Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 20/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe * Aufgabe 20.1 ändern

Es sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ . Zeige, dass ${}f$ genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ mit ${}a,b\in I$ die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von ${}f$ verläuft.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine affin-lineare Funktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax+b,

sowohl konvex als auch konkav ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Betrag

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,

konvex ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Die Funktion

[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),

beschreibe eine zeitabhängige eindimensionale Bewegung. Bringe die Konzepte Bewegungsverlauf, Geschwindigkeitsverlauf, Beschleunigungsverlauf mit den Konzepten konvexe Funktion und Wendepunkt in Verbindung.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},

konvex ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion

{}f(x)=x^{4}+3x^{3}+x^{2}+x+1\,.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Zeige, dass ${}f$ genau dann konvex ist, wenn ${}-f$ konkav ist.

Aufgabe Aufgabe 20.8 ändern

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine zweimal differenzierbare Funktion. Zeige, dass ${}f$ genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom mit ungeradem Grad ${}\geq 3$ . Zeige, dass ${}f$ weder konvex noch konkav sein kann.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Partnerarbeit: Finde die Wendepunkte auf der Nase des Partners. Für Fortgeschrittene: Finde die Wendepunkte auf dem Rücken des Partners.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ , ${}x\longmapsto f(x)$ , ein Polynom vom Grad ${}n\geq 2$ . Zeige, dass ${}f$ höchstens ${}n-2$ Wendepunkte besitzt.

Aufgabe Aufgabe 20.12 ändern

Definiere die Begriffe streng konvex, streng konkav und strenger Wendepunkt .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}a<b<c$ und seien ${}g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}h\colon [b,c]\rightarrow \mathbb {R}$ stetige Funktionen mit ${}g(b)\neq h(b)$ . Es sei

{}f(x)={\begin{cases}g(x){\text{ für }}x\leq b\,,\\h(x){\text{ für }}x>b\,.\end{cases}}\,

Zeige, dass ${}f$ nicht konvex ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion, die in ${}a$ und in ${}b$ isolierte lokale Minima besitzt. Zeige, dass ${}f$ nicht konvex ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine konvexe differenzierbare Funktion. Zeige, dass in jedem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ die Tangente an den Graphen in ${}(a,f(a))$ mit dem Graphen oberhalb eines (eventuell einpunktigen) Intervalles übereinstimmt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}I,J\subseteq \mathbb {R}$ reelle Intervalle und

f\colon I\longrightarrow J

eine bijektive wachsende konvexe Funktion. Zeige, dass die Umkehrfunktion

f^{-1}\colon J\longrightarrow I

konkav ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}I,J\subseteq \mathbb {R}$ reelle Intervalle und

f\colon I\longrightarrow J

eine bijektive fallende konvexe Funktion. Zeige, dass die Umkehrfunktion

f^{-1}\colon J\longrightarrow I

ebenfalls konvex ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien

f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

konvexe Funktionen. Zeige, dass die Summe ${}f+g$ ebenfalls konvex ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien

f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass die Differenz ${}f-g$ konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien

f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass das Produkt ${}fg$ konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Formuliere und beweise die konkave Version der Jensenschen Abschätzung.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine dreimal stetig differenzierbare Funktion und ${}x\in I$ ein Punkt mit

{}f^{\prime \prime }(x)=0\,

und

{}f^{\prime \prime \prime }(x)\neq 0\,.

Zeige, dass ${}x$ ein Wendepunkt von ${}f$ ist.

Aufgabe * Aufgabe 20.23 ändern

Zeige mit Hilfe der Jensensschen Ungleichung, angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel, also die Aussage, dass für ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

{}{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\,

gilt.

Aufgabe * Aufgabe 20.24 ändern

Zeige mit Hilfe der Jensensschen Ungleichung, angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem gewichteten arithmetischen und dem gewichteten geometrischen Mittel: Dies ist die Aussage, dass zu positiven Zahlen ${}t_{1},\ldots ,t_{n}>0$ mit

{}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1\,

und Zahlen ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

{}x_{1}^{t_{1}}\cdot x_{2}^{t_{2}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{t_{n}}\leq t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2}+\cdots +t_{n}x_{n}\,

gilt.

Aufgabe * Aufgabe 20.25 ändern

Es seien ${}p,q$ positive reelle Zahlen mit

{}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,

und es seien ${}A,B\geq 0$ . Zeige mit Aufgabe 20.24 die Abschätzung

{}AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}\,.

Aufgabe Aufgabe 20.24 ändern

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ${}R>0$ . Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}z^{n-1}$ ebenfalls ${}R$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2}\cdot \exp \left(z^{3}-4z\right).

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)=xe^{x}.

Zeige durch Induktion, dass die ${}n$ -te Ableitung ( $n\geq 1$ ) von ${}f$ gleich

{}f^{(n)}(x)={\left(x+n\right)}e^{x}\,

ist.

Aufgabe * Aufgabe 20.29 ändern

Bestimme die Ableitung der Funktion

\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=t^{2}e^{-t}.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=1+\ln x-{\frac {1}{x}}.

a) Zeige, dass ${}f$ eine stetige Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}$ und ${}\mathbb {R}$ definiert.

b) Bestimme das Urbild ${}u$ von ${}0$ unter ${}f$ sowie ${}f'(u)$ und ${}(f^{-1})'(0)$ . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ an.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Betrachte die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=(2x+3)e^{-x^{2}}.

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von ${}f$ . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.

Aufgabe * Aufgabe 20.33 ändern

Wir betrachten die durch

x_{n}={\sqrt[{n}]{n}}

definierte Folge ( $n\geq 1$ ). Zeige folgende Aussagen.

Für ${}n\geq 3$ ist die Folge monoton fallend.
Die Folge konvergiert gegen $1$ .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert

\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert

\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\ln(x+1)}{\sin \left(2x\right)}}.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\cos(x)-1}{x}}\,.$

Aufgabe Aufgabe 20.37 ändern

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

f'=f{\text{ und }}f(0)=1.

Zeige, dass ${}f(x)=\exp x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes

\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}

zu einem Punkt ${}x\in I$ .

Bestimme diesen Limes für die Funktion
${}f(x)=a^{x}\,$

mit einem ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ .
Es sei ${}f$ in ${}x\in I$ differenzierbar. Zeige
${}\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)\,$
Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von ${}e^{\mathrm {i} }$ .

Aufgabe Aufgabe 20.40 ändern

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 20.9).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 15.10 (4).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die ${}1034871$ -te Ableitung der Sinusfunktion.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\cos(\ln x).

a) Bestimme die Ableitung ${}f'$ .

b) Bestimme die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto (\sin z)(\cos z).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für ${}n\in \mathbb {N}$ die Ableitung der Funktion

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto (\sin z)^{n}.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen ${}f^{(k)}(a)$ .

Aufgabe * Aufgabe 20.47 ändern

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis ${}a>0$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin x}{x}}$ ,
${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {(\sin x)^{2}}{x}}$ ,
${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\sin x}{x^{2}}}$ ,
${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für ${}x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ , ${}x\rightarrow 0$ , existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

${}\sin {\frac {1}{x}}$ ,
${}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}$ ,
${}{\frac {1}{x}}\cdot \sin {\frac {1}{x}}$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert

\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {(x-1)^{\alpha }}{\ln x}}

in Abhängigkeit von ${}\alpha \in \mathbb {R} _{+}$ .

Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.

Die für ${}z\in {\mathbb {C} }$ durch

\sinh z:={\frac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z})

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.

Die für ${}z\in {\mathbb {C} }$ durch

{}\cosh z={\frac {1}{2}}{\left(e^{z}+e^{-z}\right)}\,

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

Aufgabe Aufgabe 20.51 ändern

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist ${}z\in {\mathbb {C} }$ .)

$\cosh z+\sinh z=e^{z}.$
$\cosh z-\sinh z=e^{-z}.$
$(\cosh z)^{2}-(\sinh z)^{2}=1.$
$\cosh {\mathrm {i} }z=\cos z{\text{ und }}\sinh {\mathrm {i} }z={\mathrm {i} }\cdot \sin z.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise die Additionstheoreme für die Hyperbelfunktionen, also

a)

{}\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,.

b)

{}\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,.

{}\,\operatorname {arcosh} \,x\,=\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\,

gilt.

Aufgabe * Aufgabe 20.57 ändern

Zeige, dass die Funktion

f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{-{\frac {1}{x}}}\cdot \ln x

nach unten beschränkt ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 20.58 ändern

Es sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine konvexe Funktion, seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in I$ und ${}t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit ${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$ . Zeige die Jensensche Ungleichung