Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 20/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe * Aufgabe 20.1 ändern
Es sei
eine Funktion auf einem Intervall . Zeige, dass genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar und mit die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von verläuft.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
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Die Funktion
beschreibe eine zeitabhängige eindimensionale Bewegung. Bringe die Konzepte Bewegungsverlauf, Geschwindigkeitsverlauf, Beschleunigungsverlauf mit den Konzepten konvexe Funktion und Wendepunkt in Verbindung.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Aufgabe 20.8 ändern
Es sei ein Intervall und
eine zweimal differenzierbare Funktion. Zeige, dass genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung für alle gilt.
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Es sei ein Polynom mit ungeradem Grad . Zeige, dass weder konvex noch konkav sein kann.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Partnerarbeit: Finde die Wendepunkte auf der Nase des Partners. Für Fortgeschrittene: Finde die Wendepunkte auf dem Rücken des Partners.
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Es sei , , ein Polynom vom Grad . Zeige, dass höchstens Wendepunkte besitzt.
Aufgabe Aufgabe 20.12 ändern
Definiere die Begriffe streng konvex, streng konkav und strenger Wendepunkt .
Aufgabe Referenznummer erstellen
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Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine konvexe differenzierbare Funktion. Zeige, dass in jedem Punkt die Tangente an den Graphen in mit dem Graphen oberhalb eines (eventuell einpunktigen) Intervalles übereinstimmt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es seien reelle Intervalle und
eine bijektive wachsende konvexe Funktion. Zeige, dass die Umkehrfunktion
konkav ist.
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Es seien reelle Intervalle und
eine bijektive fallende konvexe Funktion. Zeige, dass die Umkehrfunktion
ebenfalls konvex ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
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Es seien
konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass die Differenz konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien
konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass das Produkt konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Formuliere und beweise die konkave Version der Jensenschen Abschätzung.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein offenes Intervall, eine dreimal stetig differenzierbare Funktion und ein Punkt mit
und
Zeige, dass ein Wendepunkt von ist.
Aufgabe * Aufgabe 20.23 ändern
Zeige mit Hilfe der Jensensschen Ungleichung, angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel, also die Aussage, dass für die Abschätzung
gilt.
Aufgabe * Aufgabe 20.24 ändern
Zeige mit Hilfe der Jensensschen Ungleichung, angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem gewichteten arithmetischen und dem gewichteten geometrischen Mittel: Dies ist die Aussage, dass zu positiven Zahlen mit
und Zahlen die Abschätzung
gilt.
Aufgabe * Aufgabe 20.25 ändern
Aufgabe Aufgabe 20.24 ändern
Es sei eine Potenzreihe mit Konvergenzradius . Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe ebenfalls ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Funktion
Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung () von gleich
ist.
Aufgabe * Aufgabe 20.29 ändern
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Funktion
a) Zeige, dass eine stetige Bijektion zwischen und definiert.
b) Bestimme das Urbild von unter sowie und . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion an.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Betrachte die Funktion
Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.
Aufgabe * Aufgabe 20.33 ändern
Wir betrachten die durch
definierte Folge (). Zeige folgende Aussagen.
- Für ist die Folge monoton fallend.
- Die Folge konvergiert gegen .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme den Grenzwert
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme den Grenzwert
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Bestimme den Grenzwert
Aufgabe Aufgabe 20.37 ändern
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes
zu einem Punkt .
- Bestimme diesen Limes für die Funktion
mit einem .
- Es sei in
differenzierbar.
Zeige
- Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von .
Aufgabe Aufgabe 20.40 ändern
Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 20.9).
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Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 15.10 (4).
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die -te Ableitung der Sinusfunktion.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Funktion
a) Bestimme die Ableitung .
b) Bestimme die zweite Ableitung .
Aufgabe Referenznummer erstellen
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Es sei eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen .
Aufgabe * Aufgabe 20.47 ändern
Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.
- ,
- ,
- ,
- .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für , , existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.
- ,
- ,
- .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Aufgabe 20.51 ändern
Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist .)
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass der Sinus hyperbolicus auf streng wachsend ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass der Kosinus hyperbolicus auf streng fallend und auf streng wachsend ist.
Aufgrund dieser beiden Aufgaben gibt es Umkehrfunktionen, die man Areasinus hyperbolicus bzw. Areakosinus hyperbolicus nennt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass für , , die Gleichheit
gilt.
Aufgabe * Aufgabe 20.57 ändern
Zeige, dass die Funktion
nach unten beschränkt ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 20.58 ändern
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
eine ungerade Funktion, die nicht linear sei. Zeige, dass weder konvex noch konkav sein kann.
Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen