots ,n$ gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.

Beweis

Aufgrund von Satz Anhang A.4 ist die Matrix ${}M$ trigonalisierbar, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ derart, dass

{}N=BMB^{-1}\,

obere Dreiecksgestalt besitzt. Das lineare Differentialgleichungssystem ${}w'=Nw$ besitzt also die angegebene Gestalt, und es ist wegen Lemma 42.5 äquivalent zum ursprünglichen System. Das System in oberer Dreiecksgestalt löst man wie in Lemma 41.6 beschrieben. Eine Anfangsbedingung für ${}v'=Mv$ übersetzt sich direkt in eine Anfangsbedingung für ${}w'=Nw$ . In dem soeben beschriebenen Lösungsverfahren gibt es dann jeweils eine Anfangsbedingung für die inhomogenen Differentialgleichungen, sodass die Lösungen jeweils nach Satz 29.10 eindeutig sind.

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Beispiel Referenznummer erstellen

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

{}v'=Mv\,

mit

{}M={\begin{pmatrix}5&9\\-1&-1\end{pmatrix}}\,.

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

{}\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}t-5&-9\\1&t+1\end{pmatrix}}=(t-5)(t+1)+9=t^{2}-4t+4=(t-2)^{2}\,.

Das bedeutet, dass ${}2$ ein Eigenwert der Matrix mit algebraischer Vielfachheit ${}2$ ist. Der Kern der Matrix

{\begin{pmatrix}-3&-9\\1&3\end{pmatrix}}

ist von ${}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}$ erzeugt, dies ist also ein einfacher Eigenvektor und die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes ist ${}1$ . Aus Lemma 42.1 ergibt sich direkt die Lösung

{}\varphi (t)=e^{2t}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}\,.

Um alle Lösungen zu finden, arbeiten wir mit Lemma 42.5 und mit Satz 42.6. Wir verwenden die Basis ${}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}}$ (der zweite Vektor ist gewählt, um Jordanform zu erreichen, was aber für das Lösungsverfahren nicht wesentlich ist) und berechnen mit

{}B^{-1}={\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}\,

und

{}B={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}\,

{}N=BMB^{-1}={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&9\\-1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6&-7\\-2&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}}\,.

Für das transformierte System ${}w'=Nw$ ergibt sich direkt die Lösung ${}e^{2t}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ . Um eine weitere Lösung zu erhalten muss man mit einer nichttrivialen Lösung der zweiten Zeile ${}w_{2}'=2w_{2}$ starten, also mit ${}w_{2}(t)=e^{2t}$ . Die erste Zeile führt dann auf

{}w_{1}'(t)=2w_{1}(t)+w_{2}(t)=2w_{1}(t)+e^{2t}\,.

Die zugehörige homogene Gleichung hat die Lösung ${}e^{2t}$ , gemäß Satz 29.10 brauchen wir eine Stammfunktion von

{}e^{-2t}e^{2t}=1\,.

Eine solche ist ${}t$ und daher ist

{}w_{2}(t)=te^{2t}\,

die Lösung in der ersten Komponenten. Eine zweite Lösung ist also

{\begin{pmatrix}te^{2t}\\e^{2t}\end{pmatrix}}.

Um Lösungen für das ursprüngliche System zu erhalten, müssen wir mit ${}B^{-1}$ zurücktransformieren. Aus der ersten Lösung erhält man die schon bekannte Lösung zum Eigenvektor und aus der soeben gefundenen Lösung erhält man

{}\psi (t)=B^{-1}{\begin{pmatrix}te^{2t}\\e^{2t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}te^{2t}\\e^{2t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3te^{2t}-5e^{2t}\\-te^{2t}+2e^{2t}\end{pmatrix}}\,.

Bemerkung Referenznummer erstellen

Es sei

{}v'=Mv\,

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei

z\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}

eine komplexwertige Lösung dieser Differentialgleichung. Wir schreiben ${}z(t)=u(t)+{\mathrm {i} }v(t)$ , wobei ${}u,v$ differenzierbare Kurven im ${}\mathbb {R} ^{n}$ sind, und die Real- bzw. Imaginärteil der Funktion heißen. Es sei

{}{\overline {z}}(t)=u(t)-{\mathrm {i} }v(t)\,

die konjugiert-komplexe Funktion zu ${}z$ . Dann ist wegen

{}M{\overline {z(t)}}={\overline {M}}{\overline {z(t)}}={\overline {z'(t)}}={\overline {z}}'(t)\,

auch ${}{\overline {z}}$ eine Lösungsfunktion. Wegen

u(t)={\frac {z(t)+{\overline {z}}(t)}{2}}{\text{ und }}v(t)={\frac {z(t)-{\overline {z}}(t)}{2{\mathrm {i} }}}

sind auch Real- und Imaginärteil von ${}z$ Lösungsfunktionen (und zwar reellwertige).

Satz Satz 42.9 ändern

Es sei

{}v'=Mv\,

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten mit der Anfangsbedingung ${}v(t_{0})=u\in \mathbb {R} ^{n}$ , ${}t_{0}\in \mathbb {R}$ .

Dann gibt es genau eine auf ${}\mathbb {R}$ definierte Lösung

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

für dieses Anfangswertproblem.

Beweis

Aufgrund von Satz 42.6 gibt es eine eindeutige komplexwertige Lösung

v\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}

für dieses Differentialgleichungssystem. Da eine reellwertige Lösung insbesondere eine komplexwertige Lösung ist, liegt Eindeutigkeit vor. Der Realteil der komplexen Lösung, also

\operatorname {Re} \,{\left(v\right)}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto \operatorname {Re} \,{\left(v(t)\right)},

ist ebenfalls eine Lösung dieses Systems. Wegen der Eindeutigkeit muss ${}v=\operatorname {Re} \,{\left(v\right)}$ sein.

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Korollar Korollar 42.10 ändern

Es sei

{}v'=Mv\,

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Dann ist die Menge der Lösungen

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$

ein ${}n$ - dimensionaler ${}{\mathbb {K} }$ - Vektorraum.

Beweis

Dass der Lösungsraum ein ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorraum ist, kann man direkt nachrechnen. Aufgrund von Satz 42.6 bzw. Satz 42.9 gibt es zu jedem Vektor ${}w\in {\mathbb {K} }^{n}$ genau eine Lösung

\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}

mit

{}\varphi (0)=w\,.

Die Zuordnung, die eine Lösung ${}\varphi$ der Differentialgleichung auf den Ortspunkt ${}\varphi (0)$ abbildet, ist linear, sodass eine lineare Isomorphie zwischen dem Lösungsraum und ${}{\mathbb {K} }^{n}$ vorliegt.

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Definition Referenznummer erstellen

Es sei

{}v'=Mv\,

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.

Korollar Korollar 42.12 ändern

Es sei

{}v'=Mv\,

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix ${}M$ sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ .

Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich

${\left\{c_{1}e^{\lambda _{1}t}\cdot u_{1}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\cdot u_{n}\mid c_{i}\in {\mathbb {K} }\right\}},$

wobei ${}\lambda _{i}$ der Eigenwert zu ${}u_{i}$ ist.

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 42.1 und aus Korollar 42.10.

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Beispiel Referenznummer erstellen

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

{}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\lambda &\gamma \\0&\mu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\,.

Für

{}v_{2}(t)=0\,

(also die konstante Nullfunktion in der zweiten Komponente) ergibt sich aus der ersten Zeile (bis auf skalare Vielfache) sofort ${}v_{1}=e^{\lambda t}$ , was insgesamt der Lösung (der ersten Fundamentallösung)

{\begin{pmatrix}e^{\lambda t}\\0\end{pmatrix}}

zum Eigenvektor ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ gemäß Lemma 42.1 entspricht.

Es sei nun ${}v_{2}\neq 0$ . Dann führt die zweite Zeile zu ${}v_{2}=e^{\mu t}$ , was wir Satz 42.6 entsprechend zu einer Gesamtlösung fortsetzen. Die erste Zeile lautet somit

{}v_{1}'=\lambda v_{1}+\gamma e^{\mu t}\,.

Die Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung ist ${}c\cdot e^{\lambda t}$ , sodass sich mit der Variation der Konstanten der Ansatz ${}v_{1}(t)=c(t)\cdot e^{\lambda t}$ mit

{}c'(t)=\gamma \cdot e^{\mu t}\cdot e^{-\lambda t}=\gamma \cdot e^{(\mu -\lambda )t}\,

ergibt.

Bei ${}\mu =\lambda$ ergibt sich ${}c(t)=\gamma t$ und damit die zweite Fundamentallösung

{}v(t)={\begin{pmatrix}\gamma te^{\lambda t}\\e^{\lambda t}\end{pmatrix}}\,.

Bei ${}\gamma \neq 0$ gehört diese zweite Lösung nicht zu einem Eigenvektor.

Bei ${}\mu \neq \lambda$ ergibt sich ${}c(t)={\frac {\gamma }{\mu -\lambda }}e^{(\mu -\lambda )t}$ und damit die zweite Fundamentallösung

{}v(t)={\begin{pmatrix}{\frac {\gamma }{\mu -\lambda }}e^{\mu t}\\e^{\mu t}\end{pmatrix}}=e^{\mu t}{\begin{pmatrix}{\frac {\gamma }{\mu -\lambda }}\\1\end{pmatrix}}\,.

Dies ist wieder eine Lösung, die zu einem Eigenvektor gehört.

Beispiel Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Bewegung eines Punktes auf der Geraden, wobei die Lage des Punktes proportional zur auf ihn wirkenden Kraft (bzw. Beschleunigung) in Richtung des Nullpunkts sein soll. Wenn der Punkt sich in ${}\mathbb {R} _{+}$ befindet und sich in die positive Richtung bewegt, so wirkt diese Kraft bremsend, wenn er sich in die negative Richtung bewegt, so wirkt die Kraft beschleunigend. Mit der Proportionalitätskonstante ${}1$ gelangt man zur linearen Differentialgleichung (zweiter Ordnung)

{}y^{\prime \prime }=-y\,,

die diesen Bewegungsvorgang beschreibt. Als Anfangsbedingung wählen wir ${}y(0)=0$ und ${}y'(0)=v$ , zum Zeitpunkt ${}0$ soll die Bewegung also durch den Nullpunkt gehen und dort die Geschwindigkeit ${}v$ besitzen. Man kann sofort die Lösung

{}y(t)=v\cdot \sin t\,

angeben. Wir werden diese Lösung mit den Lösungsmethoden für lineare Differentialgleichungen herleiten. Die Differentialgleichung führt zum linearen Differentialgleichungssystem

{}{\begin{pmatrix}y_{0}'\\y_{1}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\-y_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{0}\\y_{1}\end{pmatrix}}\,.

Das charakteristische Polynom ist

{}x^{2}+1=(x-{\mathrm {i} })(x+{\mathrm {i} })\,,

und Eigenvektoren sind ${}{\begin{pmatrix}1\\{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$ (zum Eigenwert ${}{\mathrm {i} }$ ) und ${}{\begin{pmatrix}1\\-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$ (zum Eigenwert ${}-{\mathrm {i} }$ ). Die allgemeine komplexe Lösung ist also nach Korollar 42.12 gleich