Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 2

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Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Geradenbündel über einem topologischen Raum genau dann trivial ist, wenn es einen stetigen nullstellenfreien Schnitt besitzt.


Aufgabe

Es sei ein stetiger Schnitt zu einem reellen Vektorbündel über einem topologischen Raum . Zeige, dass das Bild eine abgeschlossene Teilmenge ist, die homöomorph zu ist.


Aufgabe

Es sei ein Vektorbündel über , offen, das durch ein lineares Gleichungssystem in Variablen mit universellen Parametern gegeben ist, wobei dadurch gekennzeichnet sei, dass die Dimension der Fasern konstant sei. Zeige, dass ein stetiger Schnitt in das gleiche ist wie eine stetige universelle Lösung des linearen Gleichungssystems.


Aufgabe *

Man gebe ein stetiges Vektorfeld auf an, das nur eine Nullstelle besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass die Einschränkung des Vektorbündels aus Beispiel 1.2 auf die offene Teilmenge

eine Trivialisierung besitzt.


Aufgabe

Es sei eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes . Inwiefern wird dadurch ein topologisches Verklebungsdatum gegeben? Lässt sich aus dem Verklebungsdatum der topologische Raum rekonstruieren?


Aufgabe

Man mache sich klar, wodurch ein Verklebungsdatum mit zwei offenen Mengen gegeben ist.


Aufgabe

Man mache sich klar, wodurch ein Verklebungsdatum mit drei offenen Mengen gegeben ist.


Aufgabe

Es sei und jeweils eine reelle Gerade, und diese werden entlang der offenen Halbgeraden und verklebt. Ist der entstehende Raum Hausdorffsch?


Aufgabe

Es sei und jeweils eine reelle Gerade, und diese werden entlang der punktierten Geraden und miteinander verklebt. Ist der entstehende Raum Hausdorffsch?


Aufgabe

Wir betrachten den topologischen Raum

der aus den reellen Zahlen entsteht, indem man ein neues Element hinzunimmt, und die folgenden zwei Arten von Teilmengen für offen erklärt: Die Mengen offen mit und die Mengen für offen mit . Zeige, dass ein topologischer Raum ist. Ist der Punkt in diesem Raum abgeschlossen? Ist der Punkt in diesem Raum abgeschlossen? Wie verhält sich dieser Raum zu dem in Aufgabe ***** konstruierten Raum?


Aufgabe

Es sei und jeweils eine reelle Gerade, und diese werden entlang der punktierten Geraden und mit Hilfe der inversen Abbildung verklebt. Welcher topologische Raum entsteht dabei?


Aufgabe

Es sei und jeweils eine komplexe Gerade (also die Gaußsche Zahlenebene) und diese werden entlang der gelochten Ebene und mit Hilfe der inversen Abbildung verklebt. Welcher topologische Raum entsteht dabei?


Aufgabe

Zeige, dass im Beweis zu Lemma 2.6 in der Tat eine Äquivalenzrelation vorliegt.


Aufgabe

Es sei ein Verklebungsdatum , mit für alle gegeben. Welchen topologischen Raum legt dieses Verklebungsdatum fest?


Aufgabe

Wir betrachten den Zylinder

Auf den offenen Teilmengen bzw. (in bzw. in ) betrachten wir die Homöomorphismen, die sich aus der Identität auf dem Kreis bzw. der Punktspiegelung einerseits und der Identität auf dem Intervall bzw. der Spiegelung in der Intervallmitte andererseits ergibt. Welche geometrischen Objekte ergeben sich durch diese verschiedenen Verklebungsdaten?


Aufgabe

Es sei eine topologische Mannigfaltigkeit und

eine Familie von Karten mit den Übergangsabbildungen

Zeige, dass man aus der Familie der , , den Teilmengen und den Übergangsabbildungen

die Mannigfaltigkeit rekonstruieren kann.

a) Betrachte auf

die Äquivalenzrelation, unter der zwei Punkte und gleich sind, wenn sie unter ineinander abgebildet werden.

b) Versehe die Quotientenmenge mit einer geeigneten Topologie.

c) Definiere auf Karten.

d) Zeige, dass und homöomorph sind.


Aufgabe

Es sei ein Verklebungsdatum , , für topologische Räume gegeben. Es sei ein weiterer topologischer Raum und es seien stetige Abbildungen

gegeben, die die Bedingung erfüllen. Zeige, dass es dann eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung

mit gibt, wobei den durch die Verklebungsdaten festgelegten topologischen Raum (siehe Lemma 2.6, auch für die Notation) bezeichnet.


Aufgabe

Zeige, dass ein Verklebungsdatum für ein Geradenbündel zu einer offenen Überdeckung das gleiche ist wie eine Familie von stetigen nullstellenfreien Funktionen , die auf jeweils die Bedingung erfüllen.


Aufgabe

Bestimme Verklebungsdaten für das Vektorbündel aus Beispiel 1.2.


Aufgabe

Es sei eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes . Es seien

und

Matrixbeschreibungen, die zu den Vektorbündeln bzw. führen. Zeige, dass diese Bündel genau dann isomorph sind, wenn es stetige Abbildungen

derart gibt, dass (für sinnvolle Einschränkungen)

für alle gilt.


Aufgabe

Ein Vektorbündel über einem topologischen Raum sei durch stetige Matrizenabbildungen

zu einer offenen Überdeckung gegeben. Zeige, dass ein stetiger Schnitt

dasselbe ist wie eine Familie von stetigen Abbildungen , die die Bedingungen

für alle erfüllt.


Aufgabe

Wir betrachten die algebraische Realisierung des Möbiusbandes aus Beispiel 2.12, also

Zeige, dass das Bild der stetigen Abbildung

in landet, dass die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises ist und dass das Bild von niemals den Nullschnitt trifft.


Die folgende Aussage lässt sich für die abgeschlossene Version des Möbiusbandes einfach mit der Schere bestätigen.

Aufgabe

Folgere aus Aufgabe 2.17, dass das Komplement des Nullschnittes im Möbiusband wegzusammenhängend ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Komplement des Nullschnittes in einem trivialen Geradenbündel nicht zusammenhängend ist.


Aufgabe

Man nehme eine schmales rechteckiges Band, verdrehe es mit einer Volldrehung um die längere Achse und verklebe die beiden kürzeren Ränder. Nun schneide man mit einer Schere das Band längs in der Mitte durch. Ist das entstehende Objekt zusammenhängend? Wie sieht es aus, wenn man Halbdrehungen macht?


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Funktion auf dem Einheitskreis für . Man betrachte dazu auch die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises.



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