Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 2

Schnitte

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$p\colon Y\longrightarrow X$

eine stetige Abbildung. Unter einem stetigen Schnitt zu ${}p$ versteht man eine stetige Abbildung ${}s\colon X\rightarrow Y$ mit

${}p\circ s=\operatorname {Id} _{X}\,.$

Man denke bei ${}Y$ beispielsweise an ein Vektorbündel über ${}X$. Einen Schnitt kann es nur geben, wenn ${}p$ surjektiv ist, was bei einem Vektorbündel stets der Fall ist. Gelegentlich identifiziert man einen Schnitt mit seinem Bild, was problemlos ist, da ein Schnitt stets injektiv ist. Eine besondere Rolle spielt der Nullschnitt, der jedem Basispunkt ${}P$ den Nullpunkt im Vektorraum ${}V_{P}$ zuordnet. Für Tangentialbündel haben Schnitte einen eigenen Namen.

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung

$F\colon M\longrightarrow TM$

mit der Eigenschaft, dass ${}F(P)\in T_{P}M$ für jeden Punkt ${}P\in M$ ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.

Der Satz vom Igel

Satz

Auf der ${}2$- Sphäre

besitzt jedes stetige Vektorfeld ${}f\colon S^{2}\rightarrow TS^{2}$ zumindest eine Nullstelle.

Insbesondere ist das Tangentialbündel der ${}2$-Sphäre nicht trivial. Es gibt verschiedene Interpretationen für diesen Satz. Beispielsweise besagt er, dass es auf der Erdoberfläche stets einen Punkt gibt, in dem Windstille herrscht (die momentane horizontale Windrichtung ist ein stetiges Vektorfeld), oder, dass man die Stacheln eines Igels nicht alle an den Igel flach anlegen kann.

Bemerkung  

Mit dem Satz vom Igel können wir begründen, dass das Vektorbündel ${}L$ über ${}\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}$ aus Beispiel 1.2 keine stetige Trivialisierung besitzt. Zunächst ist ${}S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}$ eine Teilmenge, sodass wir ${}L$ auf ${}S^{2}$ einschränken können. Wenn ${}L$ selbst trivial wäre, so wäre auch diese Einschränkung trivial. Die Einschränkung des Bündels ${}L$ auf die Einheitssphäre ist aber das Tangentialbündel der Einheitssphäre, da die Bedingung

${}ru+sv+tw=0\,$

als Orthogonalitätsrelation aufgefasst werden kann und der (extrinsische) Tangentialraum an einen Ortspunkt ${}(r,s,t)$ der Sphäre durch diese Orthogonalitätsrelation festgelegt ist. Wenn das Tangentialbündel trivial wäre, so würde es eine stetige Vektorfelder ${}u$ und ${}v$ geben, die in jedem Punkt der Sphäre eine Basis des Tangentialraumes bildeten. Der Satz vom Igel sagt aber, dass sogar jedes Vektorfeld eine Nullstelle hat, und ${}0$ kann nicht Teil einer Basis sein.

Verklebungsdaten für topologische Räume

Ein Vektorbündel ${}V\rightarrow X$ „setzt“ sich aus den trivialen Vektorbündeln ${}V{|}_{U_{i}}\rightarrow U_{i}$ zu einer offenen Überdeckung von ${}X$ zusammen, wobei die genaue Zusammensetzung eben das Vektorbündel ausmacht. Die Art der Zusammensetzung kann man übersichtlich mit Verklebungsdaten beschreiben. Dafür brauchen wir zunächst generell Verklebungsdaten für topologische Räume. Die grundlegende Fragestellung dahinter ist einfach, was man von einer offenen Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ wissen muss, um den Raum ${}X$ rekonstruieren zu können. Die kurze Antwort ist, dass man die ${}U_{i}$ kennen muss, die Zweierdurchschnitte ${}U_{i}\cap U_{j}$, und zwar sowohl als Teilmenge in ${}U_{i}$ als auch in ${}U_{j}$ und wie diese zu identifizieren sind, und dann noch eine Kompatibilitätsbedingung für diese Identifizierungen, die auf je drei Teilmengen Bezug nimmt.

Definition

Unter einem Verklebungsdatum für topologische Räume versteht man den folgenden Datensatz.

1. Eine Familie ${}U_{i}$, ${}i\in I$, von topologischen Räumen.
2. Für jedes Paar ${}(i,j)$ eine offene Teilmenge ${}U_{ij}\subseteq U_{i}$ (mit ${}U_{ii}=U_{i}$).
3. Für jedes Paar ${}(i,j)$ einen Homöomorphismus

   $\varphi _{ji}\colon U_{ij}\longrightarrow U_{ji}$

   (mit ${}\varphi _{ii}=\operatorname {Id} _{U_{i}}$).

4. Für Indizes ${}i,j,k\in I$ ist die Kozykelbedingung

   ${}\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$

   als Abbildung von ${}U_{ik}\cap U_{ij}$ nach ${}U_{k}$ erfüllt.

Lemma

Es sei ein Verklebungsdatum ${}U_{i}$, ${}i\in I$, für topologische Räume gegeben.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten topologischen Raum ${}X$, eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ und Homöomorphismen ${}\psi _{i}\colon U_{i}\rightarrow V_{i}$ derart, dass

${}\psi _{i}{\left(U_{ij}\right)}=V_{i}\cap V_{j}\,$

ist und

${}\psi _{i}{|}_{U_{ij}}=\psi _{j}{|}_{U_{ji}}\circ \varphi _{ji}\,$

gilt.

Beweis

Es sei ${}Y$ die disjunkte Vereinigung der ${}U_{i}$. Wir definieren auf ${}Y$ eine Äquivalenzrelation ${}\sim$, wobei wir Punkte ${}x_{i}\in U_{i}$ und ${}x_{j}\in U_{j}$ als äquivalent ansehen, wenn ${}x_{i}\in U_{ij}$, ${}x_{j}\in U_{ji}$ und ${}\varphi _{ji}(x_{i})=x_{j}$ ist. Die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind dabei durch die Kozykelbedingung gesichert, siehe Aufgabe 2.14. Wir setzen

${}X:=Y/\sim \,$

und versehen ${}X$ mit der Quotiententopologie. Die Verknüpfungen

$U_{i}\longrightarrow Y\longrightarrow X$

sind die ${}\psi _{i}$, und ${}V_{i}$ sind die Bilder dieser Abbildungen. Daher liegen Homöomorphismen ${}\psi _{i}\colon U_{i}\rightarrow V_{i}$ vor. Dabei ist zu ${}x\in U_{i}$

${}\psi _{i}(x)\in V_{j}\,$

genau dann, wenn ${}x\in U_{ij}$ ist, da genau in diesem Fall ${}x$ mit ${}\varphi _{ij}(x)$ identifiziert wird. Daher ist ${}\psi _{i}(U_{ij})=V_{i}\cap V_{j}$. Die Kommutativität des Diagramms

${\begin{matrix}U_{ij}&{\stackrel {\varphi _{ji}}{\longrightarrow }}&U_{ji}&\\&\!\!\!\!\!\psi _{i}\searrow &\downarrow \psi _{j}\!\!\!\!\!&\\&&V_{i}\cap V_{j}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

folgt ebenso.

$\Box$

Lemma

Es sei ein Verklebungsdatum ${}U_{i}$, ${}i\in I$, für topologische Räume gegeben. Es sei ${}Z$ ein weiterer topologischer Raum und es seien stetige Abbildungen

$\theta _{i}\colon U_{i}\longrightarrow Z$

gegeben, die die Bedingung ${}\theta _{i}{|}_{U_{ij}}={\left(\theta _{j}{|}_{U_{ji}}\right)}\circ \varphi _{ji}$ erfüllen.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung

$\theta \colon X\longrightarrow Z$

mit ${}{\left(\psi _{i}\right)}^{-1}\circ \theta {|}_{V_{i}}=\theta _{i}$, wobei ${}X$ den durch die Verklebungsdaten festgelegten topologischen Raum (siehe Lemma 2.6, auch für die Notation) bezeichnen.

Beweis

Siehe Aufgabe 2.18.

$\Box$

Verklebungsdaten für Vektorbündel

Definition

Unter einem Verklebungsdatum für ein reelles Vektorbündel vom Rang ${}r$ über einem topologischen Raum ${}X$ versteht man den folgenden Datensatz.

1. Eine offene Überdeckung

   ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

2. Eine Familie ${}E_{i}\rightarrow U_{i}$, ${}i\in I$, von reellen Vektorbündeln vom Rang ${}r$.
3. Für jedes Paar ${}(i,j)$ einen Isomorphismus von Vektorbündeln

   $\varphi _{ji}\colon E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow E_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

   über ${}U_{i}\cap U_{j}$.

4. Für Indizes ${}i,j,k\in I$ ist die Kozykelbedingung

   ${}\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$

   als Abbildung von ${}E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$ nach ${}E_{k}{|}_{U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$ erfüllt.

Bemerkung  

Typischerweise sind in der Definition 2.8 die Vektorbündel aus (2) triviale Vektorbündel auf ${}U_{i}$, also ${}E_{i}=\mathbb {R} ^{r}\times U_{i}$. Die Isomorphismen aus (3) sind dann einfach durch bijektive lineare Abbildungen ${}\varphi _{ji}\colon \mathbb {R} ^{r}\rightarrow \mathbb {R} ^{r}$ gegeben, die stetig vom Basispunkt aus ${}U_{i}\cap U_{j}$ abhängen. Diese kann man kompakt durch stetige Abbildungen

$\varphi _{ji}\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

in die allgemeine lineare Gruppe beschreiben. Den Basispunkten wird also in stetiger Weise eine invertierbare ${}r\times r$- Matrix zugeordnet, wobei die Stetigkeit bedeutet, dass sämtliche Matrixeinträge stetige Funktionen sind. Man spricht von einer Matrixbeschreibung des Bündels. Die Kozykelbedingung bleibt bestehen.

Lemma

Es sei ein Verklebungsdatum ${}E_{i}$, ${}i\in I$, über einem topologischen Raum

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

gegeben.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes reelles Vektorbündel ${}E\rightarrow X$ und Isomorphismen ${}\psi _{i}\colon E_{i}\rightarrow E{|}_{U_{i}}$ derart, dass

${}\psi _{i}{|}_{E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}}=\psi _{j}{|}_{E_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}}\circ \varphi _{ji}\,$

gilt.

Beweis

Die Existenz eines topologischen Raumes ${}E$ mit den besagten Eigenschaften ergibt sich aus Lemma 2.6 (zu verkleben sind die offenen Mengen ${}W_{ij}:=E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$) und die Existenz der stetigen Abbildung nach ${}X$ aus Lemma 2.7. Dabei gibt es eine wohldefinierte Vektorraumstruktur auf jeder Faser ${}E_{x}$, die von ${}E_{i}$ zu einer beliebigen offenen Umgebung ${}x\in U_{i}$ herrührt. Die Unabhängigkeit beruht darauf, dass für ${}x\in U_{i}\cap U_{j}$ nach Voraussetzung ein Vektorbündelisomorphismus

$\varphi _{ij}\colon E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow E_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

vorliegt, der einen Vektorraumisomorphismus

${\left(E_{i}\right)}_{x}\longrightarrow {\left(E_{j}\right)}_{x}$

induziert.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten auf der eindimensionalen Sphäre

${}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

die offene Überdeckung ${}S^{1}=U\cup V$ mit ${}U=S^{1}\setminus \{(0,1)\}$ und ${}V=S^{1}\setminus \{(0,-1)\}$. Darauf beschreiben wir ein Verklebungdatum für ein reelles Vektorbündel vom Rang ${}1$. Die beiden offenen Mengen sind homöomorph zur reellen Geraden. Es ist

${}U\cap V=S^{1}\setminus \{(0,1),(0,-1)\}={\left\{(x,y)\in S^{1}\mid x\neq 0\right\}}\,,$

und dies ist nicht zusammenhängend, sondern homöomorph zu zwei disjunkten reellen offenen Halbgeraden (bzw. Geraden). Wir setzen ${}L=U\times \mathbb {R}$ und ${}M=V\times \mathbb {R}$. Wir legen einen Isomorphismus

$\varphi \colon L{|}_{U\cap V}\longrightarrow M{|}_{U\cap V}$

durch

${}\varphi (x,y,t):={\begin{cases}(x,y,t){\text{ für }}x>0\,,\\(x,y,-t){\text{ für }}x<0\,\end{cases}}\,$

fest. Man beachte, dass ${}\varphi$ stetig ist, da die beiden funktionalen Ausdrücke für zueinander disjunkte offene Teilmengen gelten. Auf der einen Hälfte wird identisch abgebildet, auf der anderen Hälfte wird umgeklappt. Im Sinne von Bemerkung 2.9 liegt die stetige (konstante) Matrixbeschreibung

${}\psi (x,y):={\begin{cases}(1){\text{ für }}x>0\,,\\(-1){\text{ für }}x<0\,,\end{cases}}\,$

auf ${}U\cap V$ vor. Da nur zwei offene Mengen vorliegen, ist die Kozykelbedingung automatisch erfüllt. Dieses Verklebungsdatum definiert nach Lemma 2.10 ein reelles Vektorbündel vom Rang ${}1$ auf der Sphäre, das Möbiusband heißt.

Wir geben eine direkte algebraische Realisierung des Möbiusbandes im ${}\mathbb {R} ^{4}$ an.

Beispiel

Wir betrachten

${}Y:={\left\{(x,y,z,w)\in \mathbb {R} ^{4}\mid x^{2}+y^{2}=1,\,(1-y)z=xw,\,xz=(1+y)w\right\}}\,$

zusammen mit der natürlichen Projektion auf die eindimensionalen Sphäre

${}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}=U\cup V\,$

mit ${}U=S^{1}\setminus \{(0,1)\}$ und ${}V=S^{1}\setminus \{(0,-1)\}$. Wir behaupten, dass ${}Y$ ein Vektorbündel vom Rang ${}1$ ist, das isomorph zum Möbiusband ist. Auf ${}U$ ist ${}y\neq 1$ und daher kann man die zweite Gleichung nach ${}z$ auflösen, also

${}z={\frac {x}{1-y}}w\,.$

Damit ist die dritte Gleichung wegen

${}xz={\frac {x}{1-y}}xw={\frac {x^{2}}{1-y}}w={\frac {1-y^{2}}{1-y}}w=(1+y)w\,$

automatisch erfüllt. Entsprechend gilt auf ${}V$ die Beziehung

${}w={\frac {x}{1+y}}z\,$

und die andere Gleichung ist automatisch erfüllt. Daher ist ${}Y$ auf ${}U$ bzw. auf ${}V$ ein triviales Vektorbündel vom Rang ${}1$ mit der Variablen ${}w$ bzw. ${}z$. Die Übergangsabbildung auf ${}U\cap V$ ist durch

${}{\frac {x}{1-y}}={\frac {1+y}{x}}\,$

gegeben, eine Matrixbeschreibung dieses Bündels ist also ${}{\left({\frac {x}{1-y}}\right)}$. Diese Matrix hängt, im Gegensatz zur konstanten Matrix aus Beispiel 2.11 explizit von

${}(x,y)\in U\cap V\,$

ab. Dennoch sind die beiden Vektorbündel zueinander isomorph. Dazu verwenden wir Aufgabe 2.21 und betrachten die beiden stetigen Funktionen ${}{\sqrt {1-t}}$ auf ${}U$ und ${}{\sqrt {1+t}}$ auf ${}V$, die beide nullstellenfrei sind.

Es ist

${}{\frac {1}{\sqrt {1+y}}}\cdot {\frac {x}{1-y}}\cdot {\sqrt {1-y}}={\frac {1}{\sqrt {1+y}}}\cdot {\frac {x}{\sqrt {1-y}}}={\frac {x}{\sqrt {1-y^{2}}}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}}}}={\frac {x}{\vert {x}\vert }}=\pm 1\,,$

abhängig vom Vorzeichen von ${}x$. Daher sind die Bündel isomorph.

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