Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 20

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei

eine Funktion auf einem Intervall . Zeige, dass genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar und mit die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von verläuft.


Aufgabe

Zeige, dass eine affin-lineare Funktion

sowohl konvex als auch konkav ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Betrag

konvex ist.


Aufgabe

Die Funktion

beschreibe eine zeitabhängige eindimensionale Bewegung. Bringe die Konzepte Bewegungsverlauf, Geschwindigkeitsverlauf, Beschleunigungsverlauf mit den Konzepten konvexe Funktion und Wendepunkt in Verbindung.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

konvex ist.


Aufgabe *

Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion


Aufgabe

Es sei

eine Funktion. Zeige, dass genau dann konvex ist, wenn konkav ist.


Aufgabe

Es sei ein Intervall und

eine zweimal differenzierbare Funktion. Zeige, dass genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung für alle gilt.


Aufgabe

Es sei ein Polynom mit ungeradem Grad . Zeige, dass weder konvex noch konkav sein kann.


Aufgabe

La Reine Nefertiti (Musée égyptien, Berlin) (11779908505).jpg

Partnerarbeit: Finde die Wendepunkte auf der Nase des Partners. Für Fortgeschrittene: Finde die Wendepunkte auf dem Rücken des Partners.


Aufgabe

Es sei , , ein Polynom vom Grad . Zeige, dass höchstens Wendepunkte besitzt.


Aufgabe

Definiere die Begriffe streng konvex, streng konkav und strenger Wendepunkt .


Aufgabe

Es sei und seien und stetige Funktionen mit . Es sei

Zeige, dass nicht konvex ist.


Aufgabe

Es sei

eine Funktion, die in und in isolierte lokale Minima besitzt. Zeige, dass nicht konvex ist.


Aufgabe *

Es sei eine konvexe differenzierbare Funktion. Zeige, dass in jedem Punkt die Tangente an den Graphen in mit dem Graphen oberhalb eines (eventuell einpunktigen) Intervalles übereinstimmt.


Aufgabe *

Es seien reelle Intervalle und

eine bijektive wachsende konvexe Funktion. Zeige, dass die Umkehrfunktion

konkav ist.


Aufgabe

Es seien reelle Intervalle und

eine bijektive fallende konvexe Funktion. Zeige, dass die Umkehrfunktion

ebenfalls konvex ist.


Aufgabe

Es seien

konvexe Funktionen. Zeige, dass die Summe ebenfalls konvex ist.


Aufgabe

Es seien

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass die Differenz konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.


Aufgabe

Es seien

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass das Produkt konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.


Aufgabe

Formuliere und beweise die konkave Version der Jensenschen Abschätzung.


Aufgabe *

Es sei ein offenes Intervall, eine dreimal stetig differenzierbare Funktion und ein Punkt mit

und

Zeige, dass ein Wendepunkt von ist.


Aufgabe *

Zeige mit Hilfe der Jensensschen Ungleichung, angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel, also die Aussage, dass für die Abschätzung

gilt.


Aufgabe *

Zeige mit Hilfe der Jensensschen Ungleichung, angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem gewichteten arithmetischen und dem gewichteten geometrischen Mittel: Dies ist die Aussage, dass zu positiven Zahlen mit

und Zahlen die Abschätzung

gilt.


Aufgabe *

Es seien positive reelle Zahlen mit

und es seien . Zeige mit Aufgabe 20.24 die Abschätzung


Aufgabe

Es sei eine Potenzreihe mit Konvergenzradius . Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe ebenfalls ist.


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung () von gleich

ist.


Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe *

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

a) Zeige, dass eine stetige Bijektion zwischen und definiert.

b) Bestimme das Urbild von unter sowie und . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion an.


Aufgabe *

Betrachte die Funktion

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.


Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert


Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert


Aufgabe

Es sei

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

Zeige, dass für alle ist.


Aufgabe *

Es sei eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes

zu einem Punkt .

  1. Bestimme diesen Limes für die Funktion

    mit einem .

  2. Es sei in differenzierbar. Zeige
  3. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).


Aufgabe

Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 20.9).


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 15.10  (4).


Aufgabe

Bestimme die -te Ableitung der Sinusfunktion.


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Bestimme für die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Es sei eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen .


Aufgabe *

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis .


Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der Funktionslimes für , , existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

in Abhängigkeit von .


Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.


Die für durch

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.


Die für durch

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.


Aufgabe

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist .)


Aufgabe


Aufgabe

Beweise die Additionstheoreme für die Hyperbelfunktionen, also

a)

b)


Aufgabe *

Zeige, dass der Sinus hyperbolicus auf streng wachsend ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Kosinus hyperbolicus auf streng fallend und auf streng wachsend ist.


Aufgrund dieser beiden Aufgaben gibt es Umkehrfunktionen, die man Areasinus hyperbolicus bzw. Areakosinus hyperbolicus nennt.

Aufgabe *

Zeige, dass für , , die Gleichheit

gilt.


Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion

nach unten beschränkt ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine konvexe Funktion, seien und mit . Zeige die Jensensche Ungleichung


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine ungerade Funktion, die nicht linear sei. Zeige, dass weder konvex noch konkav sein kann.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion



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